河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（五）平行B卷

**基本信息** 聚焦立体几何与解析几何模块，通过圆的方程、空间向量、折叠问题等设计，考查空间观念与推理能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|4题|长方体线面平行证明、三棱锥折叠问题、正方体动态夹角|结合空间直角坐标系，考查逻辑推理与模型意识| |填空题|4题|圆的方程、向量夹角、直线平行|注重基础计算与空间想象| |单选题|12题|圆与直线位置关系、充分必要条件|融入阅读材料（如平面方程），体现数学语言应用|

2027届数学作业规范化练习（五） (平行B卷)答题卷 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考 场、准考证号填写清楚。 [o] [o] [o] [0] [o] [o] 缺考标记 2.客观题答题，必须使用2B铅 [1] [1] [1] [1] [1] [1] ▣ 笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域 [3] [3] [3] [3] [3] [3] 内作答，超出答题区域书写无 [4] [4] [4 [4] [4] [4] 效。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 填空题(1~12为单选题，每题5分，；1315为多选题， 每题6分) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 13[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 15[A][B][C][D] 三、填空题（每题5分，共4个小题） 16. 17. 18 19 囚囚■ 第1页共6页 解答题 20.(12分) C ㄖ囚■ 第2页共6页 ■ 21.(13分) E D 、E 图1 图2 ■ 第3页共6页 ■ 22.(13分) D C B I I 囚■ㄖ 第4页共6页 9并s嵬 囚■囚 O a 0 E (I)EZ ▣ 请勿在此区域作答或 者做任何标记 ■ 第6页共6页 2027届数学作业规范化练习（五） （平行B卷） 一、单选题 1．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 6．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．或 D．2或1 7．已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 9．若异面直线的方向向量分别是，，设异面直线与的夹角为θ，则等于（    ） A． B． C． D． 10．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．已知平面的一个法向量为，点在内，则下列点也在内的是（    ） A． B． C． D． 14．已知单位向量两两的夹角均为且．若空间向量满足，其==中，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，则下列说法正确的有（    ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知，则 D．已知，则三棱锥的表面积 15．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（    ） A．，，，四点共面 B．与所成角的大小为 C．在线段上存在点，使得平面 D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 三、填空题 16．若直线与直线平行，则 . 17．设，则以线段AB为直径的圆的方程是 . 18．已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 19．如图，木质正四棱锥模型，底面边长为，高为2．过点A作一个平面分别交于点，若，则的值为 ．    四、解答题 20．在长方体中，点E，F分别在上，且.    (1)求证：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值． 21．如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 22．已知正方体中，M 为棱上的动点． (1)证明：平面平面； (2)求与所成角的取值范围． 23．已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求： (1)边上的高所在直线的方程． (2)直线的方程． 试卷第2页，共2页 2027届数学作业规范化练习（五） （平行B卷）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A A C D B A 题号 11 12 13 14 15 答案 B D BC AC AD 1．B 由题意，圆可化为，∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点，∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上，∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴，∴.故选：B. 2．A 由题可知，圆半径为1，圆心，由于，，故当取得最小值时角最大，，所以， 或（不合题意舍），所以，故选：A． 3．B 定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.故选：B. 4．C 由题意，在圆中， ， ∴圆心坐标为，半径为3．  ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得．故选：C. 5．A 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：，故选：A. 6．A 对于直线， 当时，不符合题意，故． 当时，；当时，， 所以直线在x轴和y轴上的截距分别为， 根据题意得，所以．故选：A． 7．C 向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为.故选：C. 8．D 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，所以直线的倾斜角为， 所以的斜率为，故选：D. 9．B ∵，，∴， ， 则.故选：B. 10．A 点关于轴对称的点的坐标为.故选：A. 11．B 由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线l的方向向量， 则，令，得， 则，故选：B． 12．D 由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，所以．故选：D 13．BC 若为内的点且与P不重合，则， 又平面的一个法向量为，则， 即，显然、不满足，、满足.故选：BC 14．AC 对于A，，则， 可知，则，故A正确； 对于B， ， 因为且，则，所以，故B错误； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，， ， ， ， 可得三棱锥是棱长为1的正四面体，其表面积，故D错误．故选：AC． 15．AD 以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，，， 设，   则， 所以，解得， 故，即，，，四点共面，故A正确； 因为，， 所以， 所以与所成角的大小为，故B错误； 假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值， 又的面积是定值， 所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确； 故选：AD. 16． 依题意可得，解得，当时，两条直线重合，故. 故答案为： 17． ，所以半径，又∵， ∴线段AB的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为.故答案为：. 18． ，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为．故答案为:． 19．/0.75 因为，所以，设， 则 ， 因为四点共面，可设， 故， 即， 故， 则，解得，故答案为：． 20．(1)证明见解析 (2) （1）因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面． （2） 以A为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图．  则， 所以，且是平面的一个法向量， ， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得，则， 设平面与平面的夹角为， 所以， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 21．(1)证明见解析 (2) （1）在图1的中，，所以，且， 因为，所以，则， 在中，，，则， 在图2的中，， 满足，所以， 因为平面， 所以平面． （2）因为平面，， 以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，， 则，所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 22．(1)证明见解析 (2) （1）因为四边形为正方形，则， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，故平面平面． （2）以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为1，则， 设点，其中，则， 设与所成角为，其中， 所以， 因为，所以，可得， 又，可得， 所以与所成角的取值范围为． 23．(1)； (2). （1）在中，，，，则直线AB的斜率为， 于是得边上的高所在直线斜率为，其方程为：，即， 所以边上的高所在直线的方程是：. （2）因直线平行于，则直线的斜率为，又边的中点在直线上， 于是得直线的方程为：，即， 所以直线的方程为. 答案第2页，共3页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $