11.4 一元一次不等式组重难点题型（3个知识点+6种题型） 讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

11.4 一元一次不等式组 重难点题型（3个知识点+6种题型） 【题型归纳】 题型1 一元一次不等式组的定义 题型2 求一元一次不等式组的解集 题型3 一元一次不等式组的有解或无解 题型4 一元一次不等式组的整数解 题型5 方程（组）与一元一次不等式组综合运用 题型6 解特殊不等式组 一、知识梳理 要点一、不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点二、一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 要点三、一元一次不等式组的解法 解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 二、题型精讲 题型1 一元一次不等式组的定义 例1.下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 题型2 求一元一次不等式组的解集 例2.解不等式组： 【变式2-1】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2-2】已知不等式组． （1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来． （2）在（1）的条件下化简|x+2|﹣2|4﹣x|． 题型3 一元一次不等式组的有解或无解 例3.若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式3-2】若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 题型4 一元一次不等式组的整数解 例4.不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 【变式4-1】关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是 ． 【变式4-2】已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有解，求的取值范围； (2)若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 题型5 方程（组）与一元一次不等式组综合运用 例5.已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【变式5-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【变式5-2】已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 题型6 解特殊不等式组 例6.在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； (3)关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【变式6】阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4 一元一次不等式组 重难点题型（3个知识点+6种题型） 【题型归纳】 题型1 一元一次不等式组的定义 题型2 求一元一次不等式组的解集 题型3 一元一次不等式组的有解或无解 题型4 一元一次不等式组的整数解 题型5 方程（组）与一元一次不等式组综合运用 题型6 解特殊不等式组 一、知识梳理 要点一、不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点二、一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 要点三、一元一次不等式组的解法 解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 二、题型精讲 题型1 一元一次不等式组的定义 例1.下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式． 【变式1】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 题型2 求一元一次不等式组的解集 例2.解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【变式2-1】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】：解不等式3x﹣2＞x+2，得：x＞2， 解不等式1，得：x≤3， 则不等式组的解集为2＜x≤3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式2-2】已知不等式组． （1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来． （2）在（1）的条件下化简|x+2|﹣2|4﹣x|． 【分析】（1）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集； （2）根据绝对值的意义化简即可． 【解析】：（1）解不等式①，得：x＜4， 解不等式②，得：x≥﹣2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜4， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： （2）由（1）知﹣2≤x＜4， 则|x+2|﹣2|4﹣x| ＝x+2﹣2（4﹣x） ＝x+2﹣8+2x ＝3x﹣6． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 题型3 一元一次不等式组的有解或无解 例3.若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数的取值范围，解第二个不等式可得，再结合原不等式组有解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式可得：， ∵关于的一元一次不等式组有解， ∴， 故选：D． 【变式3-1】若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 化简方程得， ∵， ∴， ∴方程的解为， ∵方程有非负整数解，且不满足方程， ∴为正整数，即为负整数，且是的因数， ∵， ∴， ∴的可能取值为， ∴对应整数为． ∴符合条件的所有整数的和为． 题型4 一元一次不等式组的整数解 例4.不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”． 分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解列出关于的不等式组，解之即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 因为不等式组的所有整数解之和为2， 所以不等式组的整数解为、0、1、2， 则， 解得， 故答案为：． 【变式4-1】关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的整数解得出答案即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∴不等式组的解集为：， 整数解只有2个，所以整数解是1，2 ， ． 故答案为：． 【变式4-2】已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有解，求的取值范围； (2)若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数，正确的求出不等式式组的解集，是解题的关键： （1）先求出每一个不等式组的解集，根据不等式组有解，得到，进行求解即可； （2）由（1）得到不等式组的整数解为：，得到，进行求解即可． 【详解】（1） 解：解不等式①，得：． 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：． （2）由（1）知：，， ∵该不等式组有且恰有四个整数解，故整数解为：， ∴， 解得：． 题型5 方程（组）与一元一次不等式组综合运用 例5.已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【答案】1和2 【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】方法一： 解：， 得，， ∵， ∴， 解得：， 得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，则满足条件的m的整数值为1和2； 方法二： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴满足条件的m的整数值为1和2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法． 【变式5-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)整数的值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，可得，结合，可列出关于m的不等式，求解即可； （2）根据不等式的解集为得到，再结合（1）可求出m的取值范围，找出整数m即可解答． 【详解】（1）解： ，得， ∴． ， ， ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为， ， ， 由（1）有， ∴ ∴整数的值为． 【变式5-2】已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 题型6 解特殊不等式组 例6.在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； (3)关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把三个方程相加，然后在方程的两边同时除2即可得出答案． （2）由题意可知关于和的方程组的解，从而列关于p和q的二元一次方程组并求解即可． （3）解方程组求得，，由，得到，即可得到或，再进行解不等式组，即可作答． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：； 故答案为：7． （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且关于p，q的二元一次方程组 ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：， 得，即 得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【变式6】阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 1 学科网（北京）股份有限公司 $