广东中山市实验中学2025-2026学年高一下学期第一次段考数学试题

**基本信息** 2025-2026学年广东中山市实验中学高一下数学一段考，聚焦向量与三角函数核心知识，通过人脸识别情境题及创新定义“伴随函数”，考查数学抽象、运算推理及应用意识，适配高一下学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量平行（题2）、三角函数求值（题4）|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3题|向量投影模（题9C）、三角恒等式（题10）|多维度能力考查，选项区分度高| |填空题|3题|三角恒等变换（题12）、几何最值（题14）|综合应用，渗透数学建模| |解答题|5题|向量共线（15题）、人脸识别余弦距离（18题）、伴随函数定义（19题）|现实情境与创新定义结合，考查数学语言表达与逻辑推理|

2025-2026学年广东中山市实验中学高一下数学一段考 一、单选题 1.已知sina=-寻，则cos2a=（) A.-器B.-3C.务D. 2.已知向量=(3-6=(-2,1c=（-12),若a+6与平行，则入=（) A.-B.C.-1D.1 3.已知向量a=(2cosa,-1),6=(3cosc,1),且a1五，则cos2a=（） A.-B.号C.-青D.青 4.已知ossa=V3,则tan(a-)=（) A.1+V3B.1+2W5C.1-V5D.1-2W3 5.已知0 altπ，则“cosa=写”是“cos2a=专”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知平面向量a,6满足a=(5,1),6=(45,-1),则向量6在方向上的投影向量为 () A.(,-)B.(,-号)C.(5)D.(9,号) 7.sin400tan190°-V3=() A.-2B.-1 C.1 D.2 8.已知向量a=(cos20sin20),i=(cos8,sin8),且0°<日<90，若言i=号，则 tan(0+10)的值为() A. :B.1C.5 D.2 二、多选题 9.已知向量=(-1,4)，=(3，x),下列结论正确的是() A.若x=,则a1 B.若a//石，则x=12 C.若x=5,则6在上投影向量的模为√17D.若=⑥，则x=±22 10.下列等式不成立的有() 第页（共页） A.cos40°cos20°-sin40°sin200=5 B.sin15°cos15°=为 C. I-tanso =V3 1+tan15 D.5n2晋-cos25=号 11.已知函数f(x)=V3sin(3x+吾)+cos(3x+吾)，则() A.f(x)的值域为[-2,2] B.f(x)零点绝对值的最小值为号 C.f(x)在区间（琴，等）上单调递增 D.曲线y=f(x)的一条对称轴为x=要 三、填空题 l2.已知sinc=,a是第一象限角，且tan(a+Bnbsp;)=1,则tanS的值为 13.在ABC中，AB=2,BC=2V3,∠ABC=90°，E为AC边上靠近点A的三等分点，F为AC的 中点，则B2B京= 14.如图，在扇形0PQ中，半径0P=1,圆心角∠P0Q=.C是扇形圆弧上的动点，矩形 ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值是 45 B 四、解答题 15.设∈R,已知1，E2是平面内两个不共线的向量，AB=可+2，BE=3E+2, E式=-281+λ已，且A,B,C三点共线 (1)求的值； (2)若E1=(1,1),E2=(0,1), ①求向量A。与BC的夹角的余弦值； ②已知点D的坐标为(3,4)，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标. 16.已知平面内三个向量a=(1,3),=(-1,2),飞=(2,1). (1)若a=mb+nd,求实数m,n的值： (2)若(+k)//(2b-a),求实数k的值： 第页（共页） (3)已知tER,求a+t的最小值. 17.已知向量a=(sinx-V5cosx1),i=（2cosx3),f(x)=a.i. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)将f(x)图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的专倍，再向左平移m(mg0)个单位后得 到函数g(x),若g(x)为偶函数，求m的最小值. 18.人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用 计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸 识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点 A(xy),B(x2y2)，定义AB之间的余弦距离为1-cos(AB)，其中 oa)×+* (1)若A(2,-1),B(1,-2),求A、B之间的余弦距离： (2)已知0 It;alt Blt受，M(sina,cosx)，N(sin5,cosβ)，Q(sinB,-cos3)，若 cos(M,N)=克，cos(M,Q)=青. ①求N、Q之间的余弦距离； ②求tanatanBl的值. 19.定义向量O=(a,b)的“伴随函数”为f(x)=asinx+bcosx;函数 f(x)=asinx+bcosx的“伴随向量”为Od=(a,b): (1)写出O应=(1，V3)的“伴随函数”f(x),并直接写出f(x)的最大值： 第页（共页） (2)已知向量a=(-sin等，1)，6=（5cos号，1-2sin),函数f(x)=a.石，求函数f(x)的 “伴随向量”O应的坐标； (3)已知O=可利=1，O成的“伴随函数”为f(x),O六的“伴随函数”为g(x),设 O=0应+u0(7>0,u>0),且O币的伴随函数为h(x),其最大值为p.若=u=1, 求p的取值范围. 参考答案与试题解析 1.C 【解析】解： 由sina=-,得cos2a=1-2sin2a=1-2×（-昌)2=1-器=录 故选：C 第页（共页） 2.B 【解析】解： 由a=(3-1,6=（-2,1,得a+6=(37-2,-1+1) 又因为a+6与平行， 所以(3-2)×2-(-1)×(-1+1)=0，解得1=. 故选：B 3.A 【解析】解： 由向量a=(2cosa,-1),b=(3cosc,1), 由a1b可得：2cos3cosx-1=0, 整理得c0s2a=言， 所以c0s2a=2co92a-1=2×言-1=-号. 故选：A 4.D 【解析】解： 因为o8g=V5,cosa≠0， 分子分母同时除以cosa可得， 中=尽，→tama=与-1， tan-ta= 所以taa-到=器 an=1-2V3】 1+tana 故选：D 5.A 【解析】解： 由c0s2x=,得2c0s20-1=,解得cosa=士与，则“cosa=与”是“cos2x=号”的充分 不必要条件. 故选：A 6.c 【解析】解： 因.6=5×43+1×(-1)=11，=√(5)2+12=2： 则向量6在方向上的投影向量为言=号(W5,1)=(5,￥）. 第页（共页） 故选：C. 7.B 【解析】解： 原式=sin40(tan10°-tan60) =sim40(器 sin60' c0s60° =sin40n-co10'sin60) c0s10c0s501 =sin40°. sin-50) sin40'cos40 sin80' os10'cos60' cos10'cos60' 2c0s40ms60 =- c0s10 2c010c0s60= 2污=-1. 1 故选：B 8.C 【解】解： 因为向量=(cos20:sin20),i=(cos8sin8bsp),京i=号， 所以cos0c0s20°+sin0sia20°=9， 即c0s(日-20)=9， 又因为0°<6<90°，所以-201t,日-201t,70°，所以6-20°=30°，可得日=50°， 所以tan日+10)=tan60°=V3. 故选：C 9.A,C,D 【解析】解： 对于A选项，当x=时，言.6=-3+4x=-3+3=0,故A选项正确； 对于B选项，当//石时，-x-12=0,解得x=-12,故B选项不正确； 对于C选项，若x=5,在上的投影向量为卧，cos豆，碍， 于是5在上的投影有量的楼为eoa6bp=胃=器-品=7，故c选项正确： 对于D选项，若=⑧，则9+x2=√7，所以x=±22，所以D选项正确. 10.A,B,D 【解析】解： 对于A,c0s40.c0s20。-sin40.sin20。=c0s60。=号9，故A不成立： 对于B,sin15cos15。=sin30。=}号，故B不成立； 第页（共页） 对于C,器==2密器=an(45+15bsp)=tan60,=F,故c成立： 1-tan15 对于D,5in2晋-cos号=-c0s(2×看)=-c0s受=-县号，故D不成立。 11.A,B,C 【解析】解： 对于A,由辅助角公式得f(x)=2sin(3x+号)，可知值域为[-2,2]，故A正确； 对于B,记kEZ,解3x+号=kπ得x=π， 号π≥π，当且仅当k=0时，等号成立，故B正确： 对于C,由-受+2kπt3x+号1t受+2kπ得xE(-+,备+2)(kEZ), 取k=1得xe(路，)， 而（琴，等）s(,),易知此时f(x)单调递增，故c正确： 对于D,由3×警+哥=3π，知（等，0）为y=f(x)的一个对称中心， 所以x=警不为对称轴，故D错误. 12.克 【解析】解： 因为sina=寻，&是第一象限角，所以cosa=V1-sina=青， 所以tana=, 又因为tan(a+Bnbsp:)=1, 所以an8=tan(a+-Bnbsp,)-anbsp】.==克. 13.号 【解析】解： 以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 因为AB=2,BC=2W3,所以B(0,0),A(0,2),C(23,0), 因为F为AC中点，所以F5,,Ac=(25,-,应=AC=(5,-),则(5，) 所以2=(5，)，亦=(5，)： 所以B2B萨=9×5+青×1=号+等=号 第页（共页） E B 14.2- 2 【解析】解： 连接0C,设∠B0C=%,aE(0,罩)， 在RtB0C中，OC=1,则BC=0Csina=sina,OB=OCcos&=cosa, 因为ABCD为矩形，所以AD=BC=sin, 又∠P0Q=,则0A=AD=sin, 则AB=OB-OA=cos-sina, 所以矩形ABCD面积S=AB×BC=(cosa-sinanbsp,)sinx=专sin2a-=cg2g =支(sin2a+cos2a)-支=号sin(2a+)-支， 因为ae(0,),所以2a+等e(罩，要)， 所以当2a+等=号时，即a=青时，S=号sin(2a+)-专有最大值学 01 △45 A 15. (1)7=-1. 【解析】解： 由已知得A正=AB+BE=4+2e2,又E元=-28+已2， 因为AEC三点共线，所以号=异，即=一1. 2)①，②A(2,3). 【解析】解： ①油已知得AB=(1,2),B元=B2+E元=可1=(1,1)， 第页（共页） cosA店，BC=' 3 310 =五-0： ②油平行四边形得=BC,又Ai=(3-x44-yA), 1=3-8A 【x4=2 所以 1=4-yA，解得{yA=3，即A(2,3). 16. m=1 n=1 【解析】解： a=m6+n,又a=(1,3),6=(-1,2),c=(2,1), 即(1,3)=m(-1,2)+n(2,1), { -m+2n=1 ，解得 m=1 2m+n=3 n=1 (2)k=-2 【解析】解： :a+k元=(1+2k,3+k),26-=(-3,1), 又(a+k)//(26-a), 1×(1+2k)-[-3(3+k)]=0,即-3(3+k)=1+2k,解得k=-2. 3)5. 【解析】解： :+t6=(1,3)+t(-1,2)=（-t+1,2t+3), a+td=-t+1+2t+32=5(t+1)2+5≥5， 当t=-1时，点+t取最小值5. 17. (1)最小正周期T=π，单调递减区间[kπ+器，kπ+节π]，kEZ. 【解析】解： 已知a=(sinx-V5cosx1),6=(2 cosx,5), 可得：f(x)=a.石=2cosx(sinx-V5cosx)+v5=2 sinxcosx-25cosx+V5, 化简得：f(x)=sin2x-V3-V3cos2x+V3=sin2x-V3cos2x -2(si2xcos2x)-2(cossim2x-simco2x) =2sin(2x-等)，最小正周期T=牙=π， 第页（共页） 令2kπ+受≤2x-号≤2kπ+要，kEZ,可得kπ+晋≤x≤kπ+节π，k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间是[kπ+晋，kπ+号π]，k∈Z. (2)贤 【解析】解： f(x)=2sin(2x-号)的图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的号倍，得到y=2sin(4x-等) 的图象。 再向左平移m(mg0)个单位，得到g(x)=2sin[4(x+m)-哥]=2sin(4x+4m-号)的 图象， 因为g(x)为偶函数，所以4m-号=kπ+受，kEZ, 移项可得4m=kπ+号+号=kπ+晋，则m=答+哥，k∈Z, 因为mgt0,当k=0时，m取得最小值为贸 18. (1)房. 【解析】解： 由题意得1-cos(AB)=1-(后×店+启×看)=， :AB之间余弦距离为 2)①g-5；②5. 【解析】解： ①由题意得cos(M,N)=sin&sinB+cosacosB=cos(a-Bnbsp,:)=克， :0 iB1c号，-号1ea-B1c0,sin(a--Bnbsp,)=-号， cos(M,Q)=sinasinB-cosacosB=-cos(a+B)=, acos(a+B)=-有，：0l6a+Bl16,“sin(a+Bnbsp::)=9, cos(N,Q)=sin2B-cos2B=-cos2B=-cost(a+B)-(a-B)] -[-×有+-号×2=+9. :N,Q之间的余弦距离为1-cos(NQ)=1-(含+5)=-与 ②油①可得cos(&-Bnbsp;)=克，cos(a+B)=-青， cosacosB+sinasinB= cosacosB=立 cosacosB-sinasinB=- sinasin,B=是 第页（共页） :tanatanB= sinasing 19. (1)2· 【解析】解： 由0成=(1,5)，得a=1,b=5, f(x)=sinx+v5cosx=2(sinx+与cosx)=2sin(x+等)， 当且仅当x+号=号+2kπ，即x=音+2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2. 2o成=(-，). 【解析】解： 由题，可得f(x)=-sin登·5cos等+1-2sin2=- 号sinx+cosx, 所以函数F(x)的“伴随向量”O成=(-写，1). (3)[0,2]. 【解析】解： 由题，设o=(cosa%,sima),O=(cos3,sinβ)， :1=u=1,所以O=0M+Oi=(cosa+cosB,sina+sin3), :hx)=(cosa+cosB)sinx+(sina+sinB)cosx =V(cosa+cos3)2+(sina+sinS)2sin(x+φ)， ·p=V(cosa+cos,β)2+(sina+sinB)2 =V2+2(cosacosB+-sinasin,S)=V2+2cos(a-β)， :-1≤cos(a-B≤1，·p的取值范围为[0,2] 第页（共页）