广东中山第一中学中学2025-2026学年高一下学期二段考试数学试卷

2025-2026学年广东中山第一中学中学高一下数学二段考试卷数学参考 答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1 2 3 5 6 7 8 D B D B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 A,C A,B,D A,C,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5 13.90 14. [229 12'12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.1)AD=a+2方 3 3 (2) V13 3 16.(1)元 (2)3 2 17.(1)cosA= 3 (2)答案见详解 (2)g(t)的最小值为V3+1,最大值为2√5+1 19.(1)证明见解析 (2)作图见解析，√15 (3) V10 5 数学参考解析 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1而-号+6 3 【解答过程】 在△ABC中，BD=2DC, 则40=AB+BD=4B+号8c=A8+引4c-4-写48+号4C-+号6， 2)3 3 【解答过程】 已知d=1,=V5,ā与6的夹角为90°， 则ab=0, +-++-g0- 0 3 16.(1)元 【解答过程】 由函数f(x)=4 cos x sin 4-25ca+2s =v3 sin 2x+1+cos 2x=2sin2x+ +1, 6 2π 所以f(x)的最小正周期为T= 2 (2) 3 2 【解答过程】 由f(a)=2sim 2a+}1=0sm+8- 因为- <a<- ，月 2 6 √5 所以cosa=cos 6 2 (3) 6 【解答过程】 由x∈[0，m, 因为正弦函数在区间 2k2 2 +2k元 k∈Z上单调递增， →m≤石，即实数m的最大值为 π 所以2m+ 6 2 6 6 17.(1)c0sA= 3 【解答过程】 因为acos B-bcosA=c- 2b,由正弦定理可得sin AcosB-sin BcsA=sinC- sinB, Hsin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin B cos A, 2 sin A cos B-sin B cos A sin A cos B+sin B cos A--sin B, 3 可得sin B cos A=-sinB, 3 1 且B∈(0，π，则sinB≠0，所以cosA= 3 (2)答案见详解 【解答过程】 若达@：由1)可知cosA-,A∈0，，则sinA=-cosA=2y5 3 3 1 因为4S=a2+c2-b2,则4×5 acsin B=2 ac cos B,可得tanB=1, 2 且8e0,,则B-香 即角A,B,C确定且唯一，且Q=4,可知△ABC存在且唯一， 因为sinC=sin(A+B)=sin AcosB+sin Bcos4=4+y2 6 由正弦定理0=b可得b=asinB=3, sin A sin B sin A 所以△ABC的面积S= absinCx4x3x 1 6 若选②：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcc0sA, 167-2hx7.紧理可将公-276+1仁0 、2 则△= 2W17 4×1×1 3 32>0,可知方程有2个实根， 所以△ABC不唯一，故②不合题意； 若选③：设BC边上的中线为AD,则AD=2√2，且2AD=AB+AC, 可得4AD2=AB2+AC2+2AB.AC=c2+b2+2 be cos A=2b2+c2）-a2, 即b2+c2=4AD+a2 =24,此时无法解出b,c, 2 所以△ABC不唯一，故③不合题意. 18.(1)h(t)=2sin 【解答过程】 解：根据题意，T=10,A=2, 解T=2元-10，解得0=。 5 hmax =3,hmin =-1,..k= 3+-=1, 2 当t=0时，h=0, hl0=2sin0+1=0,解待sinp=-子 6 .h(t)=2sin (2)g)的最小值为V5+1,最大值为2√5+1 【解答过程】 g()h(t)+4cos=2sin+1+4cos -t-一 56 =3sin 1-cos+1+4cos 5 5 =3sin t+3cos+1 5 -sin-t+ -cos-t+1 2 5 2v3 sin sm得+到6，故25（仔+}1e[6+125+, 当0引 g(t)的最小值为V3+1,最大值为2V3+1. 19.(1)证明见解析 【解答过程】 PA 1 PD,.PD=23, 则PC2=PD2+CD2=13, ∴.CD⊥PD; 又：CD⊥AD,PD∩AD=D,PD、ADC平面PAD, ∴.CD⊥平面PAD,CDC平面ABCD, ∴.平面PAD⊥平面ABCD: (2)作图见解析，√5 【解答过程】 侧棱PA⊥PD,点E为AD中点， :AE PE =2, 又：PA=2, △PAE为正三角形，取AE中点H,则PH⊥AD,AH=1, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, PHC平面PAD,所以PH⊥平面ABCD, 过点H作HQ⊥CE交CE延长线于点Q,连接HQ,PQ. CQC平面ABCD,所以PH⊥CQ, 又HQ⊥CQ,PH∩HQ=H,PH、HQc平面PHQ, 所以CQ⊥平面PHQ,又PQc平面PHQ,.PQ⊥CQ, 根据定义，∠PQH即为二面角P-CE-B的平面角 lHO=HEsin∠HE0=|HEsin∠CED=5 .tan∠PQH= OH D (3)10 5 【解答过程】 (法一)作GI⊥平面ABCD, 则GIO PH,BH为PB在平面ABCD内的射影，所以点B,I,H共线， 再在平面PAB作GJ⊥PB交AB于点J, 又FG⊥PB,FG∩GJ=G,FG、GJc平面GFJ, PB⊥平面GFJ, 设线FJ交线BH于点L,则BG⊥FJ, 又GI⊥FJ,GI∩BG=G,GH、BGc平面BGL, .FJ⊥平面BGL,BLC平面BGL,得FJ⊥BL, .IL≤IF,.∠GFI≤∠GLI=90°-∠GBL, 又因为cos∠GBL= BH√2o BP5 5' 所以FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值为VI 5 当点F为线BH与AC的交点时取到最大角； (法二)过点G作GI⊥BH交BH于点I,连接BF,IF. 设BF=t,∠GBF=a,∠GBI=B, 则BG=t.cosa,GF=t.sina,Gl=t.cosa·sinβ 从而sin∠GF1=t~cosa·sinB_sinB t.sina tan a cosa=cosB·cos∠IBF, .B≤a,tanβ≤tana, 于是sin∠GFl=sinB<sinB tana tan B .=cos B= BH_10 PB 5 当且仅当B=a,即点F为AC与BH交点时，等号成立. 2025-2026学年广东中山第一中学中学高一下数学二段考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 2．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ） A． B．23 C． D．27 3．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴，轴，，那么（ ） A． B．2 C． D．4 5．已知，则（ ） A． B． C． D．或 6．在中，，则的形状为（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧（含端点）上的一点，则的范围为（ ） A． B． C． D． 8．某圆台的上、下底面半径分别为r、R，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知中，，，M是的中点，动点P在以为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（ ） A． B．最大值为 C．在上的投影向量为 D．若，且B，M，P三点共线时， 11．已知棱长为2的正方体，点P是的中点，点Q在线段上，满足（），则下列表述正确的是（ ） A．时，平面 B．不存在，使得平面 C．任意，三棱锥的体积为定值 D．过点，P，Q的平面分别交，于E，F，则的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，若，则______． 13．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为，．无人机距地面的高度为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度为______米． 14．若函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的（），得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在中，，设，． （1）试用，表示； （2）若，，与的夹角为，求． 16．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若且，求的值； （3）若在区间上单调递增，求实数m的最大值． 17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，，． （1）求； （2）从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S． 条件①；条件②；条件③边上的中线长为． 18．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈．如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）在如图所示直角坐标系上，将点P到水面的距离h（单位：m，且点P在水面下时h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数（，，），请求出的解析式． （2）当，求函数的最值． 19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E为中点． （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点F为对角线上的点，且，垂足为G，求与平面所成的最大角的正弦值．（注：本题建系不得分） 学科网（北京）股份有限公司 $