安徽蚌埠禹王学校等2025-2026学年高二下学期5月阶段学业检测数学试卷(人教版)

高二数学（人教版）参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.D5+10=15.故选D. 7 -(-5) 2.A 将6x十8y+7=0变形为3x+4y十号=0，故两直线的距离为d √32+42 品故 选A. 3.D了(x)=+己，由题意知fx)在点(1f(1)处的切线斜率为号，所以f(1)=a十1=寻，解 得a=导故选D 4.B由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(-x)=-f(x),则f(-x)+4f(x)+6=3f(x) +6≥0，解得f(x)≥一2，则f(x)的最小值为一2.故选B. 5.C设坐标原点为O,半焦距为c,由∠AFB=120°，可知∠BFO=60°，易知|OF1=c,|BF1= a,在R△BOF中，0s60=-台-号，即离心率为2故选C 6.C等比数列{an}的前n项和为S,=5”十p,则a1=S1=5十p,a2=S2-S1=25十p (6+p）=20,as-S-5-125+p-(25+p)-10,所以g-兴-5则a-号-9-4，即 95 5十p=4,p=-1,所以p十q=4.故选C. 7A因为X.Y服从两点分布，且P(X=)=品PY=1D=号 设P(X=1,Y=1D=a,则P(X=1,Y=0)=号a, pX=0.y=10=号-a,pX=0.Y=0=1-是号+a=是+a 由PX=n=P(X=1.Y=1D+P(X=0,Y=0)=a+品+a=品+2a=号，解得a=0 于是PGX=1,Y=0)=是0-号故选A 8.A将6名同学分成4组，每组至少1人，有两种分组方式.人数分布为3,1,1,1：先选3人成 一组，有C=20种，剩余3人各成一组，再将4组分配到4个项目，有A=24种，共20×24 =480种.人数分布为2,2,1,1：先选2人成一组，再从剩余4人选2人成一组，注意两组2人 无顺序，分组数为CC-45,剩余2人各成一组，再将4组分配到4个项目，有AN=24种，共 A 45×24=1080种.总派法：480+1080=1560种.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 子）的展开式通项T+=C(2)(一是)=C2-r( 对于A,二项展开式共有7项，所以展开式中各二项式系数最大的项为第4项，从而二项式系 数的最大值为C=20.故A正确； 对于B,令6-号-0，得r=4,常数项为工，-C2(-1)=60.故B错误； 对于C,令x=1,得各项系数之和为1.故C正确； 对于D,令6--2，得=，不符合，故展开式中不含x的项.故D正确故选ACD, 【高二数学参考答案第1页（共6页）】 10.BD由|F1F2|=43可知半焦距c=23,则4十b=12,b=8,故A 错误； 双曲线的渐近线方程为y=士√2x,故B正确： 对于C,易知M不在双曲线及其渐近线上，当过M的直线与双曲线 相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点；当过M的直线与渐 近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点，所以过点M = 且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于D,F2(23,0),PF=PF2|十4，因为M(W3,2√3)在双曲线渐近线y=√2x的上 方，则|PM+|PF|=|PM+|PF|十4>≥|MF2|+4=3+12+4=4+√15，当且仅 当P在线段MF2上时，取得等号，故D正确.故选BD. 11.BCD以D为原点，DB为x轴，过D作平行于BC的直线为y轴，过D作与平面BCD垂 直的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易知∠ADy=0,因为AD=DB=BC= 2,所以A(0,2cos0,2sin0),D(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0), 对于A,AB=(2,-2cos0,-2sin0),DC=(2,2,0), 则1cs{A店.Dd1=Aa.DC-l4-4c0s9l-1-cos1 1AB·|D心C√8×⑧ 2 当-1207时.os花.C1=1-c120-号故A错误： 2 对于B,0=90时，AD在之轴上，由AM=DN=a(0<a<22), 可得M2.02-）N(,2o, 则-(o,,号a-2小 则1不-√0+(2)+(9-2-V2-2形a+4-√a-2+2, 故当且仅当a=√2时，|MN取得最小值为√2，故B正确： 对于Cw=w=吉x2号sm0x空×2 号a=-言a2-22a)sin0, 当a=√2,0=90时，Vg-n取最大值3，故C正确； 对于D,由B知，当0=90°且MN的长最小时，a=√2，此时M六=(0,1，-1)， M(1,0,1),则MB=(1,0,-1),设平面BMN的法向量为n=(x',y,2), 则有m:=0,取=1，则=y=1则m=4,1. n·MB=x'-z=0 又B-0.20,则点C到平面BMN的距离d=矿n-++0-2.故D正 n √/12+12+12 确.