4.6 总体的平均数与方差的估计 教案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

教师活动

学生活动

环节一：新知导入

教师活动1：

【思考】果农收获了大量的橙子，需要知道橙子的平均质量以及整片果园橙

学生活动1：

认真思考，举手回答问题

子的整体品质，你有什么方法吗？

活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识.

环节二：探究新知

教师活动2：

探究：总体的平均数与方差的估计

我们知道，在研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差.在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，我们把根据样本数据计算得到的平均数（或方差），叫作样本平均数（或样本方差）.

【议一议】有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差.这种做法合理吗？

教师讲授：当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值.

【归纳】数学上已经证明：当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值.

学生活动2：

认真听讲

认真思考，合作交流

认真听讲

认真听讲，了解如何估计总体的平均数和方程

活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，促进学生的全面发展。

环节三：例题精讲

教师活动3：

例 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保

学生活动3：

学生认真思考，独立

质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度，把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：

（1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值；

（2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值.

解：用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作,方差记作.

(1)=(238×1+241×5+244×9+247×19+250×24+253×22+256×11+259×6+262×1+265×2)=250.6.

于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是250.6g.

(2)=[(238-250.6)²×1+(241-250.6)²×5+(244-250.6)²×9+(247-250.6)2×19+

(250-250.6)²×24+(253-250.6)²×22+(256-250.6)2×11+(259-250.6)²×6+(262-250.6)²×1+(265-250.6)²×2]=26.82.

于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是26.82.

【思考】在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：

比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定？

解：=(236×2+240×7+242×8+245×16+250×23+252×21+254×12+256×7+

260×3+268×1)=249.38.

=[(236-249.38)²×2+(240-249.38)²×7+(242-249.38)²×8+(245249.38)2×16+

(250-249.38)²×23+(252-249.38)²×21+(254-249.38)2×12+(256-249.38)²×7+(260-249.38)²×3+(268-249.38)²×1]=31.1756.

于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是249.38 g，方差的一

完成习题

认真听讲

认真思考，通过计算进行比较

认真听讲