4.6 总体的平均数与方差的估计 教案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该教案聚焦用样本平均数、方差估计总体平均数与方差的核心知识，通过果农估计橙子质量的情境导入，承接已学样本数据处理，搭建从单一计算到统计推断的思维支架。 以车间零件质量为实例，通过探究抽样估计合理性培养数据分析素养，例题对比甲、乙车间稳定性提升运算与推理能力，分层作业兼顾基础与拓展，助力教师落实统计思想教学，帮助学生形成用数据解决实际问题的意识。

分课时教学设计 第一课时《4.6 总体的平均数与方差的估计》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《总体的平均数与方差的估计》是湘教版八年级下册第4章《数据分析》的第六节的内容。本节课承接样本数据的统计知识，系统介绍了用样本平均数、样本方差估计总体平均数与方差的统计思想，以车间零件质量为载体，通过实例展示了抽样估计的计算方法与实际应用价值。本节课是统计推断的基础，为后续数据分析与决策奠定理论与方法基础，同时强化了数据分析核心素养的培养。 学习者分析 八年级学生已掌握平均数、方差的计算方法，具备样本数据处理能力，但对“用样本估计总体”的统计思想缺乏系统认识，对抽样估计的合理性与实际意义理解存在难点。学生对“如何用部分数据推断整体特征”有探究兴趣，需要借助实例与对比分析，引导其从单一数据计算过渡到统计推断的思维层面，理解抽样估计的价值。 教学目标 1.理解用样本平均数、样本方差估计总体平均数与方差的统计思想，落实数据分析素养。 2.掌握样本平均数、样本方差的计算方法，能运用抽样估计解决实际问题，提升数据处理与统计推断能力。 3.体会抽样估计在实际生产、生活中的应用价值，培养用统计思维分析和解决问题的意识。 教学重点 用样本平均数、样本方差估计总体平均数与方差的方法，理解抽样估计的统计思想。 教学难点 理解抽样估计的合理性，能运用样本统计量推断总体特征并解决实际问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 【思考】果农收获了大量的橙子，需要知道橙子的平均质量以及整片果园橙子的整体品质，你有什么方法吗？ 学生活动1： 认真思考，举手回答问题 活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：总体的平均数与方差的估计 我们知道，在研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差.在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，我们把根据样本数据计算得到的平均数（或方差），叫作样本平均数（或样本方差）. 【议一议】有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差.这种做法合理吗？ 教师讲授：当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 【归纳】数学上已经证明：当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 学生活动2： 认真听讲 认真思考，合作交流 认真听讲 认真听讲，了解如何估计总体的平均数和方程 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，促进学生的全面发展。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度，把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 （1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值； （2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值. 解：用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作,方差记作. (1)=(238×1+241×5+244×9+247×19+250×24+253×22+256×11+259×6+262×1+265×2)=250.6. 于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是250.6g. (2)=[(238-250.6)²×1+(241-250.6)²×5+(244-250.6)²×9+(247-250.6)2×19+ (250-250.6)²×24+(253-250.6)²×22+(256-250.6)2×11+(259-250.6)²×6+(262-250.6)²×1+(265-250.6)²×2]=26.82. 于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是26.82. 【思考】在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268 零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1 比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定？ 解：=(236×2+240×7+242×8+245×16+250×23+252×21+254×12+256×7+ 260×3+268×1)=249.38. =[(236-249.38)²×2+(240-249.38)²×7+(242-249.38)²×8+(245249.38)2×16+ (250-249.38)²×23+(252-249.38)²×21+(254-249.38)2×12+(256-249.38)²×7+(260-249.38)²×3+(268-249.38)²×1]=31.1756. 于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是249.38 g，方差的一个估计值是31.1756. 由于26.82<31.1756，因此甲车间试生产的零件质量更稳定. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考，通过计算进行比较 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某商场6月份随机调查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8,3.2,3.4,3.0,3.1,3.7，试估算该商场6月份总营业额大约是(　　) A．84万元　　　　B．96万元　　　　C．93万元　　　　D．111万元 2.若样本的平均数为10，方差为6，则对于样本 下列结论正确的是（　　） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 3.为积极响应抗击疫情“停课不停学”的号召，某学校九年级年级组随机抽取了名同学每周实际观看网课时长进行分析，通过计算得知这名同学的每周观看网课的平均时长为小时，下列说法正确的是（　　）． A．九年级全体学生每周观看网课的平均时长一定是小时 B．九年级全体学生每周观看网课的平均时长一定不是小时 C．可以估计九年级全体学生每周观看网课的平均时长是小时 D．不能估计九年级全体学生每周观看网课的平均时长是小时 选做题： 4.某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，试估算该商场4月份的总营业额，大约是　 　万元． 5.检查某超市在七月份某5天的日用电量，结果如下(单位：度)：300，298，307，305，290，根据以上数据，估计该超市七月份的总用电量为　 　度。 6.从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为　 　． 【综合拓展类作业】 7.某班环保小组为了宣传环保的重要性，随机调查了本班10名同学的家庭在同一天内处理垃圾的情况．经统计，处理垃圾的质量(单位：)如下：．根据上述数据，回答下列问题： （1）写出上述10个数据的中位数和众数． （2）若这个班共有50名同学，请你根据上述数据的平均数，估算这50户家庭在这一天处理垃圾的质量． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.环保小组抽样调查了某社区10户家庭1周内使用环保方便袋的数量，结果为（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．试估计该社区500户家庭1周内使用环保方便袋约为（　　） A．2500只　　　　B．3000只　　　　C．3500只　　　　D．4000只 2.刚刚喜迁新居的小华同学为估计6月(30天)的家庭用电量，在6月上旬连续7天同一时刻观察电表显示的度数并记录如下： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 电表显示度数(度) 24 27 31 35 42 45 48 则预计小华同学家6月的用电总量约是（　　） A．1080度　　　　B．124度　　　　C．103度　　　　D．120度 3.某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约 　 　个． 【综合拓展类作业】 4.工人师傅用车床加工一种直径为20mm的零件，从某天加工的零件中随机抽取了10件，测得直径（单位：mm）如下：20.1，19.9，20.3，20.2，19.8，19.7，19.9，20.3，20.0，19.8． （1）计算样本平均数和样本方差． （2）试估计总体平均数和总体方差． （3）规定当加工零件的方差不超过时，车床生产情况为正常．请判断这台车床的生产情况是否正常． 教学反思 本节课通过实例引导学生理解抽样估计的思想与方法，大部分学生能掌握样本平均数、方差的计算，但部分学生对“样本估计总体”的统计思想理解不够透彻，后续可增加更多贴近生活的抽样估计案例，帮助学生体会其实际应用价值。同时，课堂上对抽样估计的合理性与局限性探讨不足，部分学生对样本容量、抽样方法对估计结果的影响缺乏认识，后续可补充相关讨论环节，引导学生全面理解抽样估计的意义，提升统计思维的严谨性。 学科网（北京）股份有限公司 $