精品解析：广东省江门市新会尚雅学校2025-2026学年第二学期七年级数学期中考B卷

2025－2026学年第二学期七年级数学中考试（B卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 方程的解是，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，由∠1＝∠2能得到ABCD的图形有（　　）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，这是画在方格纸上的江西部分旅游景点简图，建立平面直角坐标系后，三清山的坐标为，明月山的坐标为，则革命圣地井冈山的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若P点在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 7. 命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等．其中假命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法不正确的是（　　） A. 若，则点一定在第二、四象限的角平分线上 B. 已知点，，则轴 C. 若满足，则点P在x轴上 D. 点一定在第二象限 10. 我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程(k﹣2)x|k|﹣1-7y＝8是二元一次方程，则k＝________ 12. 若点P(m+1，m﹣1)在x轴上，则点P的坐标是___________． 13. 如图，小郭同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，其理由是________． 14. 已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1，现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点，如图所示，则点表示的数为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分） 16. 计算：． 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 18. 解方程组： 四、解答题（二）（共4小题，每小题7分，共28分） 19. 如图，的三个顶点的坐标为． （1）若点平移后的对称点为，请在坐标系中画出作同样的平移后得到的，并写出另两点的对称点的坐标：__________，__________； （2）求的面积． 20. 在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； （2）一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 21. 感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则______，______； （2）已知方程组：，则______； （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 22. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； （3）若______，，这三个数是“完美组合数”，请直接写出用含n(，且n为整数)的代数式来表示横线上的数． 五、解答题（三） 23. 杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 （1）该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元，求这两种大米各购进多少袋； （2）据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为1500元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． （3）为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点为第三象限内一点． （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求点坐标； （2）若为，请用含的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 六、解答题（四）（共1小题，每小题11分，共11分） 25. 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：___________； （2）若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束与射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期七年级数学中考试（B卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，逐个判断给定的数，即可得到无理数的个数． 【详解】解：∵ 3.1415926 是有限小数，是无限循环小数，是分数，0是整数，以上都是有理数； 是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，是开立方开不尽的数，这三个都是无理数． ∴ 无理数共有3个． 2. 方程的解是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 3. 下列图形中，由∠1＝∠2能得到ABCD的图形有（　　）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可． 【详解】解：第一个图形，∵∠1=∠2， ∴AC∥BD；故不符合题意； 第二个图形，∵∠1=∠2， ∴AB∥CD，故符合题意； 第三个图形， ∵∠1=∠2，∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD； 第四个图形，∵∠1=∠2不能得到AB∥CD， 故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角． 4. 如图，这是画在方格纸上的江西部分旅游景点简图，建立平面直角坐标系后，三清山的坐标为，明月山的坐标为，则革命圣地井冈山的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可建立平面直角坐标系，根据井冈山在坐标系中的位置即可得出坐标． 【详解】解：根据三清山的坐标为，明月山的坐标为，可建立如图所示的坐标系， ∴革命圣地井冈山的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标表示位置以及直角坐标系中点的坐标，准确找到原点的位置是解题的关键． 5. 若P点在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， 又∵第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点坐标为， 6. 如关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个方程组有相同解，说明该解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出，再代入含参数的方程求出，即可计算的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴该解满足所有方程， 先联立不含的方程得， 由①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 把代入含的方程，得， 由④得 ，代入③得 ， 整理得， 解得， 把代入 ， 得， ． 7. 命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等．其中假命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，因此该命题是假命题； ③该命题缺少“同一平面内”的前提，条件不完整，因此是假命题； ④该命题缺少“直线外”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，因此是假命题． ⑤该命题缺少“两直线平行”的前提，只有两直线平行时同位角才相等，因此是假命题． 综上，假命题共有4个． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 9. 下列说法不正确的是（　　） A. 若，则点一定在第二、四象限的角平分线上 B. 已知点，，则轴 C. 若满足，则点P在x轴上 D. 点一定在第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【详解】A．若，则x，y互为相反数，点一定在第二、四象限的角平分线上，原说法正确，故此选项不符合题意； B．点P，Q的纵坐标相等，∴轴，原说法正确，故此选项不符合题意； C．若满足，则点P在x轴或y轴上，原说法不正确，故此选项符合题意； D．，，点一定在第二象限，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C 10. 我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据推出、的关系，再结合集合性质求解、的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵集合，由集合互异性得，， ∴，， 又∵，集合，且， ∴ ∴，即 ∵，此时，， 由集合互异性得，故，， 又∵与元素对应相等，得， ∴， ∵，两边同除以得， ∴， ∴，即D选项符合题意． 【点睛】理解集合中元素的互异性、无序性是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程(k﹣2)x|k|﹣1-7y＝8是二元一次方程，则k＝________ 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，求解即可. 【详解】解：根据题意得：， 解得：k=-2． 故答案为-2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，解题的关键是掌握二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 12. 若点P(m+1，m﹣1)在x轴上，则点P的坐标是___________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用轴上点的坐标特点得出的值，进而得出答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， 故， 则点的坐标是：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了轴上点的坐标，正确得出的值是解题关键． 13. 如图，小郭同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，其理由是________． 【答案】点到直线，垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段的性质作答． 【详解】解：图中，为曲线，为折线，为线段，为线段， ，点到直线，垂线段最短， 所以选择路线． 故答案为：点到直线，垂线段最短． 【点睛】此题考查了垂线段的性质，解题的关键是熟练应用该性质． 14. 已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1，现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点，如图所示，则点表示的数为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得，结合点所表示的数以及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为5， ， 点表示的数是1，且点在点的右侧， 点表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数与数轴上的点一一对应以及两点间的距离，根据正方形的面积算出的长是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察前几个点的坐标，归纳出点的坐标随跳动次数变化的规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ ， ， ， （为自然数）， ， ∴对应的形式，其中， ∴ ，即 ． 三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根、负数的整数次幂、实数的绝对值是解题的关键．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，再将的系数化为，再由即可求解； （2）先移项，然后把括号前系数化为1，把看成一个整体，再由即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 分别将两个二元一次方程标记为和，可得，解得，再将代入，得到，解得，于是得解． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， 原方程组的解为． 四、解答题（二）（共4小题，每小题7分，共28分） 19. 如图，的三个顶点的坐标为． （1）若点平移后的对称点为，请在坐标系中画出作同样的平移后得到的，并写出另两点的对称点的坐标：__________，__________； （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析，， （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应点的变化得出平移规律，即可画出，由图即可写出、的坐标； （2）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，由图可得，． 【小问2详解】 解：． 20. 在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； （2）一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】（1）； （2）与所成锐角的度数为 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及“拐点”模型的应用，核心是通过构造平行线将分散的角进行转化，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质解决角度计算问题． （1）过拐点作平行线，通过平行线的性质推导得出，代入的度数即可求解； （2）通过作辅助线平行于和，将相关的角分解为与、相关的角，结合平行线性质求出锐角度数． 【小问1详解】 解：如图，过的顶点作直线平行于支撑平台． ∵工作篮底部∥支撑平台，支撑平台， ∴工作篮底部． ∵支撑平台， ∴． ∵工作篮底部， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，过点作， ， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ， ， ． 答：与所成锐角的度数为． 21. 感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则______，______； （2）已知方程组：，则______； （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【答案】（1），5 （2）6 （3）30 【解析】 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【小问1详解】 解：， ①+②得，解得， ①-②得， 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：， ①+②+③得，，即； 故答案为：6； 【小问3详解】 解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元, 根据题意列方程组得，． ①②得，，则； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解． 22. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； （3）若______，，这三个数是“完美组合数”，请直接写出用含n(，且n为整数)的代数式来表示横线上的数． 【答案】（1）是，见解析 （2） （3）(，且n为整数) 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． （3）设x，，这三个数是“完美组合数”， 再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； 【小问2详解】 解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 【小问3详解】 解：设x，，这三个数是“完美组合数”， ∴， ， ∵x是负整数，且是整数， ∴(，且n为整数)． 五、解答题（三） 23. 杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 （1）该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元，求这两种大米各购进多少袋； （2）据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为1500元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． （3）为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【答案】（1）购进A种大米30袋，B种大米40袋 （2）该超市3月份已售出大米的进货款为1000元 （3）有两种购买方案：方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋． 【解析】 【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算； （2）列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算； （3）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量． 【小问1详解】 解：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得 ， 解得 答：购进A种大米30袋，B种大米40袋； 【小问2详解】 解：设售出A种大米m袋，B种大米n袋， 则， 化简得， 进货款（元） 答：该超市3月份已售出大米的进货款为1000元； 【小问3详解】 解：设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋． 由题意得：． 解得， 为正整数， ∴或， 则有① ， ② ∴有两种购买方案： 方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋； 方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点为第三象限内一点． （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求点坐标； （2）若为，请用含的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据到坐标轴的距离相等列方程求出m，进而得到点M的坐标，再根据，且即可求出点N的坐标； （2）先判断，再根据三角形的面积公式解答即可； （3）先求出的面积，再设，然后根据的面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵到坐标轴的距离相等， ∴， 即， 解得：或， ∵为第三象限内一点， ∴． ∴点M的坐标是， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标是或； 【小问2详解】 解：∵为且为第三象限内一点， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：当时，的面积， 当的面积是的面积的2倍时，的面积， 设， 则的面积 ， 即 解得：或， ∴点的坐标是或． 六、解答题（四）（共1小题，每小题11分，共11分） 25. 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：___________； （2）若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束与射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】（1） （2）灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行 （3）与的数量关系不发生变化，其数量关系为：． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差关系，平角的定义的运用，解决问题的关键是运用分类讨论思想进行求解，解题时注意利用角的和差关系．（1）根据平角的定义和题目已知条件，得出，即可得解；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分三种情况进行讨论：①在灯射线转到之前，时，②在灯射线转到之后，时，③当时，分别求得的值即可；（3）设灯射线转动时间为秒，得出，，可得与的数量关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①在灯射线转到之前，，如图3， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵灯转动的速度是，灯转动的速度是， ∴， 解得；； ②在灯射线转到之后，又从转到时，，如图4， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵灯转动的速度是，灯转动的速度是， ∴， 解得；； ③同理，当，， 解得；（不合题意）， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； 【小问3详解】 解：与的数量关系不发生变化．理由如下： 设灯转动时间为秒，如图5， ∵， ∴， 又∵，过点作， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $