精品解析：安徽蚌埠第二中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

蚌埠二中2025-2026学年高二第二学期3月月巩固数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意：所有选择题的答案必须用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置，否则，该大题不予计分. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 排列数（ ） A. 20 B. 10 C. 60 D. 66 2. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 6. “a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 8. 已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为0 C. 有三个零点 D. 曲线在处的切线方程为 10. 若，则（ ） A. B. C D. 11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，点在的准线上，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 随的增大而增大 C. 若成等差数列，则 D. 若存在点使得为等边三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面上有（，）个点，其中任何三点都不在同一条直线上，过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有______条． 13. 有理数都能表示成（m，，且，m与n互质）的形式，无限循环小数也是有理数，请利用数列知识，将无限循环小数写成的形式______（m与n互质）． 14. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 四、解答题：选题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明步骤和演算过程. 15. 记数列的前项和为，已知为常数列. （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 16. 已知椭圆离心率为，点在椭圆C上，直线l与椭圆C交于不同于A的两点M，N． （1）求椭圆C方程； （2）若，证明：直线l恒过定点． 17. 甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． （1）若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ （2）若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ （3）若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 18. 已知函数． （1）当时，比较与的大小； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明． 19. 在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点，重合）. （1）当三棱锥体积最大时， （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求最小值. （2）是否存在点，使得直线与平面所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠二中2025-2026学年高二第二学期3月月巩固数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意：所有选择题的答案必须用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置，否则，该大题不予计分. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 排列数（ ） A. 20 B. 10 C. 60 D. 66 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 也即双曲线的渐近线方程为. 故选：B 3. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置， 则有种； 当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端， 甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑， 则有种， 所以共有种不同的站法. 6. “a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，建立的方程，解出的值，利用充分条件和必要条件得到结论. 【详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切， 得，解得a＝0或a＝－4， 则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件． 故选：B. 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 【答案】C 【解析】 【分析】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案. 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 8. 已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可. 【详解】， 当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立， 当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增， ∴， ∵恒成立，∴， ∴， ∴， 令， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴． 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为0 C. 有三个零点 D. 曲线在处的切线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数求出函数的单调性进行判断即可求解． 【详解】函数， 由得或，所以的单调增区间为，A选项正确； 由A知，在上单调递增，在上单调递减，故当时，有极大值，B选项正确； 当时，有极小值，又，所以的图象与轴有两个交点，C选项错误； ，所以切线方程为，即，D选项错误． 故选：AB 10. 若，则（ ） A. B. C D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式展开式通项可判断A，由二项式系数的性质可以判断B，利用赋值法分别令和可以判断C，二项式系数和的性质可以判断D. 【详解】二项式的展开式的通项为，， 所以， 计算可得， 比较可知系数最大值为，故A错误，B正确； 令，得； 令，得， 两式相减，得，所以，故C正确； 由，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，点在的准线上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 随的增大而增大 C. 若成等差数列，则 D. 若存在点使得为等边三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由斜率公式可求出的倾斜角，根据焦点弦的性质即可判断；对于B，将直线和抛物线联立，根据韦达定理可求出，再根据焦点弦的性质即可判断；对于C，根据等差数列的性质可得，由选项B知，再根据焦半径以及焦点弦长度关系代入即可判断；对于D，根据等边三角形的性质，两直线垂直斜率关系可得，以及中点坐标公式，两点间距离公式代入即可判断. 【详解】对于A，若，则的倾斜角，由焦点弦的性质可知，故A错误； 对于B，设的方程为， 由可得，则， 所以， 由题可知，所以， 所以随的增大而增大，故B正确； 对于C，因为、、成等差数列，所以， 即，即，由选项B知， 所以，解得或（负值舍去），则， 所以，解得，故C正确； 对于D，取的中点，分别作垂直于直线， 分别为垂足，连接.设，由B选项可知， 所以.因为，所以，故， 则.由抛物线的定义可知， 故.因为为等边三角形，所以， 即， 两边同时平方后化简可得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面上有（，）个点，其中任何三点都不在同一条直线上，过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有______条． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，从个点中任取点，即可构成一条直线，用组合数进行计算即可. 【详解】由题可知，满足题意的直线共有条. 13. 有理数都能表示成（m，，且，m与n互质）的形式，无限循环小数也是有理数，请利用数列知识，将无限循环小数写成的形式______（m与n互质）． 【答案】 【解析】 【分析】将拆分成等比数列的求和，利用等比数列的求和公式，最后将趋向于正无穷逼近结果. 【详解】因为， 由等比数列求和得，， 当时，， 所以. 14. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】依题意， 两边平方得， 因为，，和的夹角为或， 所以， 故. 故答案为： 四、解答题：选题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明步骤和演算过程. 15. 记数列的前项和为，已知为常数列. （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为常数列，得到，利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式； （2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 16. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，直线l与椭圆C交于不同于A的两点M，N． （1）求椭圆C的方程； （2）若，证明：直线l恒过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立，利用向量数量积的坐标表示，结合韦达定理计算推理即可. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 依题意，直线l的斜率存在， 设直线，，， 由，消去y得， 则，即， ，， 而，， 由，得， 即， 整理得， 则，而， 于是， 整理得，解得，且满足， 所以直线过定点． 17. 甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． （1）若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ （2）若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ （3）若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先平均分成3组，然后利用全排列和分步计数原理求解即可； （2）先将6名学生分成3组，其中甲、乙、丙在同一组，可分为两种情况：①甲、乙、丙为一组，其余3人分成两组；②甲、乙、丙与另外1人组成一组，其余2人各为一组。计算出两种情况下的安排方法数再相加即可； （3）先将甲、乙、丙分别安排到3个社区，然后剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，进而利用分步乘法计数原理求解即可. 【小问1详解】 将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 【小问2详解】 ①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； 【小问3详解】 甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 18. 已知函数． （1）当时，比较与的大小； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明． 【答案】（1） （2）时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断单调性，根据单调区间比较大小即可； （2）求导后分子因式分解，按的正负讨论单调区间； （3）利用最大值点代入，转化为恒成立即可得证. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， 则， 故当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 又，故． 【小问2详解】 的定义域为，． 若，则当时，，故在上单调递增， 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）知，当时，在取得最大值，最大值为， 所以等价于，即， 设，则， 当时，，当时，． 所以上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值，所以当时，， 从而当时，，即． 19. 在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点，重合）. （1）当三棱锥体积最大时， （ⅰ）求平面与平面所成角余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值. （2）是否存在点，使得直线与平面所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）（i）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解；（ii）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接，结合余弦定理即可求解； （2）过点作，确定为直线与平面所成角，取最小值，夹角最大，结合线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）∵， 又∵是定值，∴当三棱锥体积最大时即高最大， 即点为半圆弧的中点 设线段的中点为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为． 则，则，令，得，， 则． 因为平面，平面，∴， 又∵，，，平面， ∴平面，是平面的法向量． 设平面与平面所成角的平面角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为 （ⅱ）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接， 如图所示，此时最小，即为长， 由题意可知，，， 所以， ， 再由余弦定理可知， 即的最小值为． 【小问2详解】 结合（1）可设，，， 所以， 平面的法向量为， 设为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最大值， 令， 则， ∴当且仅当时，取最大值，此时直线与平面所成角最大， 即存在点，使得直线与平面所成角最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $