精品解析：广东省东莞市松山湖北区学校2025-2026学年下学期九年级数学二模试题

2025-2026学年度第二学期二模测试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 某地某天中午12时的气温为，若下午4时的气温比中午12时上升了记作，那么第二天早上6时的气温比中午12时下降了记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵题目中气温上升记作，即上升用正数表示， ∴下降应该用负数表示， ∵气温下降了， ∴记作． 2. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达亿个，其中数亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法要求形式为，其中为整数，将亿转换后，再写成标准形式即可． 【详解】解：∵1亿， ∴6710亿， ∴． 故选：C． 3. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 4. 小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴相等长度的木棍的投影应该在同一侧，且影子的长度相等，只有选项C符合． 5. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 6. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故选C． 8. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为0，据此列方程计算即可得到c的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 9. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，正确地从图象上获取信息是关键． 根据一次函数的性质，结合函数图象对选项依次进行判断即可． 【详解】解：从图象上可知，小橙比小绿先出发，故C正确； 总路程为，小绿的行驶速度为， ∴小绿的行驶时间为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴小橙的行驶速度为，故B错误； 小橙行驶时间为，故A错误； 小橙比小绿晚到达，故D错误． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 数据2，3，4，5，5的众数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了求众数，根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可． 【详解】解：数据2，3，4，5，5的众数是5． 故答案为：5． 13. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为：3． 14. 某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打___折． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可打x折，根据利润率不能少于，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设可打x折，由题意，得：， 解得， 因此最多可打折， 故答案为：． 15. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 三．解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ； 17. 如图，在中， （1）尺规作图：作的角平分线，交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）以O为圆心，为半径作，求证：是的切线； 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）作，根据角平分线的性质，得到，即可得证． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 证明：作， ∵平分，，即， ∴， ∴为的半径， ∴是的切线. 18. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米．在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离．（参考数据：，，，精确到0.1米） 【答案】当时，D到地面的距离2.7米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．过点作于点，利用等腰三角形的性质求得的度数，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ，， ． 米，米， （米． 在中， ， ， （米． 答：当时，到地面的距离2.7米． 四．解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） （1）求每轮传染中平均每个人传染了几个人? （2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 【答案】（1）12个人 （2）85个 【解析】 【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染中有人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这个方舱医院设置个重症病房，则设置个普通病房，由题意：重症病房不少于普通病房的，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均每个人传染了个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染， 由题意得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了12个人； 【小问2详解】 第三轮传染后，患病总人数为：（人）， 设这个方舱医院设置个重症病房，则设置个普通病房， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为85， 答：这个方舱医院至少设置85个重症病房． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 20. 为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 某校学生一周体育锻炼调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4） 问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是（ ） A．0～4小时 B．4～6小时 C．6～8小时 D．8～小时及以上 问题2：你体育锻炼的动力是（ ） E．家长要求 F．学校要求 G．自己主动 H．其他 （1）参与本次调查的学生共有_______人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有_______人； （2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数； （3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议． 【答案】（1）200，122 （2）442人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条形统计图求出参与调查的人数，再用参与调查的人数乘以选择“自己主动”体育锻炼的学生人数占比即可得到答案； （2）用2600乘以样本中每周体育锻炼8小时以上的人数占比即可得到答案； （3）从建议学生加强锻炼的角度出发进行描述即可． 【小问1详解】 解：人， ∴参与本次调查的学生共有200人， ∴选择“自己主动”体育锻炼的学生有人， 故答案为：200，122； 【小问2详解】 解：人， ∴估计全校可评为“运动之星”的人数为442人； 【小问3详解】 解：体育锻炼是强身健体的一个非常好的途径，只有有一个良好的身体状况，才能更好的把自己的精力投入到学习中，因此建议学生多多主动加强每周的体育锻炼时间． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 21. 为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 五．解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 【知识技能】 （1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？ 【数学理解】 （2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为： 【拓展探索】 （3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）2.5或10 【解析】 【分析】（1）解得到，根据翻折的性质得到，则，那么； （2）由矩形得到，由沿翻折，得到，可知，过点作于M，可得，在中，则，，则，可得，求出，在中，即可求解； （3）当点F在矩形内部时，由折叠的性质得，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解；当点F在矩形外部时，由折叠的性质得，同①得，则，设，则，同理在中， 由勾股定理即可求． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵由沿直线翻折后，可知 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形 ∴， 由沿翻折，得到，可知： ， 如图过点作于M， ∵， ∴， 在中， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，，， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 设线段的垂直平分线交于点M，交于点N， 则， ∴四边形为矩形， 则，， 分两种情况： ①如图，当点F在矩形内部时，由折叠的性质得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得 即的长为； ②如图，当点F在矩形外部时， 由折叠的性质得， 同①得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即的长10， 综上所述，当点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10． 【点睛】本题考查了解直角三角形，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”． （1）判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”； ①有一个角为的直角三角形；（ ） ②有一个角为的直角三角形；（ ） ③有一个角为的三角形；（ ） （2）如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标； （3）如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示） 【答案】（1）×，×，√ （2）点N的坐标为或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“美好三角形”分别得出角度求解即可； （2）联立与，求出点M坐标为；根据是“美好三角形”，分为①当时，过M作，得出， 求解即可；②当时，过N作，得出， 根据，得出，即可求出，再根据勾股定理求出，求解即可； （3）根据二次函数对称性得出，过点D作，当均为“美好三角形”时， 得出，，证出，得出相似比为，即可求出，得出与m的关系；再证明，根据相似三角形性质即可得出，即可得出与m的关系； 【小问1详解】 解：① ∵有一个角为的直角三角形，三个内角分别为， ， ∴该三角形不是 “美好三角形”． 故答案为：× ②有一个角为的直角三角形； 三个内角分别为，， ∴该三角形不是 “美好三角形”． 故答案为：× ③有一个角为的三角形；其余两个内角的和为， ∴该三角形是“美好三角形”． 故答案为：√． 【小问2详解】 联立与， 解得，将代入得， ∴点M坐标为； 若是“美好三角形”， 当时， 过M作， 则， ∴， ∴， ∴ ； 当时， 过N作， 则， ∴， ， ， ， ， ， ， 综上，点N的坐标为或； 【小问3详解】 根据二次函数与x轴交于B，C两点，顶点为A，故， 过点D作， 当均为“美好三角形”时， ，， ， ， ∴． ∴， ∴， ， ∵的面积为，的面积为，的面积为， ， ； ， ， 综上，，． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期二模测试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 某地某天中午12时的气温为，若下午4时的气温比中午12时上升了记作，那么第二天早上6时的气温比中午12时下降了记作（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达亿个，其中数亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（ ）． A. B. C. D. 5. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 6. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 9. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 数据2，3，4，5，5的众数是______． 13. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______． 14. 某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打___折． 15. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 三．解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，在中， （1）尺规作图：作的角平分线，交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）以O为圆心，为半径作，求证：是的切线； 18. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米．在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离．（参考数据：，，，精确到0.1米） 四．解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） （1）求每轮传染中平均每个人传染了几个人? （2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 20. 为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 某校学生一周体育锻炼调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4） 问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是（ ） A．0～4小时 B．4～6小时 C．6～8小时 D．8～小时及以上 问题2：你体育锻炼的动力是（ ） E．家长要求 F．学校要求 G．自己主动 H．其他 （1）参与本次调查的学生共有_______人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有_______人； （2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数； （3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议． 21. 为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 五．解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 【知识技能】 （1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？ 【数学理解】 （2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为： 【拓展探索】 （3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 23. 定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”． （1）判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”； ①有一个角为的直角三角形；（ ） ②有一个角为的直角三角形；（ ） ③有一个角为的三角形；（ ） （2）如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标； （3）如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $