专题03一次函数全章14大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03一次函数（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、正比例函数的定义 题型二、正比例函数的图像 题型三、正比例函数的性质 题型四、求一次函数自变量或函数值 题型五、求一次函数的解析式 题型六、一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型七、已知函数经过的象限求参数范围 题型八、一次函数图象平移问题 题型九、根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十、一次函数的增减性与比大小 题型十一、一次函数与二元一次方程（组） 题型十二、一次函数与一元一次不等式 题型十三、一次函数与几何综合 题型十四、一次函数的实际应用 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数与正比例函数概念 掌握一次函数与正比例函数定义； 明晰二者从属关系； 确定自变量与函数值取值范围 基础必考题，以选择/填空为主，考查函数类型判定与参数约束，属于送分考点 待定系数法求解析式 熟练运用“设—列—解—代”四步流程； 能根据点坐标、平移、几何条件等求解析式 全题型覆盖，解答题必考，是综合题的基础解题工具 图像与性质（符号） 掌握定增减性、定截距； 判断图象象限分布；利用增减性比较函数值大小 高频核心考点，选择/填空必考，易错点为忽略与增减性前提 一次函数图象平移 掌握“不变，上加下减”平移规律； 会用点平移法求平移后解析式 选择/填空常考，侧重平移后解析式求解，难度中等 与坐标轴交点及面积计算 求与轴、轴交点； 计算围成三角形面积 选择/填空高频考点，期末核心得分点，易忽略绝对值致错 两直线位置关系 判定平行（）与相交（）； 理解平行与平移的关联 中档考点，常结合参数范围考查，侧重逻辑判断 与方程、不等式、方程组结合 理解图象与方程根、不等式解集、方程组解的对应关系； 用数形结合求解 选择/解答常考，考查数形结合思想，中等难度 一次函数与几何综合 解决图象与图形面积、动点、等腰/平行四边形等综合问题 解答压轴常考，区分度高，考查综合分析与数形结合能力 一次函数实际应用 从行程、计费、工程等情境建立一次函数模型； 求解取值范围与最值 解答题必考，贴近实际，考查建模与应用意识 知识点1：函数的概念 1.常量和变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量.在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量. 2.函数的定义 （1）一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化;当x的值确定时，y的值也随之唯一确定。变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 3.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 4.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 5.函数的图像 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 知识点2：正比例函数的概念 1.成正比例关系： 如果变量与变量的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成正比例．用数学式子表示为或，其中是一个不等于0的常数． 2.正比例函数： 形如是常数，的函数叫作正比例函数，其中非零常数称为比例系数，自变量的取值范围是一切实数．确定了比例系数，就可以给出正比例函数的表达式：． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 知识点3：正比例函数的图像和性质 1.画函数图像的一般步骤 (1)列表:取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y. (2)描点:分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来. 2.正比例函数的图像 正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y＝kx. 3.正比例函数的性质 （1）增减性： 当k＞0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大; 当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变量x的增大而减小． 【特别提醒】这两个性质的逆命题也是成立的. （2）对称性： ①对称点：关于原点成中心对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点4：待定系数法 步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点5：一次函数的概念 1.一次函数的概念 一般地，解析式形如的函数叫做一次函数. 结构特征:①的系数:②的次数是1;③常数是任意实数;④等式右边是形如kx＋b的关于x的一次式. 2.一次函数x的取值范围 一次函数的x取值范围是一切实数（或指定的部分实数). 3.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特例. 当时,解析式就成为是常数,且),这时是的正比例函数. 【注意】（1）对于一次函数为常数，且),自变量的系数不等于0,且自变量的次数1，而可以是任意实数. （2）当一次函数中的时,被称为正比例函数.显然，正比例函数是一次函数的特殊情形，故正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 【补充】正比例函数与一次函数的关系（集合关系图示） 知识点7：常值函数 一般地,我们把函数叫做常值函数. 知识点8：一次函数的图像 1.一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2.一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线,通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线. 3.直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线与轴的交点坐标是,直线的截距是. 【易错易混】 "截距"不是"截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数.如直线的截距是. 知识点9：一次函数的性质（难点） 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 知识点10：一次函数图像的平移 一次函数的平移 一次函数（）的图像是将正比例函数（）的图像沿轴平移个单位长度得到的： 若，则向上平移个单位； 若，则向下平移个单位. 【方法总结】直线平移时，的值不变。向上平移时，在表达式末尾加上平移的单位长度；向下平移时，在表达式末尾减去平移的单位长度，即“上加下减”。 知识点11：两条直线的的位置关系 1.相交关系 （1）已知两直线和,当时,两直线相交. （2）一般地,直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1)在坐标平面上,截距相同的直线都相交,交点坐标为. (2)在坐标平面上,的值不同,则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同.常数称为直线的斜率,关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习. 【拓展】 (1)直线与相交; (2)直线相交于轴上一点. 2.平行关系 (1)直线与直线的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2)直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 知识点12：一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时,求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 知识点13：一次函数与一元一次不等式的关系 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看,一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 知识点14：一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 题型一、正比例函数的定义 解｜题｜技｜巧 正比例函数必须符合以下三个条件： (1)自变量的次数是1； (2)比例系数不等于0； (3)解析式中不含常数项。 例1． （2025八年级上·上海长宁·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1，常数项为0． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ． 变式2． （2026八年级下·上海青浦·期中）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 变式3． （2026八年级下·上海徐汇·期中）如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 变式4． （2025八年级上·上海长宁·期末）已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，函数值的计算，掌握正比例、反比例函数的计算是解题的关键． （1）设，则，把时，；当时，，代入计算即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，． 题型二、正比例函数的图像 例2． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是_____________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数图象与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图象特征． 正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：正比例函数的图象特征为： 图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大， 由图象可知：①②过第一、三象限，故，， ③过第二、四象限，故， ②比①更靠近轴，故， 综上，． 故答案为：． 变式1． （2025八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 故选：C． 变式2． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 变式3． （2026八年级下·上海崇明·期中）若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到的值. 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将，代入，得， 解得. 变式4． （2025八年级上·上海闵行·期末）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限， ∴k﹣2＜0， 解得，k＜2． 故填：k＜2． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键． 题型三、正比例函数的性质 解｜题｜技｜巧 在正比例函数中，越大，直线越靠近轴，即直线与轴正半轴的夹角越大；越小，直线越靠近轴，即直线与轴正半轴的夹角越小。 .例3．（2025八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数图象的性质，利用待定系数法求出函数解析式，进而得到该函数图象上的点的横纵坐标之间的关系，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数（是常数，）的图像经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∴在正比例函数图象上的点纵坐标为横坐标的两倍， ∴四个选项中只有A选项中的点在正比例函数的图象上， 故选：A． 变式1． （2025八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果的值随的值增大而增大，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数（其中为常数，且），的值随的值增大而增大， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A． 变式2． （2025八年级上·上海杨浦·期末）平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则a的值为__________． 【答案】 【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2-a，3)，代入计算即可． 【详解】解：∵A坐标为(2，3)， ∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(2-a，3)， ∵恰好落在正比例函数的图象上， ∴， 解得：a=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．． 变式3． （2026八年级下·上海·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求，先求出当时，，再根据解析式可得y随x增大而减小，则当，函数的最小值为． 【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，， ∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∴当，函数的最小值为． 题型四、求一次函数自变量或函数值 例4．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知关于的函数表达式，则当时，_____． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．把代入函数，求出即可． 【详解】解：当是，． 故答案为：． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）若三点在同一直线上，则的值等于（    ） A．10 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用（0，1），（2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（3，a）代入解析式即可； 【详解】解：设经过（0，1），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b， 则，解得：， ∴y=3x+1， 将点（3，a）代入解析式，则a=10； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法求函数的解析式即可； （）把代入解析式，便可求出的值； （）把代入解析式，便可求出的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式； （2）解：把代入得，； （3）解：把代入得，， ∴． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解题的关键是掌握一次函数的性质． 题型五、求一次函数的解析式 例5．（2026八年级下·上海·期中）直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________． 【答案】 【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律解答即可． 【详解】解：将直线向上平移个单位， 根据平移规律可得新直线解析式为， 整理得． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：①当时，一次函数（，是常数），随增大而增大，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． ②当时，一次函数（，是常数），随增大而减小，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． 综上所述，该一次函数的表达式是或． 变式2． （2026八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】由直线：与直线平行，可设直线的函数解析式为，将代入，即可得出答案． 【详解】解：∵直线：与直线平行， ∴设直线的函数解析式为， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴直线的函数解析式是． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且．若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的表达式是________． 【答案】或 【分析】先根据旋转的方向确定点和点的坐标，再利用待定系数法即可求得结论． 【详解】解：∵直角三角形中点的坐标是，且， ∴， ∴，， 当顺时针旋转后，如图， ∴， ∴点，， ∴直线的解析式是； 当逆时针旋转后，如图， ∴， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴轴，， 在直角三角形中，， ∴， 同理， ∴点，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 综上，直线的解析式是或． 变式4． （2026八年级下·上海青浦·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，直接把代入计算，即可作答． （2）结合一次函数的性质以及一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限，列出不等式组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过， ∴， ∴， 解得． ∴． （2）解：∵该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限， ∴， ∴． 题型六、一次函数图象与坐标轴的交点问题 例6．（2026八年级下·上海·期中）若一次函数的图像在轴上的截距是5，则___________． 【答案】 1 【分析】根据一次函数（）的图像在轴上的截距为常数项，结合已知截距为，列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像在轴上的截距是 ∴， 解得． 变式1． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则___________________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再依据三角形的面积公式建立关于k的方程，通过解方程并结合绝对值的性质求出k的值． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，则该函数图象与y轴的交点为， 当时，，解得，则该函数图象与x轴的交点为， 已知该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为， 根据三角形面积公式可得， 化简得，即， 由绝对值的性质可知， 因此． 变式2． （2026八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线l是一次函数的图像经过和， ∴， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成的三角形的面积． 变式3． （2026八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）利用图象判断时，的取值范围． 【详解】（1）解：联立一次函数与，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，在点以及点的右侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 变式4． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，根据函数的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而______（选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是______，图象与y轴的交点坐标是______； （3）当x______时，． 【答案】（1）减小 （2）； （3） 【分析】本题考查一次函数图象与性质，（1）由一次函数图象求解即可； （2）由一次函数图象求解即可； （3）由一次函数图象求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，y的值随x值的增大而减小, 故答案为：减小． （2）由图象得，图象与x轴的交点坐标是，图象与y轴的交点坐标是， 故答案为：，． （3）由图象得，当时，． 变式5． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（是常数）图像与轴的交点位于轴负半轴上，且函数值随自变量的增大而减小． (1)该一次函数图像一定经过第________象限； (2)求的取值范围； (3)如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 【答案】(1)二、三、四 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程． （1）根据图象的增减性以及与轴的交点的位置的特点直接判断即可； （2）根据图象的增减性可以确定一次函数的自变量系数的正负性进而列出一个不等式；再求出轴的交点的坐标，再根据位置特点列出第二个不等式，问题即可得解； （3）先求出与坐标轴的交点坐标，再根据（2）的结果，结合面积即可列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图像与轴的交点位于轴负半轴上， ∴该一次函数图像一定经过第三、四象限， ∵该函数值随自变量的增大而减小， ∴该一次函数图像一定经过第二、四象限， 综上：该一次函数图像一定经过第二、三、四象限， （2）解：∵一次函数的值随自变量的增大而减小， ∴，即， 当时，， ∴函数图像与轴的交点为， ∵该函数图像与轴的交点位于轴负半轴上， ∴，即， 综上：； （3）解：当时，即：， 则有：， ∴函数图像与轴的交点为， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，， ∴原点与点的距离为：，原点与点的距离为：， ∵该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2， ∴， 整理：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一次函数的表达式为：． 题型七、已知函数经过的象限求参数范围 例7．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 变式1． （2026八年级下·上海普陀·期中）如果函数的图像不经过第三象限，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的，直线必过二、四象限，只需根据“不经过第三象限”确定直线与y轴交点的范围，即可得到的取值． 【详解】解：∵在函数中，， ∴直线一定经过第二、第四象限， ∵直线图像不经过第三象限， ∴当时，函数为，图像过原点，仅经过第二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当时，直线与y轴正半轴相交，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当时，直线与y轴负半轴相交，图像经过第二、三、四象限，经过第三象限，不符合条件， 综上可得． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，已知一次函数的一次项系数为，大于，直线必过第一、三象限，图象不经过第二象限，可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数为， ∴一次函数图象一定经过第一、三象限． ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）若直线（是常数）的图像不经过第三象限，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据直线（是常数）的图像不经过第三象限，得到直线经过第一、二象限或第二、四象限或第一、二、四象限，则，，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵直线（是常数）的图像不经过第三象限， ∴直线经过第一、二象限或第二、四象限或第一、二、四象限， ∴， 解得． 题型八、一次函数图象平移问题 解｜题｜技｜巧 直线平移分方向，化线为点是关键 (1) 上下平移变值：对于直线的上下平移，可直接根据“值不变，值上加下减”得出平移后的直线方程； (2) 一点平移法：直线平移前后值不变，所以无论是上下平移，还是左右平移，都可以设平移后的直线为，此时只需找出原直线上的一个点平移后的坐标，代入求解即可； (3) 两点平移法：把直线的平移转化为直线上两个点的平移，根据平移后两个点的坐标确定平移后直线对应的函数解析式。 例8．（2026八年级下·上海徐汇·期中）直线沿y轴正方向向上平移3个单位后的函数表达式是___． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：直线沿y轴正方向向上平移3个单位后的函数表达式是，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：∵直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的， ∴直线向上平移2个单位得到直线． ∴直线：． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律．根据一次函数图像的平移规律，向下平移3个单位长度，只需将原解析式中的常数项减去平移的单位长度即可． 【详解】解：原直线解析式为， 向下平移3个单位长度后，新解析式为． 故答案为：． 变式3． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）把直线的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为_________． 【答案】/ 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把直线y=3x的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为y=3x+2． 故答案为：y=3x+2． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 变式4． （2026八年级下·上海·阶段检测）将直线向上平移个单位，得到直线_______． 【答案】 【分析】根据平移k不变，b值加减即可得出答案． 【详解】平移后解析式为：y=2x−1+4=2x+3， 故答案为y=2x+3 【点睛】此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质 题型九、根据一次函数解析式判断其经过的象限 例9．（2026八年级下·上海·阶段检测）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 变式1． （2026八年级下·上海徐汇·期中）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，利用一次函数的图象与性质即可确定直线经过的象限，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴直线经过第一、三、四象限，图象不经过第二象限， 故选：． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【答案】 二、三 【分析】根据得出与同号，分两种情况讨论一次函数图像经过的象限，找出两种情况公共经过的象限即可． 【详解】解：， 与同号． 分两种情况讨论： ①当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限． 综上，此函数图像一定经过第二、三象限． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数，其图象不经过的象限是______． 【答案】 第二象限 【分析】根据一次函数（）的性质，由解析式中和的符号，判断函数图象经过的象限，进而得到图象不经过的象限． 【详解】解：一次函数为， ，则函数图象经过第一，第三象限， ，则函数图象与轴交于负半轴，此函数图象还经过第四象限， 综上，一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限． 题型十、一次函数的增减性与比大小 例10．（2026八年级下·上海·阶段检测）、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； 根据一次函数的性质可得与异号，即可求解． 【详解】解：， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 与异号， ， 故选：A． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数，若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质得出，求解即可． 【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知点，都在直线上，则___________．（填“>”或“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．将点的横坐标代入直线解析式，分别求出纵坐标的值，再比较大小即可解答． 【详解】解：点，都在直线上， ，， ， ， 故答案为：． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 【答案】 【分析】画出三个函数的公共部分，最小值即求三个函数的公共部分的最小值． 【详解】解：由题意，画出三个函数的图象如下： ∵无论取何值，总取，，中的最大值， ∴的最小值是和的交点的纵坐标， 联立，解得， ∴的最小值为. 题型十一、一次函数与二元一次方程（组） 例11．（2026八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线的交点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵交点在直线上， ∴交点的纵坐标为， 又∵交点在直线上， ∴交点的横坐标为， ∴直线与直线的交点坐标是． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点代入直线上，求出m的值，再代入求出b的值，再利用加减消元法求出二元一次方程组的解即可． 【详解】解：直线过点， ， ，且过， ， ， 方程组为， 得：， 解得：， 将代入②，解得： 方程组的解为， 故答案为： 变式2． （2026八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 题型十二、一次函数与一元一次不等式 例12．（2026八年级下·上海·期中）如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴不等式的解集为． 变式1． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集为． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，根据函数的图象即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴根据图象可得，关于的不等式的解集为， 故答案为：． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）联立（1）中两个函数表达式得到交点坐标 （3）由的面积，即可求解； （4）当点在轴右侧时，由，则，求出点，即可求解；当点在轴左侧时，得到直线的表达式为：，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的函数表达式得：， 则直线的表达式为：； 将点、的坐标代入直线的函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）联立（1）中两个函数表达式得：， 解得：，则点， 结合图像可知时，； （3）解：由直线的表达式知，点，则， 则的面积； （4）解：当点在轴右侧时，令与直线的交点为， ，则， 设点，则， 解得：，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点； 当点在轴左侧时， ，则， 则直线的表达式为：， 则点； 综上，点的坐标为或． 题型十三、一次函数与几何综合 解｜题｜技｜巧 一次函数与面积问题3种解题方法归纳 割补法 当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用割补法将所求图形的面积转化为两个规则图形的面积的和或差. 铅垂法 当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接运用三角形面积公式，水平底×铅垂高 或 铅垂底×水平高 三边均不满足时，作铅垂高分拆为两个三角形计算 平行转化法 同底等高三角形面积相等，过顶点作平行线转化面积 例13．（2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 变式1． （2026八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将点代入求出，再联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）①由一次函数的解析式可得，结合，则； ②延长交轴于点，由对称性可得，点，，利用割补法计算出，，结合构造方程，求解出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 解得， ∴直线， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：①将代入，得， ∴点的坐标为， ∵是直线在第一象限内上的点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，延长交轴于点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 又∵点在轴上， ∴直线与直线关于轴对称， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴，， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为，， ， ， ， ， ∴， ∵在四边形内部， ∴， ∵， ∴， 解得． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）综合与探究 如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线相交问题，求交点坐标，及求三角形面积． （1）根据两直线解析式，列二元一次方程组求交点坐标； （2）根据两直线解析式，求出两直线分别与轴的交点、的坐标，进而计算的长，结合点的坐标得的高，从而计算的面积； （3）先求出点坐标，设得，，根据得，从而计算的值，进而表示出的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，可列方程组， 解得， ； （2）解：对于， 当时，，解得，， 对于， 当时，，解得，， ， ； （3）（3）在直线上，，解得 设则，， ， 即， ， 解得， ． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与轴，轴于，两点，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴上一动点． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求的值； (3)如图，连接，，将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上，求此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)的值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求得，即可得点坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点在轴的负半轴时，，过点作于点，利用点的坐标和勾股定理表示出线段，，，，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论；当点在轴的正半轴时，，作出点关于轴的对称点，过点作于点，类比的解法解答即可； （3）过点作于点，轴于点，过点作于点，利用点的坐标和勾股定理表示出线段，，，，利用等腰直角三角形的性质求得，，利用勾股定理表示出，列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ，解得， ． 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：当点在轴的负半轴时，，过点作于点，如图， 对于直线， 令，则， ， ， ， ， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在轴的正半轴时，，作出点关于轴的对称点，过点作于点，如图， 则，， ， ． ，， ， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 综上，若，的值为； （3）解：过点作于点，轴于点，过点作于点，如图， ， ， 对于直线， 令，则， ， ， ， ，，， ，， ， ， 将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 题型十四、一次函数的实际应用 例14．（2026八年级下·上海·阶段检测）出租车收费按路程计算，3公里内（包括3公里）收费12元；超过3公里每增加1公里加收2元，当路程公里时，车费y（元）与x（公里）之间的函数关系式是_____． 【答案】 【分析】求出超出3公里的路程，计算超出部分的收费，加上3公里内的固定收费，整理即可得到函数关系式． 【详解】解：当时，超出3公里的路程为公里． ∵超过3公里每增加1公里加收2元， ∴超出部分的收费为元． ∵总车费等于3公里内的固定收费加上超出部分收费， ∴ ， 可知当路程公里时，车费y（元）与x（公里）之间的函数关系式是． 变式1． （2026八年级下·上海·期中）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 变式2． （2025八年级上·上海松江·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】(1)； (2)； (3)小时． 【分析】（）根据图象利用待定系数法即可求出函数解析式； （）由（）得，根据图象即可求出恒定温度； （）根据各时间段的函数解析式算出时的值，相减即可； 此题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用． 【详解】（1）设直线的函数解析式为：， 根据图象经过点， ∴，解得：， ∴直线 ∴与时间的函数关系式为； （2）由（）得与时间的函数关系式为；， 则当时，， ∴恒定温度为：； （3）设小时内函数解析式为：， 根据图象经过点 ∴，解得：， ∴函数解析式为：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴不低于时间共小时， 即相对有利于水果生长的时间共17.5小时． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026八年级下·上海·期中）一次函数的图像不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象，熟练掌握一次函数图象及其性质是解题的关键． 根据、的符号判断即可． 【详解】∵，， ∴一次函数中y随x的增大而增大，且与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图像经过第一象限、第二象限、第三象限， ∴图象不经过第四象限， 故选：． 2．（2026八年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限知：， ∵根据直线越陡，越大， ， ∴， 故答案为：． 3．（2025八年级上·上海长宁·期末）已知函数是正比例函数，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2026八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数的图象如图，当自变量时，y的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用数形结合的方法可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴当自变量时，y的取值范围是． 5．（2026八年级下·上海·阶段检测）一次函数在轴上的截距是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数在轴上截距的概念，截距是一次函数图象与轴交点的纵坐标，只需令求出对应的值，即可得到结果． 【详解】解：当时，， 一次函数在轴上的截距是． 6．（2026八年级下·上海普陀·期中）若一次函数图象上有两个点，，则m，n的大小关系是：m______（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又一次函数图象上有两个点，，且， ． 故答案为：． 7．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知点，并且点在直线上，求的面积． 【答案】9 【分析】画出函数图象，由直线解析式求出B点纵坐标，然后求以为底边，以B点纵坐标的绝对值为高的三角形的面积即可. 【详解】解：如图函数图象为：      ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴； 【点睛】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换． 8．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据正比例的定义得到，进而根据“当时，”计算即可； （2）将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设，则， 当时，，代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）解：将点代入得：， 解得：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．．（2025八年级上·上海杨浦·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为_______. 【答案】− 【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2−1＝1，且m−1≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m−1＜0，进而确定m． 【详解】解：由题意得：m2−1＝1，且m−1≠0， 解得：m＝±， ∵图象经过第二、四象限， ∴m−1＜0， 解得m＜1， ∴m＝−， 故答案为：−． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 2．（2026八年级下·上海·阶段检测）某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中，随的增大而增大， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中，随的增大而减小， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式是或． 3．（2025八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 4．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两直线的交点及反比例函数的待定系数法.解题的关键是掌握求直线与坐标轴交点的方法及联立方程组求交点坐标． （1）先分别求出两条直线与轴的交点坐标，再联立两条直线的方程组求出交点的坐标，先令求出与轴交点，再联立方程组求出两直线交点； （2）设反比例函数解析式为，将点的坐标代入求出的值，从而得到反比例函数解析式． 【详解】（1）解：对于直线， 令,得， 解得， ， 对于直线， 令,得， 解得， ， 联立两直线方程：， 解得，， ； （2）解：设反比例函数解析式为， 反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026八年级下·上海·阶段检测）当k变化时，两条直线：和：的最大距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，当两个不同的一次函数的解析式的k相同的时候，这两条直线在坐标系中的图象是平行的，解题要运用数形结合的思想，通过画图来求解．先观察两个一次函数的解析式发现，这两个图象分别经过一个定点，直线：经过定点，：经过定点，然后可将大致图象在坐标系中画出，来观察两直线的最大距离，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，直线：和：的图象大致如下： 则直线：经过定点，：经过定点， ∴， 依题意，这两条直线图象可分别绕着A点、B点旋转，当这两条直线与互相垂直时，两直线之间的距离有最大值，且为， 当这两条直线与不垂直时，两直线之间的距离（垂线段最短）， ∴当k变化时，两条直线：和：的最大距离为 故选：B． 2．（2026八年级下·上海·期中）新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 3．（2026八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点F的坐标为； (3)符合条件的点的坐标为或或． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论； （3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴，， ∵点D是线段的中点， ∴； （2）解：如图，当点在点上方时， ∵，， 又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F， 设， ∴，， ∴， ∴； （3）解：第一种情况：为平行四边形的对角线， ∵，， ∴的中点坐标为， ∵点M在直线的图象上， 设， ∴中点坐标为， ∵为平行四边形的对角线， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：为平行四边形的边，则也为边， 即，， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式可设为， 当时，， ∴， 设， ∴①， 又点M在直线的图象上， ∴②， 由①②有或， ∴， 故符合条件的点的坐标为或或． 4．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 【答案】（1）1.25，1.9；（2）；；（3）2.7千米；（4）符合约定 【分析】（1）根据函数图象可得获取信息即可； （2）先求出运输车所行路程直线的表达式是，得到点C的坐标是．再由点、点在直线上，求出的表达式． （3）求出，得到无人机在排除故障时，距出发点的路程是2.7千米． （4）求出当时，当时，（千米）米米；当时，时，（千米）米米；按图象所表示的走法符合约定． 【详解】解：（1）根据函数图象可得，运输车比无人机晚出发1.25分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了分钟； （2）设运输车所行路程直线的表达式为， ∵点，点均在直线上， ∴， 解得， ∴运输车所行路程直线的表达式是． ∵点C在直线上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标是． 设直线的解析式为， ∵点、点在直线上， ∴， 解得， ∴无人机在接收完指令后（即时段）的表达式． （3）∵B点在直线上且点B的横坐标为4.9，代入y得， ∴无人机在排除故障时，距出发点的路程是2.7千米． （4）符合约定； 方法一：由图象可知：无人机和运输车第一次相遇后在B和D相距最远． 在点B处有千米220米250米； 在点D有千米200米250米， ∴按图象所表示的走法符合约定． 方法二：设两设备之间的距离为h千米， 当时，， ∵，∴h随着x的增大而减小， ∴当时，（千米）220米250米； 当时，， ∵，∴h随着x的增大而增大， ∴当时，（千米）200米250米； ∴按图象所表示的走法符合约定． 5．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）设出一次函数解析式，将点和点代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点在直线上，设出点的坐标，再根据，求出点的坐标； （3）根据点在轴上设出C点坐标，分类讨论以为腰的等腰三角形的两种情况，求出对应的点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，将、代入得，解得， ． （2）解：设点， ， ， ， ，， ， 即， ， 解得或， 当时，； 当时，， ∴点或． （3）解：∵点在轴上， ∴设， 是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， 当时，在Rt中，，， 根据勾股定理得， ， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， 或； 当时，在Rt和Rt中，，， ， ， ， 当时，点A和点C重合，不符合题意， ， ． 综上，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、由三角形面积求点的坐标、等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论和数形结合． 2/61 1/61 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一次函数（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、正比例函数的定义 题型二、正比例函数的图像 题型三、正比例函数的性质 题型四、求一次函数自变量或函数值 题型五、求一次函数的解析式 题型六、一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型七、已知函数经过的象限求参数范围 题型八、一次函数图象平移问题 题型九、根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十、一次函数的增减性与比大小 题型十一、一次函数与二元一次方程（组） 题型十二、一次函数与一元一次不等式 题型十三、一次函数与几何综合 题型十四、一次函数的实际应用 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数与正比例函数概念 掌握一次函数与正比例函数定义； 明晰二者从属关系； 确定自变量与函数值取值范围 基础必考题，以选择/填空为主，考查函数类型判定与参数约束，属于送分考点 待定系数法求解析式 熟练运用“设—列—解—代”四步流程； 能根据点坐标、平移、几何条件等求解析式 全题型覆盖，解答题必考，是综合题的基础解题工具 图像与性质（符号） 掌握定增减性、定截距； 判断图象象限分布；利用增减性比较函数值大小 高频核心考点，选择/填空必考，易错点为忽略与增减性前提 一次函数图象平移 掌握“不变，上加下减”平移规律； 会用点平移法求平移后解析式 选择/填空常考，侧重平移后解析式求解，难度中等 与坐标轴交点及面积计算 求与轴、轴交点； 计算围成三角形面积 选择/填空高频考点，期末核心得分点，易忽略绝对值致错 两直线位置关系 判定平行（）与相交（）； 理解平行与平移的关联 中档考点，常结合参数范围考查，侧重逻辑判断 与方程、不等式、方程组结合 理解图象与方程根、不等式解集、方程组解的对应关系； 用数形结合求解 选择/解答常考，考查数形结合思想，中等难度 一次函数与几何综合 解决图象与图形面积、动点、等腰/平行四边形等综合问题 解答压轴常考，区分度高，考查综合分析与数形结合能力 一次函数实际应用 从行程、计费、工程等情境建立一次函数模型； 求解取值范围与最值 解答题必考，贴近实际，考查建模与应用意识 知识点1：函数的概念 1.常量和变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量.在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量. 2.函数的定义 （1）一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化;当x的值确定时，y的值也随之唯一确定。变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 3.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 4.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 5.函数的图像 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 知识点2：正比例函数的概念 1.成正比例关系： 如果变量与变量的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成正比例．用数学式子表示为或，其中是一个不等于0的常数． 2.正比例函数： 形如是常数，的函数叫作正比例函数，其中非零常数称为比例系数，自变量的取值范围是一切实数．确定了比例系数，就可以给出正比例函数的表达式：． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 知识点3：正比例函数的图像和性质 1.画函数图像的一般步骤 (1)列表:取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y. (2)描点:分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来. 2.正比例函数的图像 正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y＝kx. 3.正比例函数的性质 （1）增减性： 当k＞0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大; 当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变量x的增大而减小． 【特别提醒】这两个性质的逆命题也是成立的. （2）对称性： ①对称点：关于原点成中心对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点4：待定系数法 步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点5：一次函数的概念 1.一次函数的概念 一般地，解析式形如的函数叫做一次函数. 结构特征:①的系数:②的次数是1;③常数是任意实数;④等式右边是形如kx＋b的关于x的一次式. 2.一次函数x的取值范围 一次函数的x取值范围是一切实数（或指定的部分实数). 3.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特例. 当时,解析式就成为是常数,且),这时是的正比例函数. 【注意】（1）对于一次函数为常数，且),自变量的系数不等于0,且自变量的次数1，而可以是任意实数. （2）当一次函数中的时,被称为正比例函数.显然，正比例函数是一次函数的特殊情形，故正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 【补充】正比例函数与一次函数的关系（集合关系图示） 知识点7：常值函数 一般地,我们把函数叫做常值函数. 知识点8：一次函数的图像 1.一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2.一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线,通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线. 3.直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线与轴的交点坐标是,直线的截距是. 【易错易混】 "截距"不是"截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数.如直线的截距是. 知识点9：一次函数的性质（难点） 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 知识点10：一次函数图像的平移 一次函数的平移 一次函数（）的图像是将正比例函数（）的图像沿轴平移个单位长度得到的： 若，则向上平移个单位； 若，则向下平移个单位. 【方法总结】直线平移时，的值不变。向上平移时，在表达式末尾加上平移的单位长度；向下平移时，在表达式末尾减去平移的单位长度，即“上加下减”。 知识点11：两条直线的的位置关系 1.相交关系 （1）已知两直线和,当时,两直线相交. （2）一般地,直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1)在坐标平面上,截距相同的直线都相交,交点坐标为. (2)在坐标平面上,的值不同,则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同.常数称为直线的斜率,关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习. 【拓展】 (1)直线与相交; (2)直线相交于轴上一点. 2.平行关系 (1)直线与直线的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2)直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 知识点12：一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时,求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 知识点13：一次函数与一元一次不等式的关系 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看,一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 知识点14：一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 题型一、正比例函数的定义 解｜题｜技｜巧 正比例函数必须符合以下三个条件： (1)自变量的次数是1； (2)比例系数不等于0； (3)解析式中不含常数项。 例1． （2025八年级上·上海长宁·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）当________时，函数（是常数）是正比例函数． 变式2． （2026八年级下·上海青浦·期中）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 变式3． （2026八年级下·上海徐汇·期中）如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 变式4． （2025八年级上·上海长宁·期末）已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 题型二、正比例函数的图像 例2． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是_____________．（用“”号连接） 变式1． （2025八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 变式3． （2026八年级下·上海崇明·期中）若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 变式4． （2025八年级上·上海闵行·期末）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是_____． 题型三、正比例函数的性质 解｜题｜技｜巧 在正比例函数中，越大，直线越靠近轴，即直线与轴正半轴的夹角越大；越小，直线越靠近轴，即直线与轴正半轴的夹角越小。 .例3．（2025八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 变式1． （2025八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 变式2． （2025八年级上·上海杨浦·期末）平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则a的值为__________． 变式3． （2026八年级下·上海·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)若，求函数的最小值． 题型四、求一次函数自变量或函数值 例4．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知关于的函数表达式，则当时，_____． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）若三点在同一直线上，则的值等于（    ） A．10 B．0 C．3 D．4 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 题型五、求一次函数的解析式 例5．（2026八年级下·上海·期中）直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 变式2． （2026八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且．若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的表达式是________． 变式4． （2026八年级下·上海青浦·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 题型六、一次函数图象与坐标轴的交点问题 例6．（2026八年级下·上海·期中）若一次函数的图像在轴上的截距是5，则___________． 变式1． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则___________________． 变式2． （2026八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 变式3． （2026八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 变式4． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，根据函数的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而______（选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是______，图象与y轴的交点坐标是______； （3）当x______时，． 变式5． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（是常数）图像与轴的交点位于轴负半轴上，且函数值随自变量的增大而减小． (1)该一次函数图像一定经过第________象限； (2)求的取值范围； (3)如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 题型七、已知函数经过的象限求参数范围 例7．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式1． （2026八年级下·上海普陀·期中）如果函数的图像不经过第三象限，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）若直线（是常数）的图像不经过第三象限，则的取值范围为________． 题型八、一次函数图象平移问题 解｜题｜技｜巧 直线平移分方向，化线为点是关键 (1) 上下平移变值：对于直线的上下平移，可直接根据“值不变，值上加下减”得出平移后的直线方程； (2) 一点平移法：直线平移前后值不变，所以无论是上下平移，还是左右平移，都可以设平移后的直线为，此时只需找出原直线上的一个点平移后的坐标，代入求解即可； (3) 两点平移法：把直线的平移转化为直线上两个点的平移，根据平移后两个点的坐标确定平移后直线对应的函数解析式。 例8．（2026八年级下·上海徐汇·期中）直线沿y轴正方向向上平移3个单位后的函数表达式是___． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为________． 变式3． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）把直线的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为_________． 变式4． （2026八年级下·上海·阶段检测）将直线向上平移个单位，得到直线_______． 题型九、根据一次函数解析式判断其经过的象限 例9．（2026八年级下·上海·阶段检测）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式1． （2026八年级下·上海徐汇·期中）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数，其图象不经过的象限是______． 题型十、一次函数的增减性与比大小 例10．（2026八年级下·上海·阶段检测）、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数，若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是_______． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知点，都在直线上，则___________．（填“>”或“＜”或“＝”） 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 题型十一、一次函数与二元一次方程（组） 例11．（2026八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线的交点的坐标是__________． 变式1． （2026八年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为______． 变式2． （2026八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 题型十二、一次函数与一元一次不等式 例12．（2026八年级下·上海·期中）如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 变式1． （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为______． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 题型十三、一次函数与几何综合 解｜题｜技｜巧 一次函数与面积问题3种解题方法归纳 割补法 当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用割补法将所求图形的面积转化为两个规则图形的面积的和或差. 铅垂法 当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接运用三角形面积公式，水平底×铅垂高 或 铅垂底×水平高 三边均不满足时，作铅垂高分拆为两个三角形计算 平行转化法 同底等高三角形面积相等，过顶点作平行线转化面积 例13．（2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 变式1． （2026八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 变式2． （2026八年级下·上海·阶段检测）综合与探究 如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）如图，直线与轴，轴于，两点，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴上一动点． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求的值； (3)如图，连接，，将沿翻折，若当点的对应点刚好落在直线上，求此时点的坐标． 题型十四、一次函数的实际应用 例14．（2026八年级下·上海·阶段检测）出租车收费按路程计算，3公里内（包括3公里）收费12元；超过3公里每增加1公里加收2元，当路程公里时，车费y（元）与x（公里）之间的函数关系式是_____． 变式1． （2026八年级下·上海·期中）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 变式2． （2025八年级上·上海松江·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 变式3． （2026八年级下·上海·阶段检测）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026八年级下·上海·期中）一次函数的图像不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026八年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是_____．（用“”连接） 3．（2025八年级上·上海长宁·期末）已知函数是正比例函数，则______． 4．（2026八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数的图象如图，当自变量时，y的取值范围是__________． 5．（2026八年级下·上海·阶段检测）一次函数在轴上的截距是________． 6．（2026八年级下·上海普陀·期中）若一次函数图象上有两个点，，则m，n的大小关系是：m______（填“”，“”或“”） 7．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知点，并且点在直线上，求的面积． 8．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．．（2025八年级上·上海杨浦·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为_______. 2．（2026八年级下·上海·阶段检测）某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 3．（2025八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 4．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026八年级下·上海·阶段检测）当k变化时，两条直线：和：的最大距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2026八年级下·上海·期中）新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 3．（2026八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段的中点，点，点E为x轴上一动点． (1)直接写出点A，B，D的坐标； (2)联结、，以、为边作，的顶点F恰好落在y轴上，求点F的坐标； (3)设点M是直线上一点，若以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 4．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 5．（2026八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 2/61 1/61 学科网（北京）股份有限公司 $