故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2√2因为x=2+i,则乏=2-i,i·乏=i(2-i)=2i+1,|1+i·=|2+2i=2√2. r=/12+a2 13.√2设圆心坐标为(0，a),半径为r,由题意可得 a+1,解得a= ,所以圆C的 lr=√2 √ 半径为√2. 【高二数学参考答案第2页（共6页）】 14.(分，+o∞）f)=e+1-ar2-(2a+1Dx-a=e1-a(x+102-x, 若存在>-1，使得∫(x)<2成立，则f(.x)一2<0(x>-1)有解， 所以e+1-a(x十1)2-(x+1)-1<0(x>-1)有解， 令t=x+1,因为x>-1,所以t>0,即e-at2-t-1<0(t>0)有解. 令h(t)=e-at-t-1(t>0),则h(t)<0(t>0)有解， h'(t)=e'-2at-1,令m(t)=h'(t)=e'-2at-1,则m'(t)=e-2a, 因为t>0,所以e>1, 当a≤2时，2a≤l,l'()=e-2a>0, 所以h'(t)在(0，十∞)上单调递增，所以h'(t)>h'(0)=0, 所以h(t)在(0，十∞)上单调递增，所以h(t)>h(0)=0恒成立，与h(t)<0(t>0)有解矛 盾，不符合题意； 当a>号时，令m()=e-2a=0,则1=ln2a.又m()在(0，十o∞)上单调递增， 所以当0<t<ln2a时，m'(t)<0,所以h'(t)在(0，n2a)上单调递减， 因为h'(0)=0,所以在区间(0，ln2a)上h'(t)h(0)=0, 因此h(t)在(0，ln2a)上单调递减，又h(0)=0,故存在to∈(0，ln2a),使得h(to)<h(0) =0. 综上a> 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(1)证明：由题意得a1=3 am+3? 1分 1=十31+1 +1 3an an 3 3分 1-1= an 3 4分 公}/是首项为公-1.公差为分的等差数列.… 6分 (2)解：由1)蜘-1+3m-1)-”,即a,= 3 an 3 +21 8分 1 3（n+2n+3/ 10分 1 =3n 13分 16.解：(1)设X为取出的不合格零件个数，事件A:取出的4个零件中至少有一个不合格；事件 B:取出的4个零件中恰好有2个不合格， P(B)-P(X=2)=C:C_3X10-3 C 70 2分 P(A)=P(X=0) CC=5=1 C7014' 3分 所以P(A)=1-P(X=0)=1一40 1_13 4分 3 因此P(B1A)=7=3X4-6 1371313 14 【高二数学参考答案第3页（共6页）】 故在已知取出的4个零件至少有一个不合格的条件下，恰好有2个不合格的概率为 …5分 (2)由题意，每件产品合格的概率p=5,不合格的概率为1一p=方，抽取个数=4，且各零 件质量相互独立，因此Y服从二项分布Y~B(4,号)： 6分 Y的可能取值为0,1,2,3,4， 7分 PY=0)=C(借)”（号）=1x1 6256251 Py=1)=C(传(G)》°=4x号×z器 16 pY=2)-CG()(传)=6××六器， P(Y=3)=C PY=4)=C(传)'() =256 625 12分 故Y的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 16 96 256 256 625 625 625 625 e....。。 13分 期望E0)==4X号 5 14分 方差DD=p1-p》=4X号×吉碧 15分 17.(1)解：抛物线Cy=2px(p>0)的焦点为（号0，准线为x=一， 因为焦点到准线的距离是3，所以p=3, 2分 所以抛物线C的方程为y2=6.x.… 3分 (2)证明：由题意直线1过焦点F(号，0)，设1的方程为x=my十号A(),B() y2=6x 联立 x=my+ 3,消去x得：y2-6my-9=0,判别式△=36m2+36>0恒成立， 则y1十y2=6m,y12=一9. 5分 直线A0的斜率ko=出=兰=6，故A0的方程为y=6区 6分 xI yi y 抛物线的准线方程为x=一昌，代入得y=日（一多）=一9，所以交点P(一之，-9)。 2 y …8分 又y1y2=一9，所以点B的纵坐标y2=一 所以 9分 即B与P的纵坐标相等，故直线BP平行于x轴，从而BP⊥y轴. 10分 (3)解：由(2知1：x=my+2,即x一my-是=0，点M(号3小，点Q(-号0小.…12分 【高二数学参考答案第4页（共6页）】 因为△MAB的面积与△QAB的面积相等， 所以M.Q到直线1：x一my一多=0的距离相等，所以3=是 ，解得m=土1， √1+m√1+m ………………………………………………………。 14分 所以直线1的方程为x士y一号-0 15分 18.(1)证明：连接AC与BD交于点O,连接OE. 因为底面ABCD为矩形，所以O为AC的中点. 1分 又E为PC的中点，所以在△PAC中，OE∥PA.…2分 因为OEC平面BDE,PA在平面BDE, 所以PA∥平面BDE.…3分 (2)解：因为底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD, 所以以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 由已知可得A(0,0,0),B(2,0,),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,√3). …5分 因为E为PC的中点.所以E1,号号).则应-(1，号号.6分 设平面PCD的法向量为n=(x1,y1,1). 由PC=(2,1,-3),PD=(0,1,-3), 得n·PC-2十为51=0取1=1，则y,=月，G=0,所以 n.PD=y-3=0. n=(0,w3,1). …8分 设直线AE与平面PCD所成角为0，则 sin 0- AE·nl-3=6 AEl·nlV2×24' 所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为 10分 (3)解：因为点F在线段PD上，设PF-入PD,其中0<<1.… 11分 由P(0,0,√3)，D(0,1,0)得PD=(0,1,-√3). 所以点F的坐标为(0，入，W5(1一入)，… 12分 忘-(1,2，号）)，-(0aw5(1-》). 设平面AEF的法向量为=(x2,y2,2). 由 m·AF= 0得++-0 m·AE=0 14分 λy2十√5(1-A)2=0 令=5，则g=3一是=员-8 故平面AEF的一个法向量为m=(号-3,3一是 3.… 15分 假设存在点F使得平面AEF⊥平面PCD, 则m·n=0,即/3(3-)十3=0，……16分 解得X=子满足0<1，所以存在清足条件的点（线段PD上靠近D的四等分点），需 【高二数学参考答案第5页（共6页）】 17分 19.(1)解：函数定义域为(0，十o∞)，(x)= :-a-l-as …1分 当a≤0时，1-a,x>0恒成立，f'(x)>0在(0，+o∞)上恒成立.f(x)在(0，+∞)上单调递 增，无单调递减区间； …2分 当a0时，令f)=0得x日 当0<<a时，f(x)>0:当x>a时(x)<0. …3分 所以(x)在(0，)上单调递增，在（合，十∞）上单调递减.。 4分 综上：当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，无单调递减区间；a>0时，f(x)的单调 递增区间为(0，)，单调递减区间为（日，十∞）片 ……5分 (2)解：由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增，至多一个零点，不可能有两个零 点.故必有a>0,此时f(x)在x=二处取得极大值（也是最大值）. …6分 f(a）=ln是-a…a+1=-lna. 当x→0+时，f(.x)→-o∞；当x十oo时，f(x)→ 0∞. 7分 因此，要使得f(x)有两个零点，必须极大值f(日)>0， 即-lna>0,解得0<a<1. 即实数a的取值范围是(0,1). …9分 (3)证明：由(2)知0a<1,且x1,x2是f(x)的两个零点，满足lnx1一a.x1+1=0,lnx2一 ax2+1=0,即lnx1=ax1-1,lnx2=ax2一1. …10分 两式相减得1n一ln=a(,-x)→a=ln一n ……11分 C2-x1 要证十>名，即证十> 2(x2-x1) a 整理得(nx2-ln)(.c1十x2)>2(.x2一x.… 12分 令t=>1,则x2=tx,代入得(lnt)·x,(1+t)>2,(-1)→(1+)1ln>2(1-1). 即只需证明当>1时，p(t)=(1十t)lnt-2(t-1)>0.…14分 g0=a+1史-2=n+}-1g)=}--月0>0， 故(1)在(1，十∞)上单调递增. 又9'(1)=ln1+1-1=0,所以0(t)>0对>1恒成立. 于是(t)在(1，十∞)上单调递增，且p(1)=0,因此(t)>0对>1恒成立. 从而原不等式成立，即十2，. a 【高二数学参考答案第6页（共6页）】2026届5月高二阶段学业检测 数学试卷（人教版） 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案写在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡 上将对应题号的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上 作答无效。 3.本卷命题范围：人教版选择性必修第三册第七章结束。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.一项工作可以用两种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有10人只会用第二种方法 完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为 A.60 B.50 C.16 D.15 2.直线3x十4y-5=0与直线6.x+8y+7=0之间的距离为 A号 B号 c号 n号 3.已知f(x)=2a匠-1的图象在点(1，f(1)处的切线与直线y=-3.x垂直，则实数a= A.-4 B.-3 c- D-号 4.若f(x)为定义在R上的奇函数，且f(一x)+4f(x)十6≥0，则 A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的最小值为一2 C.f(x)的最大值为2 D.f(x)的最大值为-2 5.已知A,B分别为椭圆C:兰+后=1(a>b>0)的上顶点和右顶点，F为C的上焦点，若 △ABF中，∠AFB=120°，则椭圆C的离心率为 A号 R号 c司 D 6.若等比数列{am}的公比为q,前n项和为Sn=5”+p(p为常数)，则p十q= A.0 B.2 C.4 D.-1 【高二阶段学业检测数学（人教版）试卷第1页（共4页）】 7.已知随机变量X,Y均服从两点分布，若P(X-)-高.PY-1)=号，且P(X-Y)=号则 P(X=1,Y=0)= A司 R号 c器 8.2026年世界拳联世界杯中国站将于6月15日至21日在贵阳举办，贵阳某高校计划派6名同 学参加4个比赛项目的志愿服务工作，每个项目至少派1名同学，每名同学仅参加一个项目， 则不同派法的种数为 A.1560 B.1620 C.1680 D.1800 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于(2x)” 的二项展开式，下列结论正确的是 A.各二项式系数的最大值是20 B.常数项是64 C.各项系数之和为1 D.展开式中不含x2的项 1已知双曲线C,等苦=1K6公0)的左，右焦点分别为上、E.EF,=4,5,点P为C的右 支上任意一点，点M(5,25),则 A.b=2√2 B.双曲线C的渐近线方程为y=士√2x C.过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有3条 D.|PM+|PF,的最小值为√15+4 11.如图1是平行四边形ABCD,AD=DB=BC=2,AD⊥BD,将△ABD沿着BD折起（如图2）， 点M、N分别在AB和CD上移动，且AM=DN=a(0<a<2√2)，记二面角A-BD-C为 0,下列选项正确的是 图1 图2 A当0-120时，直线AB与DC所成角的余弦值为号 B.当0=90时，MN的最小值为√2 C三棱锥B-MND体积的最大值是号 D当0=90，且MN的长最小时，点C到平面BMN的距离为2 【高二阶段学业检测数学（人教版）试卷第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数x=2+ii为虚数单位)，则1+i·= 13.已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点(1,0)且与直线y=x+1相切，则圆C的半径 为 14.已知函数f(x)=e+1-a.x2一(2a+1)x一a.若存在x>一1，使得f(x)<2成立，则a的 取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f)千3数列a,满足a1=1,且41=fa,)设6，=aa1: (1)求证：数列1)是等差数列： a (2)求数列{bn}的前n项和Sm. 16.(本小题满分15分) 为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心 零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性 (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零 件不合格.现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一 个不合格，求恰好有2个不合格的概率： (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到号，且各 零件是否合格相互独立.为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进 行检测，记Y为抽到的合格零件个数，求Y的分布列、期望与方差， 【高二阶段学业检测数学（人教版）试卷第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，过点F的直线1交抛物线C于A、B 两点，且F到抛物线C准线的距离是3. (1)求抛物线C的标准方程： (2)若直线AO与抛物线的准线交于点P,证明：BP⊥y轴； (3)已知点M(三，3)，抛物线C的准线与x轴的交点为Q,若△MAB的面积与△QAB的面 积相等，求直线1的方程， 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2,AD=1,侧棱PA⊥底面ABCD, 且PA=√3，点E为棱PC的中点. (1)求证：PA∥平面BDE; (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值； (3)点F为棱PD上的动点（不与端点重合），是否存在点F,使得平面AEF⊥平面PCD? 若存在，求出咒的值：若不存在请说明理由。 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx一ax+1,其中a∈R (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； (3)设1x是(2)中fx)的两个零点，且<，证明：西十>2 【高二阶段学业检测数学（人教版）试卷第4页（共4页）】