第14讲 一元一次不等式组的解法（知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

本初中数学讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，基于一元一次不等式基础，系统梳理概念（含三个构成条件）、解集（数轴表示及“同大取大”等四种情况口诀）、解法步骤（分开解、集中判）的完整知识支架。 资料以6大题型典例为特色，如气温范围问题培养用数学眼光观察现实世界的能力，参数求解题型锻炼数学思维推理意识，结合数轴与口诀直观教学，习题分层次设计，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升模型应用意识。

第14讲 一元一次不等式组（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式组的概念 1.一元一次不等式组：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组满足的条件：（1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式; （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数; （3）不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上.三者缺一不可. 【知识点02】一元一次不等式组的解集 1.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集. 2.利用数轴确定一元一次不等式组的解集的一般步骤： （1）将组成不等式组的一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确地表示出来（表示时要注意空心圆圈与实心圆圈的区别）; （2）确定数轴上解集的公共部分,若有公共部分,则公共部分就是此不等式组的解集;若没有公共部分,此时,我们说这个不等式组无解. 3.一元一次不等式组的解集有四种情况： 不等式组(𝑎>𝑏>0)    不等式①,②的解集在数轴上的表示 _______________ _________________ ___________________ _________ 不等式组的解集 𝑥>𝑎  𝑥<𝑏  𝑏<𝑥<𝑎  无解 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 说明：当不等式组中含有“≥ ”或“≤ ”时,分界点处用实心圆圈，确定解集的方法不变 【知识点03】解一元一次不等式组 1.解不等式组：求不等式组解集的过程叫作解不等式组. 2.解一元一次不等式组的一般步骤： （1）分开解：分别求出不等式组中各个不等式的解集; （2）集中判：利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 【题型一】一元一次不等式组的定义 例1．（2024七年级下·江苏·专题练习）汉中市今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃，则当天汉中市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．3＜t＜19 B．3≤t＜19 C．3＜t≤19 D．3≤t≤19 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】由最高气温与最低气温即可得出范围． 【详解】解：∵今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃， ∴当天汉中市气温t（℃）的变化范围是：3≤t≤19． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了不等式的相关知识，弄清题意，灵活运用相关知识是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·江苏·阶段检测）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【题型二】求不等式组的解集 例2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知实数满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式组，根据已知条件，通过代入消元法求出a和b的范围，再代入各选项的表达式，结合不等式性质确定正确选项． 【详解】解：由，得， 代入，得， ， 因此选项B错误； 由和， 得： ，选项A错误； ， 由得：， ， 即，选项C正确； ， 由得：， 即，选项D错误， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）对于数，规定 表示不大于的最大整数，例如 ． 若 ，则 的取值范围是_____． 【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义型运算问题和一元一次不等式组的解法，根据定义列出不等式组是解答本题的关键．根据的定义可知，，然后求解关于x的不等式组即可． 【详解】解：根据定义可知：， ∴， ∴ 解得：． 故答案为：． 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知三个实数a，b，c满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】（1）由得，将其代入中即可得出答案； （2）由得，结合（1）中所求结果及已知条件求得b的范围，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【题型三】求一元一次不等式组的整数解 例3．（2023七年级下·江苏·专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（　　）种情况． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先根据题意得到一个关于的不等式组，然后求出符合题意的数即可． 【详解】由题意得， 解得， 整数解有． 故选B． 【点睛】本题考查简单的程序框图以及不等式组整数解的求法．由题意可得到一个关于的不等式组，然后求解即可． 变式1．（22-23七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是___________． 【答案】或 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为22，可以确定不等式组的整数解，再确定m的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， ∴， ∵所有整数解的和是22，即或， ∴不等式组的整数解为：7，6，5，4或7，6，5，4，3，2，1，0，，，， ∴或； 故答案为：或． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）解方程组或不等式组： (1)； (2)求不等式组的整数解． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式组的整数解，熟练掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次不等式的步骤，是解题的关键： （1）加减消元法求出方程组的解即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：； 把代入①，得：， 解得：； ∴； （2）解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：． 【题型四】由一元一次不等式组的解集求参数 例4．（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据一元一次不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：解不等式， 移项得：， 化简得：， 又∵不等式组的解集为：， ∴． 变式1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 根据口诀：同大取大，且结合不等式组的解集，得出，再解得，可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为：， ， 解这个不等式得， 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． (1)以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”的是 (填序号)； (2)若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： (3)若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3)或或 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“解集内方程”的定义进行判断即可． （2）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． （3）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 所以属于不等式组的“解集内方程”的是②． 故答案为：②． （2）由得， 解不等式组 解得： 关于的方程是不等式组的“解集内方程”， ∴ 解得：． （3）由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 方程，都不是关于x的不等式组 ∴或或， 解得或或． 【题型五】由不等式组解集的情况求参数 例5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有3个整数解，则整数解为4，5，6， ， 解得：． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是______． 【答案】或 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键. 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解集为， 当时，这两个整数解一定是和，此时， ， ， 当时，有， ， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2． 根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求a的值； (3)关于y的不等式组恰有4个“整点”，直接写出m的取值范围________． 【答案】(1)；， (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先解不等式组确定解集为，然后根据题意求解即可； （3）用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴， 解得：； （3）解： 解得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴ ∴． 【题型六】不等式组和方程组结合的问题 例6．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】先利用加减消元法求出即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④． 【详解】解： 用①-②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴方程组的解为， 把代入到中得， 解得符合题意，故①正确； 当时，， ∴，x，y的值互为相反数，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴S的最大值为11，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键在于能够根据题意求出． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在关于x，y的方程组中，未知数x，y满足，，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组，二元一次方程组的解，熟练掌握解法是关键． 先解方程组求出方程组的解，然后根据列出关于m的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：解方程组，得， 由则有， 解得：． 一、单选题 1．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 2．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则，不等式组的解集为， 故选：B． 3．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，进而求得k的值． 【详解】解：由，解得； 由，解得． 由图象知不等式组的解集为， 则， ∴． 4．关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 【详解】解： ， 用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵， ∴． ，对于，当时，；当时，． ∵的取值范围是大于小于， ∴的取值范围是． 故选：D 5．若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，通过不等式组的整数解求参数等，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组的整数解求参数即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为， ∵不等式组有4个整数解， ∴， 故选：D． 6．不等式组的解集为，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围 【详解】解：解不等式 系数化为1得； 解不等式得； 不等式组的解集为，根据“同小取小”原则， 解得 7．若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 【答案】A 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组无解的条件列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：解第一个不等式得， 原不等式组化为 ∵不等式组无解， ∴ 解得 ∴ m的最大值是4． 二、填空题 8．我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 9．不等式组的最大整数解为________． 【答案】2 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的最大整数解即可． 【详解】解： 解不等式可得， 解不等式可得， 因此不等式组的解集为， 则不等式组的最大整数解为． 10．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 【答案】28 【分析】先求解方程得到用表示的，根据解为整数判断的性质，再解不等式组得到解集，根据不等式组仅有3个整数解确定的取值范围，结合条件找出所有符合的整数，求和即可． 【详解】解：解方程，得： ． ∵方程的解是整数， ∴为偶数，可得a为奇数． 解不等式组 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得． ∵a为整数，且a为奇数， ∴符合条件的整数a为13，15， ∴满足条件的所有整数a的和为． 11．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 12．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出为，，，，，，根据不等式组有个整数解得出关于的不等式组，然后根据题意得到整数为，，，再求其和即可． 【详解】解：解方程组， 由得，代入得：， 解得， 方程组的解为整数， 是的整数约数，即可取，，， 则为，，，，，， 解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解，其整数解为，，，，， ， 解得， 结合的所有可能取值，符合条件的整数为，，，它们的和为 ， 故答案为：． 三、解答题 13．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）解两个一元一次不等式，得到各自解集； （）结合数轴解集与含参数解集，列方程求； （）根据整数解个数，列不等式求的范围． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 移项得：， 即：， 解得：； 解不等式②，得， 移项得：， 两边同除以，得； （2）解：由数轴可得，不等式组的解集为， 结合（）的结论，不等式组解集为， ∴， 解得：． （3）解：不等式组的解集为， 大于的连续整数从小到大依次为：， 若不等式组恰有两个整数解，则这两个整数为、， ∴， 解得：． 14．定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （3）根据新定义可得不等式组，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集为即可求出m的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵解集为， ， 解得． 15．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得； （2）求出一元一次不等式组的整数解，则可得其关联方程的解，由此即可得； （3）先分别求出两个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得． 【详解】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 16．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 或 (3) 【分析】（1）先求出不等式①、②、③的解集，判断即可； （2）先求出方程组的解和的值，根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可； （3）先求出方程和解不等式组，求出n的范围，根据正整数“梦想解”的和为10，得出，最后可得答案． 【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”， 解②得：，故不是②的“梦想解”， 解③得：，故是③的“梦想解”， 是方程和不等式③的“梦想解”； （2）解方程组，得， ， 方程组的解是不等式组的“梦想解”， ， 解不等式组得：， 为整数， 或； （3）解方程：，得：， 解不等式组，得：， 关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”， ， 解不等式组得：， 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4， ，解得：， 综上：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一元一次不等式组（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式组的概念 1.一元一次不等式组：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组满足的条件：（1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式; （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数; （3）不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上.三者缺一不可. 【知识点02】一元一次不等式组的解集 1.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集. 2.利用数轴确定一元一次不等式组的解集的一般步骤： （1）将组成不等式组的一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确地表示出来（表示时要注意空心圆圈与实心圆圈的区别）; （2）确定数轴上解集的公共部分,若有公共部分,则公共部分就是此不等式组的解集;若没有公共部分,此时,我们说这个不等式组无解. 3.一元一次不等式组的解集有四种情况： 不等式组(𝑎>𝑏>0)    不等式①,②的解集在数轴上的表示 _______________ _________________ ___________________ _________ 不等式组的解集 𝑥>𝑎  𝑥<𝑏  𝑏<𝑥<𝑎  无解 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 说明：当不等式组中含有“≥ ”或“≤ ”时,分界点处用实心圆圈，确定解集的方法不变 【知识点03】解一元一次不等式组 1.解不等式组：求不等式组解集的过程叫作解不等式组. 2.解一元一次不等式组的一般步骤： （1）分开解：分别求出不等式组中各个不等式的解集; （2）集中判：利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 【题型一】一元一次不等式组的定义 例1．（2024七年级下·江苏·专题练习）汉中市今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃，则当天汉中市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．3＜t＜19 B．3≤t＜19 C．3＜t≤19 D．3≤t≤19 变式1．（22-23七年级下·江苏·阶段检测）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【题型二】求不等式组的解集 例2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知实数满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）对于数，规定 表示不大于的最大整数，例如 ． 若 ，则 的取值范围是_____． 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知三个实数a，b，c满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【题型三】求一元一次不等式组的整数解 例3．（2023七年级下·江苏·专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（　　）种情况． A．4 B．3 C．2 D．1 变式1．（22-23七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是___________． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）解方程组或不等式组： (1)； (2)求不等式组的整数解． 【题型四】由一元一次不等式组的解集求参数 例4．（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． (1)以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”的是 (填序号)； (2)若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： (3)若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 【题型五】由不等式组解集的情况求参数 例5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是______． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2． 根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求a的值； (3)关于y的不等式组恰有4个“整点”，直接写出m的取值范围________． 【题型六】不等式组和方程组结合的问题 例6．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在关于x，y的方程组中，未知数x，y满足，，求m的取值范围． 一、单选题 1．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 4．关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．不等式组的解集为，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 二、填空题 8．我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 9．不等式组的最大整数解为________． 10．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 11．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 12．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 三、解答题 13．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 14．定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 15．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 16．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $