专题11.5 用一元一次不等式解决问题（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版七年级数学下学期

本讲义聚焦用一元一次不等式解决问题，系统梳理七步解题流程、关键词与不等号对应表及八大数量关系模型，承接一元一次方程知识，构建从等量到不等关系的思维支架，为函数学习奠定基础。 分层题型设计（基础、培优、压轴），通过关键词翻译、得分问题等实例培养抽象能力、推理意识与模型意识，课中助力教师梯度教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与实际问题解决能力。

专题11.5 用一元一次不等式解决问题 知识点1：用一元一次不等式解决实际问题的步骤 1.审：认真审题，分清已知量、未知量，找出不等关系。 2.设：设出适当未知数（一般求什么设什么，不含“至少、最多”）。 3.找：抓关键词，把文字语言转化为不等号。 4.列：根据不等关系列出一元一次不等式。 5.解：正确解出不等式的解集。 6.验：检验解是否符合实际意义（如人数、件数取正整数）。 7.答：规范写出答案。 知识点2：常见不等关系关键词与不等号对应表 文字关键词 数学符号 示例 大于、超过、多于 ＞ 收入超过300元：x＞300 小于、低于、少于 ＜ 速度低于20km/h：x＜20 不小于、至少、不少于 ≥ 得分不少于80分：x≥80 不大于、至多、不超过 ≤ 费用不超过500元：x≤500 非负数 ≥0 非负整数解：x≥0且x为整数 知识点3：实际问题常见数量关系模型 1.行程问题 路程=速度×时间； 追击问题：快者路程−慢者路程≥初始距离； 限时到达：剩余路程≤速度×剩余时间。 2.工程/生产问题 工作总量=工作效率×工作时间； 总量不低于任务：效率×时间≥任务量。 3.销售/购物问题 总价=单价×数量； 总费用≤预算；利润=售价−进价。 4.分段计费问题（水费、电费、话费） 总费用=基础段费用+超额段费用； 总费用≤限额。 5.分配/剩余问题 已用量<总量；实际用量>总量； 有剩余：每人数量×人数<总数量。 6.得分/积分问题 总得分=答对得分−答错/不答扣分； 总得分≥目标分数。 7.几何用料问题 单件用料×数量≤总材料； 周长/面积满足范围限制。 8.方案选择问题 方案A费用≤方案B费用；两种方案同时满足限制条件。 【基础必考题型】 【题型1】关键词翻译列不等式（直接列式） 1.核心知识点 不等关系关键词与不等号对应；一元一次不等式列式 2.解题方法技巧 先圈关键词→对应不等号→列式→检查是否只含一个未知数 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·期中）x的3倍与5的差不大于10，列不等式：_________． 【答案】 【详解】解：根据题意，列不等式：． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·湖南永州·期中）“的2倍与5的和是非负数”用不等式表示为_____． 【答案】 【详解】解：由题意得：． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山西太原·期中）小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟，再根据总路程不小于两地距离即可列出不等式． 【详解】解：设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟， 由题意可得：． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 【题型2】得分/积分类问题（竞赛、考试计分） 1.核心知识点 总分=得分-扣分；根据“不少于、超过”列不等式 2.解题方法技巧 设答对x道→表示答错/不答数量→列总分不等式→取最小整数解 【例题2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； (3)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列方程和不等式的方法是解题的关键． （1）先确定答错的题数，再根据得分规则列出得分的表达式． （2）根据得分不低于70分列出不等式，求解并结合实际意义确定的取值范围． （3）假设得分能达到95分，列出方程求解，根据需为整数判断是否能达到． 【详解】（1）解：总题数20，2道未答，答对道，答错道． ， ， ； （2）解：由，即， ， ， ， 因为为整数且， 所以； （3）解：假设能达到，， ， ， ， 因为不是整数， 所以不能达到． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·北京·开学考试）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E (1)请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式； (2)5位同学的比赛名次依次是__________．（仿照第二条信息的数学表达式用“＞”连接） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查推理与论证问题，关键是根据题意得出结论解答． （1）根据题意列出数学表达式即可； （2）根据推理得出几位同学的名次即可． 【详解】（1）解：填表如下： 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （2）解：由（1）得四个代数式①；②；③；④； 由①和③得到一个推论⑤， 由②④得⑥， 由①得⑦，代入④得到， 整理得到⑧， 由⑤得⑨， 把⑦和⑨代入②得， 整理得⑩， 最后把⑥⑧⑩结合一起，得到． 故答案为：． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 【答案】 176分 18 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）求出只参加一项的人数再进行计算即可； （2）设七年级2班共有x人，由题意得，求出七年级2班共有30人，再需要y人报名参加“24点速算”，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：（1）七年级1班参加一项的人数为：（人）， 积分为：（分）， 故答案为：176分； （2）设七年级2班共有x人， 由题意得：， 解得， ∴七年级2班共有30人． 设需要y人报名参加“24点速算”， 由题意得：， 解得， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为18， 即至少需要18人报名参加“24点速算”， 故答案为：18． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 【答案】(1) 胜一场积3分，负一场积1分 (2) 不能实现，见解析 (3) 至少要胜8场 【分析】（1）任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； （3）任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是24分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：任务一：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意，得， 解得， 答：胜一场积3分，负一场积1分； （2）解：任务二：不能实现，理由如下： 设梦想队胜了m场，则负了场， 由题意，得， 解得， ∵2.5不是整数，不符合题意， ∴不能实现； （3）解：任务三：设他们要胜n场，则负场， 由题意，得， 解得， ∵n是整数， ∴n取8． 答：至少胜8场． 【题型3】分配/阅读/剩余类问题 1.核心知识点 总量与部分量关系；“没读完、不到、有剩余”列不等式 2.解题方法技巧 抓“7天没读完”“不到一周完成”等→列两个不等式→取公共解 【例题3】.（24-25七年级下·湖南怀化·期末）小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为解答即可． 本题考查了不等式的应用，正确选择不等号建立不等式是解题的关键． 【详解】解：设以后几天里平均每天要阅读页， 根据题意列不等式为， 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·上海松江·期中）把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少名？设有x名学生，依题意可列不等式____． 【答案】 【分析】先根据第一个分配条件表示出奖品的总数量，再根据第二个分配条件确定最后一名学生分得奖品数的范围，据此列出不等式． 【详解】解：∵有名学生， ∴根据“每人分3个，多出7个奖品”，可得奖品总数为， 若每人分5个，有一个学生分到的奖品少于3个，则名学生每人分得5个奖品，最后一名学生分得的奖品数为， ∵最后一名同学的奖品少于3个， ∴可得不等式：． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·山西太原·月考）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 【答案】从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设从第7天起平均每天要读页．因为500页的科普书计划10天内读完．前5天因种种原因只读了240页，故得，再解得，即可作答． 【详解】解：设从第7天起平均每天要读页． 根据题意，得， 解得． 答：从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 【培优高频题型】 【题型4】分段计费基础题（水费、电费、通话费） 1.核心知识点 分段计算费用；不超过标准用基础价，超量加价 2.解题方法技巧 先判断是否超量→按段算费用→列“总费用≤限额”不等式 【例题4】.（2025·福建泉州·模拟预测）由于电力紧张，某地决定对工厂实行“峰谷”用电．规定：在每天的至为“峰电”期，电价为a元/度；每天至为“谷电”期，电价为b元/度．下表为某厂月份的用电量和电费的情况统计表： 月份 用电量（万度） 电费（万元） 4 12 6.4 5 16 8.8 (1)若4月份“谷电”的用电量占当月总电量的，5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的，求的值． (2)若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和万元），那么该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？ 【答案】(1)“峰电”期电价为0.6元/度，“谷电”期电价为0.4元/度 (2)在大于小于之间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识；由题意列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）根据已知条件可以求出4月、5月的“峰电”的用电量和“谷电”的用电量，然后根据电费建立二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设6月份的“谷电”的用电量为x万度，则“峰电”的用电量为万度，根据电费的控制范围建立不等式组求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵4月份“谷电”的用电量占当月总电量的， ∴4月份“谷电”的用电量是：（万度）， ∴4月份“峰电”的用电量是：（万度）， ∵5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的， ∴5月份“谷电”的用电量是：（万度）， ∴5月份“峰电”的用电量是：（万度）， 由题意得：， 解得：， 答：“峰电”期电价为元/度，“谷电”期电价为元/度； （2）设6月份“谷电”的用电量为x万度，则“峰电”的用电量为万度， 由题意得：， 解得：， ∴该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在大于且小于之间． 【变式题4-1】.（24-25七年级上·上海·寒假作业）某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，并根据题意列出不等式是解题关键．直接利用表格设小华家到学校，判断当时满足题意；当时，表示出所需费用进而得出不等式求出答案． 【详解】解：设小华家到学校， 当时， 因为， 故满足题意； 当时， 根据题意可得：， 解得：， 答：小华家到学校最多． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 50 100 150 200 剩余电量 50 46 42 38 34 若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开______公里就必须去充电． 【答案】525 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．先求出该汽车正常行驶时每千米耗电量，再根据电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：由表格可知，该汽车正常行驶时每千米耗电量为， 由题意得：， 解得， 所以小滨家的汽车至多开，即525公里就必须去充电． 故答案为：525． 【变式题4-3】.（2026八年级下·广东深圳·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费、水价分两个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过，下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整），已知该居民月份和月份的用水量总和为，且月份的用水量超过月份，但不超过月份的倍． (1)设该居民月份的用水量为，求的取值范围； (2)该居民月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民月份的生活用水水费比月份多元，求该居民月份的用水量． 居民生活用水消费明细 计费日期2025-7-1至2025-7-31 自来水费 污水处理费 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 阶段一： 阶段一： 阶段二：▲ ▲ 阶段二：▲ ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】（1）根据“月用水量超过月且不超过其倍”的条件，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围； （2）先根据阶梯水价规则写出月总水费的函数表达式，再利用一次函数单调性，在的取值范围内取最大值计算最多水费； （3）分“月用水量超”和“不超”两种情况，分别列方程求解月用水量，筛选出符合条件的解． 【详解】（1）解：根据题意可知，月份的用水量为， 可得， 解，可得； 解，可得． 则的取值范围为． （2）解：据（1）可知，， 该居民月份的生活用水费为， 由，则随的增加而增大， 故当，取得最大值， 即该居民月份的生活用水水费最多需要缴纳元． （3）解：据（1）可知，该居民月份的用水量的取值范围为， 当，月份的用水量超过了， 则该居民月的水费为， 月的水费为， 可得， 解得，不符合题意； 当，月份的用水量未超过， 则该居民月的水费为， 月的水费为， 可得， 解得，故该居民月的用水量为． 【题型5】购物方案与费用限制问题 1.核心知识点 单价×数量=总价；总费用不超过预算；整数解方案 2.解题方法技巧 设购买数量→表示总费用→列不等式→求正整数解→写方案 【例题5】.（25-26七年级上·天津河北·月考）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【答案】(1)方案一：10000元，方案二：10800元 (2)当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据已知条件列出不等式是解题的关键． （1）根据方案一，买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，计算总价；方案二所有商品打九折，计算总价即可； （2）分别列出方案一和方案二的付款表达式，比较大小，确定省钱的方案即可． 【详解】（1）解：购买洗衣机10台，电磁炉20台， 方案一：买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，付款为 （元） 方案二：所有商品按付款，付款为 （元） 因此，方案一需付款10000元，方案二需付款10800元； （2）解：设购买电磁炉x台（）， 方案一付款为：， 方案二付款为：， ， 当，即时，，则方案一省钱； 当，即时，，则方案二省钱； 当，即时，，则两种方案付款相同， 因此，当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时，和时，分别计算可以得解； （3）依据题意，分、和时，分别分析计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）解：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠； （3）解：方案一比方案二最多优惠的金额优惠额方案②费用方案①费用，需找优惠额的最大值： 当时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）； 当时，优惠额（随x增大而增大）， 时，优惠额元； 当时，优惠额（随x增大而减小），最大值小于20元． 综上，方案一比方案二最多优惠20元． 故答案为：20． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种：设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数）． 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 (1)若时，选择方案①的总费用为______元，选择方案②的总费用为_________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时讨论，分别计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）解：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）综合与实践 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解交口文化，交口县某中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款_____元（用含的式子表示）． (2)选择哪种方案更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，两种方案所需费用相等；当时，方案一更优惠；当时，方案二更优惠． 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）结合（1）所得式子，列方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：若该客户按方案一购买，需付款元； 若该客户按方案二购买，需付款元． （2）解：当时，解得：，则两种方案所需费用相等． 当时，解得：，则时，方案一更优惠； 当时，解得：，则方案二更优惠． 【题型6】行程与速度安全问题 1.核心知识点 路程=速度×时间；限时到达列不等式 2.解题方法技巧 统一单位→算剩余路程/时间→列“路程≤速度×时间” 【例题6】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设李明冲刺的速度为，可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设李明冲刺的速度为， ∵张华离终点，冲刺速度为， ∴张华到达终点的时间为 ∵李明在张华身后， ∴李明到终点的总路程为 ， 要使李明在张华之前到达终点，即在张华跑完全程的时间内，李明跑的路程要大于他到终点的总路程， 因此列出不等式为 ． 【变式题6-1】.（24-25九年级上·全国·课后作业）甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时， 根据题意得：， 解得， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火索后，要在炸药爆炸前跑到米以外的安全区域．已知导火索的燃烧速度是厘米/秒，人跑的速度是米/秒．要保证点火操作人员的安全，导火索的长度必须超过多长才行？ 【答案】超过厘米 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．解决本题的关键是根据操作人员点燃导火索后人所跑的路程要大于米，列出不等式求解即可． 【详解】解：设导火索的长度为厘米，米/秒厘米/秒，米厘米， 根据题意可得：， 解不等式，得． 答：要保证点火操作人员的安全，导火索的长度必须超过厘米． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（情境应用）请根据题意列不等式： (1)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为．设导火线的长为； (2)一艘轮船从某江上游的地匀速航行到下游的地用了，从地匀速航行返回地用了不到，这段江水的流速为．设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． （1）根据题意，则导火线燃烧的时间为，根据路程等于速度乘以时间，列出一元一次不等式，即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，两地的距离，列出一元一次不等式，即可． 【详解】（1）解：由题意可得，设导火线的长为， ∴导火线燃烧的时间为， ∴不等式为：． （2）解：设轮船在静水里的往返速度为 ∴轮船从地到地的速度为，从地到地的速度为 ∵从地匀速航行返回地用了不到， ∴不等式为：． 【压轴素养题型】 【题型7】几何与材料用料限制问题 1.核心知识点 用料总量≤现有材料；周长、面积不等关系 2.解题方法技巧 算单件用料→设套数/个数→总用料≤存量→求最大整数解 【例题7】.（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．根据长方形边长大于0，周长不大于20，列出不等式组，解一元一次不等式组即可得出结论． 【详解】解：由已知可得：， 解得：． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查代数式的运用，不等式的性质比较大小，理解题意，掌握代数式的表示，不等式的性质比较大小的方法是关键． （1）根据题意得到铁丝的长为，则正方形的边长为，根据正方形的面积的计算即可求解； （2）根据题意得到正方形，长方形的面积差，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴铁丝的长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为：； （2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为：， ∵， ∴同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【题型8】方案优选与最值问题（最省钱、利润最大） 1.核心知识点 多方案比较；费用/利润函数；不等式定范围 2.解题方法技巧 列出所有可行方案→分别算费用/利润→选最优 【例题8】.（24-25七年级下·全国·周测）有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载__箱纸． 【答案】31 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设还能搭载x箱纸，利用总重量小于等于，进而得出答案． 【详解】解：设还能搭载x箱纸，根据题意可得： ， 解得：， 所以，该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载31箱纸． 故答案为：31． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·上海崇明·月考）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，代数式求值等知识，设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据第二次进货总价不高于16800元列出一元一次不等式得出．再设利润为w元，则，把的整数代入计算并发现规律即可求解． 【详解】解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， 当时，把代入（元）， 当时，把代入（元） … 可知随着m的增大，利润越来越小， ∴当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·陕西安康·期末）近年来，我国新能源汽车产业已形成“研发－制造－消费－出海”的全链条优势，成为全球电动化转型的核心引擎．某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件的质量是1.2吨，1个B型部件的质量是0.8吨，现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输这两种部件共16个去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【答案】11个 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设这辆卡车运输个型部件，根据卡车的最大额定载重质量为15吨，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设这辆卡车运输个型部件，则运输个型部件， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为11． 答：这辆卡车最少要运输11个型部件． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·河南南阳·期末）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个 (2)按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，代数式的表示及最值，解题关键是厘清题意，找出数量关系，区分等式和不等式的地方． （1）设A款玩偶购进x个，根据两款玩偶的总数量，总成本及进价，即可列出方程求解； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个，根据两款购进的数量要求列出不等式，求出a的范围；再根据两款玩偶的进价和售价，表示出利润，结合a的范围，即可求解． 【详解】（1）解：设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个 由题意，得 解得： 答：A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个， 由题意，得， 解得， ∴a最大值为10 设获利y元，则 ∵一个加数300不变，当另一个加数最大时，和y最大． ∴时，最大，此时y最大值为380元， ∴时，此时y最大值为元 此时B款玩偶为：（个） 答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元． 易错点 1.关键词翻译错误，把“至少”写成＞，“不超过”写成＜。 2.忽略实际意义，人数、件数、次数取小数，未取正整数。 3.单位不统一直接列式，如分钟与小时混用导致错误。 4.解不等式时系数为负未变号，造成解集方向完全相反。 5.漏检验，数学解正确但不符合题目限制条件。 6.分段计费算错区间，超量部分仍按基础价计算。 重点 1.掌握六步解题法：审→设→找→列→解→验→答。 2.熟练关键词与不等号的对应转化。 3.会列一元一次不等式解决得分、分配、购物、行程等问题。 4.结合实际意义取整数解并规范作答。 难点 1.复杂情境中准确找不等关系。 2.方程与不等式综合，先求参数再列不等式。 3.分段计费、方案选择、最优决策类题目。 4.创新情境（古文、程序、传统文化）的数学建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知这批蔬菜可卖元，根据“总收益比成本至少高”即可列出不等式． 【详解】解：设每千克蔬菜的售价为元， 依题意，得：． 2．某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】B 【分析】设商品打折，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】解：设商品打折， 由题意得，， 解得， ∵打折数越小，折扣力度越大， ∴的最小值为， ∴最多可以打折． 3．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 【答案】B 【分析】先计算出剩余需要走的路程，再根据8秒内通过马路的要求列不等式，求解得到最小倍数，进而结合实际情况作答即可． 【详解】解：设小华的速度要提高到原来的倍， ∵人行横道全长24米，小华行至离起点处， ∴剩余路程为米， 要在红灯亮起前也就是8秒内通过马路，可得不等式： 化简得， 解得， ∴他的速度至少要提高到原来的倍． 二、填空题 4．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 5．“3与的和不大于1”用不等式可表示为_____． 【答案】 【详解】解：“3与x的和不大于1”用不等式表示为． 6．小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 【答案】八 【详解】解：设该卫衣打折销售， 依题意得， 解得， 即至多可以打八折． 三、解答题 7．某文具店售卖笔记本和中性笔，已知购买3本笔记本和2支中性笔共需22元；购买2本笔记本和3支中性笔共需18元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的单价； (2)若计划一次性购买两种文具共40件，总费用不超过200元，求最多可购买笔记本多少本？ 【答案】(1)笔记本6元，中性笔2元 (2)最多购买30本 【分析】（1）设笔记本x元/本，中性笔y元/支，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买笔记本m本，列一元一次不等式，取最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，中性笔y元/支， 则，解得：， 答：笔记本6元，中性笔2元； （2）解：设购买笔记本m本，则购买中性笔支， 则， 解得：， 为整数， 的最大取值为， 答：最多可购买笔记本本． 8．为落实“十五五”绿色低碳发展，我县交通局计划采购一批新能源公交车，包括纯电动公交车和氢燃料公交车两种车型．每辆纯电动公交车售价120万元，每辆氢燃料公交车售价180万元，交通局共采购两种车型20辆． (1)若总购车款为3000万元，求采购的纯电动公交车和氢燃料公交车各多少辆？ (2)若每辆纯电动公交车每年可减少碳排放60吨，每辆氢燃料公交车每年可减少碳排放80吨．交通局要求这批新车每年减少的碳排放总量不低于1400吨，则纯电动公交车的数量最多可以是多少辆？ 【答案】(1) 采购纯电动公交车10辆，氢燃料公交车10辆 (2) 纯电动公交车最多可以是10辆 【分析】（1）设采购的纯电动公交车x辆，氢燃料公交车y辆，根据采购两种车型的辆数和为20辆，及采购两种车型的车款和等于3000万元得出方程组，求出解即可； （2）设纯电动公交车为a辆，则氢燃料公交车辆，根据纯电动公交车和氢燃料公交车每年减少的碳排放总量大于等于1400吨列出不等式，求出解集，再根据解集得出答案． 【详解】（1）解：设采购的纯电动公交车x辆，氢燃料公交车y辆， 根据题意，得， 解得， 所以采购的纯电动公交车10辆，氢燃料公交车10辆； （2）解：设纯电动公交车为a辆，则氢燃料公交车辆， 根据题意，得， 解得， 所以纯电动公交车最多可以是10辆． 9．近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 【答案】(1)A款单价为120元，B款单价为80元． (2)最多购买8个A款机器人玩具 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买A款机器人玩具个，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元， 根据题意，得方程组：， 解得， 答：所以A款单价为120元，B款单价为80元； （2）解：设购买A款机器人玩具个， 打折后单价：A款元；B款元； 根据题意得， 解得， 答：最多购买8个A款机器人玩具． 10．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 【答案】(1)300，240 (2)①甲、乙两商店的购买金额分别为元，元；②当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同 【分析】（1）根据优惠方案求解即可； （2）①根据两种优惠方案即可列代数式；②分类讨论，解不等式或方程即可． 【详解】（1）解：当时，（元）， 此时购买金额不超过300元， 故在甲商店的购买金额为300元； 在乙商店的购买金额为（元）； （2）解：当时，①， 则甲商店购买金额为元； 乙商店购买金额为：（元）； ②当时，解得， ∴当时，甲商店费用少； 当时，解得， ∴当时，乙商店费用少； 当时，解得， ∴当时，甲、乙商店费用一样， 答：当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.5 用一元一次不等式解决问题 知识点1：用一元一次不等式解决实际问题的步骤 1.审：认真审题，分清已知量、未知量，找出不等关系。 2.设：设出适当未知数（一般求什么设什么，不含“至少、最多”）。 3.找：抓关键词，把文字语言转化为不等号。 4.列：根据不等关系列出一元一次不等式。 5.解：正确解出不等式的解集。 6.验：检验解是否符合实际意义（如人数、件数取正整数）。 7.答：规范写出答案。 知识点2：常见不等关系关键词与不等号对应表 文字关键词 数学符号 示例 大于、超过、多于 ＞ 收入超过300元：x＞300 小于、低于、少于 ＜ 速度低于20km/h：x＜20 不小于、至少、不少于 ≥ 得分不少于80分：x≥80 不大于、至多、不超过 ≤ 费用不超过500元：x≤500 非负数 ≥0 非负整数解：x≥0且x为整数 知识点3：实际问题常见数量关系模型 1.行程问题 路程=速度×时间； 追击问题：快者路程−慢者路程≥初始距离； 限时到达：剩余路程≤速度×剩余时间。 2.工程/生产问题 工作总量=工作效率×工作时间； 总量不低于任务：效率×时间≥任务量。 3.销售/购物问题 总价=单价×数量； 总费用≤预算；利润=售价−进价。 4.分段计费问题（水费、电费、话费） 总费用=基础段费用+超额段费用； 总费用≤限额。 5.分配/剩余问题 已用量<总量；实际用量>总量； 有剩余：每人数量×人数<总数量。 6.得分/积分问题 总得分=答对得分−答错/不答扣分； 总得分≥目标分数。 7.几何用料问题 单件用料×数量≤总材料； 周长/面积满足范围限制。 8.方案选择问题 方案A费用≤方案B费用；两种方案同时满足限制条件。 【基础必考题型】 【题型1】关键词翻译列不等式（直接列式） 1.核心知识点 不等关系关键词与不等号对应；一元一次不等式列式 2.解题方法技巧 先圈关键词→对应不等号→列式→检查是否只含一个未知数 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·期中）x的3倍与5的差不大于10，列不等式：_________． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·湖南永州·期中）“的2倍与5的和是非负数”用不等式表示为_____． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山西太原·期中）小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【题型2】得分/积分类问题（竞赛、考试计分） 1.核心知识点 总分=得分-扣分；根据“不少于、超过”列不等式 2.解题方法技巧 设答对x道→表示答错/不答数量→列总分不等式→取最小整数解 【例题2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； (3)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【变式题2-1】.（25-26八年级上·北京·开学考试）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E (1)请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式； (2)5位同学的比赛名次依次是__________．（仿照第二条信息的数学表达式用“＞”连接） 【变式题2-2】.（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 【题型3】分配/阅读/剩余类问题 1.核心知识点 总量与部分量关系；“没读完、不到、有剩余”列不等式 2.解题方法技巧 抓“7天没读完”“不到一周完成”等→列两个不等式→取公共解 【例题3】.（24-25七年级下·湖南怀化·期末）小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【变式题3-2】.（25-26七年级下·上海松江·期中）把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少名？设有x名学生，依题意可列不等式____． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·山西太原·月考）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 【培优高频题型】 【题型4】分段计费基础题（水费、电费、通话费） 1.核心知识点 分段计算费用；不超过标准用基础价，超量加价 2.解题方法技巧 先判断是否超量→按段算费用→列“总费用≤限额”不等式 【例题4】.（2025·福建泉州·模拟预测）由于电力紧张，某地决定对工厂实行“峰谷”用电．规定：在每天的至为“峰电”期，电价为a元/度；每天至为“谷电”期，电价为b元/度．下表为某厂月份的用电量和电费的情况统计表： 月份 用电量（万度） 电费（万元） 4 12 6.4 5 16 8.8 (1)若4月份“谷电”的用电量占当月总电量的，5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的，求的值． (2)若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和万元），那么该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？ 【变式题4-1】.（24-25七年级上·上海·寒假作业）某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 【变式题4-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 50 100 150 200 剩余电量 50 46 42 38 34 若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开______公里就必须去充电． 【变式题4-3】.（2026八年级下·广东深圳·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费、水价分两个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过，下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整），已知该居民月份和月份的用水量总和为，且月份的用水量超过月份，但不超过月份的倍． (1)设该居民月份的用水量为，求的取值范围； (2)该居民月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民月份的生活用水水费比月份多元，求该居民月份的用水量． 居民生活用水消费明细 计费日期2025-7-1至2025-7-31 自来水费 污水处理费 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 用水量/ 单价/（元/） 金额/元 阶段一： 阶段一： 阶段二：▲ ▲ 阶段二：▲ ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 【题型5】购物方案与费用限制问题 1.核心知识点 单价×数量=总价；总费用不超过预算；整数解方案 2.解题方法技巧 设购买数量→表示总费用→列不等式→求正整数解→写方案 【例题5】.（25-26七年级上·天津河北·月考）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种：设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数）． 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 (1)若时，选择方案①的总费用为______元，选择方案②的总费用为_________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）综合与实践 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解交口文化，交口县某中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款_____元（用含的式子表示）． (2)选择哪种方案更优惠？ 【题型6】行程与速度安全问题 1.核心知识点 路程=速度×时间；限时到达列不等式 2.解题方法技巧 统一单位→算剩余路程/时间→列“路程≤速度×时间” 【例题6】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设李明冲刺的速度为，可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25九年级上·全国·课后作业）甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【变式题6-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火索后，要在炸药爆炸前跑到米以外的安全区域．已知导火索的燃烧速度是厘米/秒，人跑的速度是米/秒．要保证点火操作人员的安全，导火索的长度必须超过多长才行？ 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（情境应用）请根据题意列不等式： (1)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为．设导火线的长为； (2)一艘轮船从某江上游的地匀速航行到下游的地用了，从地匀速航行返回地用了不到，这段江水的流速为．设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变． 【压轴素养题型】 【题型7】几何与材料用料限制问题 1.核心知识点 用料总量≤现有材料；周长、面积不等关系 2.解题方法技巧 算单件用料→设套数/个数→总用料≤存量→求最大整数解 【例题7】.（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【题型8】方案优选与最值问题（最省钱、利润最大） 1.核心知识点 多方案比较；费用/利润函数；不等式定范围 2.解题方法技巧 列出所有可行方案→分别算费用/利润→选最优 【例题8】.（24-25七年级下·全国·周测）有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载__箱纸． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·上海崇明·月考）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【变式题8-2】.（24-25七年级下·陕西安康·期末）近年来，我国新能源汽车产业已形成“研发－制造－消费－出海”的全链条优势，成为全球电动化转型的核心引擎．某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件的质量是1.2吨，1个B型部件的质量是0.8吨，现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输这两种部件共16个去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【变式题8-3】.（24-25七年级下·河南南阳·期末）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 易错点 1.关键词翻译错误，把“至少”写成＞，“不超过”写成＜。 2.忽略实际意义，人数、件数、次数取小数，未取正整数。 3.单位不统一直接列式，如分钟与小时混用导致错误。 4.解不等式时系数为负未变号，造成解集方向完全相反。 5.漏检验，数学解正确但不符合题目限制条件。 6.分段计费算错区间，超量部分仍按基础价计算。 重点 1.掌握六步解题法：审→设→找→列→解→验→答。 2.熟练关键词与不等号的对应转化。 3.会列一元一次不等式解决得分、分配、购物、行程等问题。 4.结合实际意义取整数解并规范作答。 难点 1.复杂情境中准确找不等关系。 2.方程与不等式综合，先求参数再列不等式。 3.分段计费、方案选择、最优决策类题目。 4.创新情境（古文、程序、传统文化）的数学建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 3．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 二、填空题 4．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 5．“3与的和不大于1”用不等式可表示为_____． 6．小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 三、解答题 7．某文具店售卖笔记本和中性笔，已知购买3本笔记本和2支中性笔共需22元；购买2本笔记本和3支中性笔共需18元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的单价； (2)若计划一次性购买两种文具共40件，总费用不超过200元，求最多可购买笔记本多少本？ 8．为落实“十五五”绿色低碳发展，我县交通局计划采购一批新能源公交车，包括纯电动公交车和氢燃料公交车两种车型．每辆纯电动公交车售价120万元，每辆氢燃料公交车售价180万元，交通局共采购两种车型20辆． (1)若总购车款为3000万元，求采购的纯电动公交车和氢燃料公交车各多少辆？ (2)若每辆纯电动公交车每年可减少碳排放60吨，每辆氢燃料公交车每年可减少碳排放80吨．交通局要求这批新车每年减少的碳排放总量不低于1400吨，则纯电动公交车的数量最多可以是多少辆？ 9．近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 10．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $