专题07一次函数图象与性质及应用期末复习讲义(29大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题07一次函数图象与性质及应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一次函数定义、解析式形式，明晰与正比例函数的从属关系 2.熟记一次函数图象形状、图象平移规律，理解 k、b 的几何意义 3.吃透一次函数增减性、象限分布等核心性质 4.掌握待定系数法求函数解析式，了解一次函数与方程、不等式的关联 5.熟知一次函数在实际问题中的应用场景与解题模型 1.能根据 k、b 取值判断函数图象位置与增减变化 2.熟练运用待定系数法求解一次函数表达式 3.结合图象求解交点坐标、比较函数值大小，解对应方程与不等式 4.分析图象信息，解决行程、利润、方案类实际应用题 5.灵活运用数形结合思想，实现解析式与图象相互转化解题 1.概念、图象判断类基础题稳拿分，规避 k、b 相关易错点 2.规范完成求解析式、函数性质分析常规题型，计算零失误 3.快速解答函数与方程、不等式结合题型 4.拆解实际应用问题，精准列式求解，攻克综合性考题 题型01.由一次函数的定义求参数 题型02.求一次函数自变量或函数值 题型03.列一次函数解析式并求值 题型04.求一次函数解析式 题型05.判断一次函数的图象 题型06.解析式判定函数经过的象限 题型07.函数经过的象限求参数范围 题型08.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型09.画一次函数图象 题型10.一次函数图象平移问题 题型11.判断一次函数的增减性 题型12.由一次函数增减性求参数 题型13.增减性判定自变量的变化情况 题型14.一次函数值的大小比较 题型15.一次函数的规律探究问题 题型16.直线与坐标轴交点求方程的解 题型17.方程的解判定直线与x轴的交点 题型18图象法解一元一次方程. 题型19.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型20.两直线交点求不等式解集 题型21.两直线交点与二元一次方程的解 题型22.图象法解二元一次方程组 题型23.求直线围成的图形面积 题型24.分配方案问题 题型25.最大利润问题 题型26.行程问题 题型27.梯度计价问题 题型28.其他实际应用问题 题型29.一次函数与几何综合 知识点01:一次函数的概念 定义：形如 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 正比例函数：当 b = 0 时，y = kx（k ≠ 0），是特殊的一次函数。 常值函数：当 k = 0 时，y = b，不是一次函数。 自变量范围：通常为全体实数；实际问题中需使解析式有意义且符合实际。 左图一次函数 右图正比例函数 知识点02:一次函数的图象与画法. 1.图象形状：一条直线，也称直线 y = kx + b。 2.平移关系：y = kx + b 可由 y = kx 平移 |b| 个单位得到（b > 0 上移，b < 0 下移）。 3.两点法画图： 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:一次函数的性质与性质（重点） 知识点04:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点05:待定系数法求解析式 步骤： 1.设：设 y = kx + b（k ≠ 0）。 2.代：代入两个已知点坐标，列方程组。 3.求：解方程组求 k、b。 4.写：写出解析式。 知识点06:一次函数与方程、不等式的关系 图示 与一次方程的关系 方程kx+b=0的解⇔直线y=kx+b与x轴交点的横坐标 与二元一次方程的关系 方程组解⇔直线y=+的交点坐标 与一元一次不等式 不等式kx+b0(或0)的解集⇔直线y=kx+b在x轴上(或下)的x取值范围 与一元一次不等式组 不等式kx+bx+⇔直线y=kx+b 在直线y=x+上方的x取值范围:多个不等式解集去交集 知识点07:一次函数应用解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点08:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 题型01.由一次函数的定义求参数 1．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 2．当________时，函数是一次函数． 【答案】2 【分析】由一次函数的概念即可求解． 【详解】解：由题得且， 解得． 3．一次函数经过原点，则（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的定义等知识点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 把代入函数求出k的值，再结合一次函数的定义即可解答即可． 【详解】解：∵函数经过原点， ∴，解得， ∵，即， ∴． 故选A． 4．已知函数（m为常数）． (1)当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数； (2)当m满足条件__________时，函数图象经过点； (3)当m满足条件__________时，y随x的增大而减小． (4)当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）将代入即可； （3）根据一次函数的增减性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小； （4）将x=0代入函数表达式，即可求出该函数与y轴的交点坐标，由于函数图象与y轴的交点在x轴的上方，只需要纵坐标大于0即可． 【详解】（1）∵变量y是变量x的一次函数； ∴2m+1≠0， 解得： 故答案为：； （2）将代入得：4=（2m+1）×1+m-3 解得：m=2， 故答案为：m=2； （3）∵y随x的增大而减小， ∴2m+1<0， 解得：， 故答案为：； （4）当x=0时，y=m-3， ∴该函数与y轴的交点为（0，m-3）， ∵函数图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴m-3>0， 解得：m>3； 故答案为：m>3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练地掌握一次函数的增减性以及一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 题型02.求一次函数自变量或函数值 5．点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】将点的坐标代入直线解析式得到与的关系式． 再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴． 6．若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将点代入平移后的解析式求解即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后的解析式为： ， ∵平移后的直线经过点， ∴， 解得：． 7．已知两点，，以下各点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求一次函数解析式，判断点是否在函数上，根据，两点求出直线的表达式，将代入表达式即可． 【详解】解：设直线的表达式：， 将，代入表达式， 得， 解得， 直线的表达式：， 当时，， 即点在直线上， 故选：A． 8．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明． 【答案】(1)图见解析 (2)上方；理由见解析 【分析】（1）分别令，，求出对应的值，值，然后描点，连接两点即可画出函数的图象； （2）先求出当时的值，然后判断与其的大小即可得解． 【详解】（1）解：在一次函数中， 当时，； 当时，即，解得， 列表如下： 0 2 4 0 一次函数过，，一次函数图象如图所示； （2）解：点在该函数图象的上方，理由如下： 在一次函数中，当时，， ， 点在该函数图象的上方． 题型03.列一次函数解析式并求值 9．利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围：____________； 【答案】 【分析】设边的长为米．边长为米．利用两宽加上一长等于30即可得出函数关系即可；本题考查了一次函数的实际应用，解不等式组，根据题目的条件，利用矩形的面积计算方法列出公式，即可作答． 【详解】解：依题意，设边的长为米．边长为米． 根据题意得：， 整理得：， ∵且， ∴， 故答案为：． 10．对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求． 【详解】解：将，代入，得， 解得，于是， 将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键． 11．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)当为整数，且时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当为整数，且时，选择甲商场划算 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次不等式的应用. （1）根据两种不同的优惠方式列函数关系式即可. （2）当时，，，则，当时，且为整数，再分三种情况求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：当时，且为整数， ，. （2）解：当时，，，则， 当时，且为整数， 分三种情况，①，即， 解得时， 当时，选择乙商场划算； ②当，即， 解得时，选择两家商场一样划算； ③当，即， 解得时，选择甲商场划算； 综上：当，为整数时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当，为整数时，选择甲商场划算． 题型04.求一次函数解析式 12．某品牌汽车行驶前油箱中装有汽油50升，行驶过程中每行驶1百公里耗油8升，那么油箱中剩余油量（升）与行驶路程（百公里）之间的函数关系式为________（不必写自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据剩余油量等于原有油量减去行驶耗油量，找出等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，油箱原有油量为升，行驶百公里的耗油量为升， 根据剩余油量的等量关系可得： 整理得． 13．数学小组李华同学画某一次函数图象时，发现描出的点不在一条直线上，检查所列表格发现其中两个函数值算错了，下表算错的两个函数值是（   ） x 0 1 2 3 y 6 3 1 A．6，3 B．3，1 C．6， D．， 【答案】C 【分析】根据一次函数定义，正确点满足，利用已知点求出解析式后，验证所有点即可找出错误的函数值． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， ∵只有两个函数值错误， ∴五个点中存在三个点满足解析式，取点和代入解析式，得 解得，， ∴一次函数解析式为， 依次验证各点：当时，， ∴错误； 当时，，计算正确； 当时，，计算正确； 当时，， ∴错误； 当时，，计算正确，恰好两个错误，符合题目要求，因此算错的两个函数值为和. 14．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式，并判断此时是的什么函数？ (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2)5 (3) 【分析】（1）结合正比例函数得出，再代入数值计算，得，即可作答． （2）直接把代入计算，即可作答． （3）直接把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 把，代入，得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴y是x的一次函数； （2）解：由（1）得， 当时，． （3）解：由（1）得， 当时，， ∴． 题型05.判断一次函数的图象 15．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，正比例函数的性质， 由于正比例函数函数值随x的增大而减小，可得，然后，判断一次函数的图象经过象限即可．掌握“一次函数，当，时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限”是解本题的关键． 【详解】解：∵正比例函数函数值随x的增大而减小， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 16．已知一次函数，和，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：当，时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，没有正确选项； 当，时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A正确； 当，时， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，没有正确选项； 当，时， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A正确； 故选：A． 17．已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据点、的坐标关系，可求解出，即可排除C、D，结合当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡，可判断出正确选项． 【详解】解：将点，代入一次函数表达式， 得，解得， 即，且， 观察各选项图象，选项、满足， ∵当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡， 选项A中满足，选项B满足， 故判断出选项满足题意要求， 故选：A． 题型06.解析式判定函数经过的象限 18．对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象不经过第二象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 【答案】A 【分析】根据一次函数的系数k，b判断图象位置与增减性，再计算交点坐标和函数取值范围，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数为，可得，． 选项A：∵，，∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A正确； 选项B：∵，∴y随x的增大而增大，故B错误； 选项C：当时，， 又∵y随x的增大而增大， ∴当时，，故C错误； 选项D：令，得，∴函数图象与y轴交点坐标为，故D错误． 19．已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【答案】 二、三 【分析】根据得出与同号，分两种情况讨论一次函数图像经过的象限，找出两种情况公共经过的象限即可． 【详解】解：， 与同号． 分两种情况讨论： ①当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限． 综上，此函数图像一定经过第二、三象限． 20．已知，当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)在平面直角坐标系中，该函数的图象不经过第______象限； (3)若点是该函数图象上的一点，求y的值． 【答案】(1) (2)二 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． （1）把已知的对应值代入中求出k，从而得到y与x的关系式； （2）根据一次函数的性质求解； （3）利用（1）中的解析式计算自变量为2所对应的函数值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ， 即y关于x的函数解析式为； （2）解：，， 一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故答案为：二； （3）解：当时， 题型07.函数经过的象限求参数范围 21．一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的图象经过第一、二、四象限，利用一次函数图象与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：一次函数（、为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ． 22．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第二、三、四象限， 解得： 因此，的取值范围为． 23．如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象经过的象限和与y轴交点的位置判断a、b的符号，结合函数图象可得答案． 【详解】解：A、∵两个一次函数与y轴的交点都在y轴的正半轴， ∴， ∴两个一次函数的图象都应该经过第一、二、三象限，此时的函数图象不满足这个条件，故此选项不符合题意； B、∵一个一次函数的图象经过第二、三、四象限，一个一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴两个一次函数与y轴的交点都在y轴的负半轴上，此时的函数图象不满足这个条件，故此选项不符合题意； C、∵一个一次函数的图象经过第一、三、四象限，一个一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴此时的函数图象满足这个条件，故此选项符合题意； D、∵两个一次函数与y轴的交点都在y轴的负半轴， ∴， ∴两个一次函数的图象都应该经过第一、三、四象限，此时的函数图象不满足这个条件，故此选项不符合题意； 题型08.一次函数图象与坐标轴的交点问题 24．一次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出y值，进而可得出一次函数的图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 一次函数的图象与y轴的交点坐标为， 故选：B． 25．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，先令，则，令，则，求出与坐标轴交于两点坐标，然后用面积公式即可求解，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 【详解】解：由直线可得，令，则，令，则， ∴坐标轴交点为交于或， ∴，或，， ∴的面积为， 故答案为：． 26．若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点，， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得： ， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1． 故答案为：1． 27．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 题型09.画一次函数图象 28．在同一平面直角坐标系中，两个一次函数与的图象相交，则其交点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】两个函数的图象各经过一个定点，再根据画出大致图象，由此即可得． 【详解】解：一次函数经过定点，一次函数经过定点， 结合画出两个函数的大致图象如下：    则它们的交点一定在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，正确画出两个函数的大致图象是解题关键． 29．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P'的坐标定义如下：当a≥b时，P'点坐标为（a，－b）；当a＜b时，P'点坐标为（a＋4，b－2）．线段l：y=－0.5x＋3（－2≤x≤6）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求当a=b时，x=－0.5x＋3，求出分界点（2，2），然后确定分段函数为y=0.5x-3（2≤x≤6）和y=－0.5x＋3（2≤x＜6），根据直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，得出点（2，2）和点（6，0）在直角y=kx＋5上，得出k=-和k=，列出不等式即可． 【详解】解：当a=b时，x=－0.5x＋3， 解得x=2， 分界点为（2，2）， ∴线段l：y=－0.5x＋3（2≤x≤6）上点变为y=0.5x-3（2≤x≤6）， 线段l：y=－0.5x＋3（－2≤x＜2）上点用过平移变为y=－0.5x＋3（2≤x＜6）， ∵若直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点， ∴点（2，2）和点（6，0）在直角y=kx＋5上， ∴点（2，2）在y=kx＋5上，得2=2k+5，解得k=-， 点（6，0）在直角y=kx＋5上，得6k+5=0，解得k=， 直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． (1)常量与的值分别为：_________，_________； (2)在网格中画出函数的图像． 【答案】(1)； (2)图见解析 【分析】（1）将点，代入一次函数解析式得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）一次函数图象是一条直线，因此在网格中建立平面直角坐标系，描出点，，作直线即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得； （2）解：如图，直线即为所作函数的图象． 题型10.一次函数图象平移问题 31．将一次函数的图象向下平移2个单位，得到另一个函数的图象，这个函数的解析式为：______． 【答案】/ 【分析】根据一次函数平移的“上加下减”规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位，根据平移规律可得新函数解析式为 化简得． 32．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 33．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 题型11.判断一次函数的增减性 34．如果一次函数的图像经过点，且函数值随自变量的值增大而减小，那么点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性是关键．根据选项的条件和一次函数的增减性依次进行分析即可． 【详解】解：A、当点的坐标为时，． 解得∶ 不随的变化而变化，选项A不符合题意； B、当点的坐标为时， 解得∶， 随的增大而增大，选项B不符合题意； C、当点的坐标为时，， 解得∶， 随的增大而增大， 选项C不符合题意； D、当点的坐标为时， 解得∶，随的增大而减小， 选项D符合题意． 所以选：D． 35．已知一次函数．当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据一次项系数判断一次函数的增减性，再计算、时y的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数中，一次项系数． 随的增大而减小． 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 36．下列函数中，当时随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数及一次函数的增减性．反比例函数：比例系数k大于0时，图象经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小；比例系数k小于0时，图象经过第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大．一次函数比例系数k大于0时，随的增大而增大；比例系数k小于0时，随的增大而减小．由此可解． 【详解】解：A．，，当时，函数图像在第四象限，随的增大而增大，符合题意； B．，，随的增大而减小，不合题意； C．，，随的增大而减小，不合题意； D．，，当时，函数图像在第一象限，随的增大而减小，不合题意； 故选：A． 37．关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，且，求n的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，一次函数和． ①求证：一次函数的图象经过点． ②当时，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）①见解析；②当时，，当时，，当时，． 【分析】（1）将代入方程，根据方程有两个不相等的实数根，得出，代入解不等式即可； （2）①首先根据方程有两个相等的实数根，得出，即，将代入一次函数，结合，即可证明；②设，根据题目，讨论的符号即可得出结论． 【详解】解：（1）将代入方程得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得，； （2）①证明：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴， 当时， 代入一次函数得： ， 故一次函数的图象经过点； ②设， ∵， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的情况求参数范围以及一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根的情况所对应的的取值范围．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程无实数根，． 题型12.由一次函数增减性求参数 38．已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数的增减性和一次项系数的关系即可确定的范围． 【详解】在中，随的增大而减小， ,的值可以是（答案不唯一，即可）． 39．一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，函数的最大值为， ∴当时，取得最大值， 将代入函数得 ， 整理得， 解得． 40．已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，由时，，得随的增大而增大，则，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，， ∴随的增大而增大， ∴， ∴取， 故答案为：（答案不唯一）． 41．下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 0 (1)求这个一次函数的表达式； (2)已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式： （1）将与的两组对应值代入求解即可； （2）先求得时的值，画出图象，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 将代入，得， 解得， 当时，方程无解，两直线平行，总有； 如图， 当时，对于x的每一个值，都有， ． 题型13.增减性判定自变量的变化情况 42．已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式中比例系数的符号判断函数的增减性，再结合两点y值的大小比较x值的大小即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数图象上，且，即， ∴． 43．已知点在一次函数的图象上，则m，n的大小关系是m____n．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据一次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 44．已知三个非负数，，之间满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知两个等式三个未知量，可将其中一个变量作为参数，用该参数表示另外两个变量，再结合，，是非负数得到参数的取值范围，最后将目标式表示为参数的一次函数，根据一次函数单调性求最大值． 【详解】解：设， ∵， 整理得， 得， ∴， 把代入得， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， 把，代入得， ， ∵随的增大而增大， ∴当取最大值时，取得最大值， ∴． 45．已知y与x+2成正比例，当x＝3时，y＝﹣10． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当﹣2＜x≤1时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设y与x的关系式为y＝k（x+2），把x＝3，y＝﹣10代入求出k值即可得出y与x的关系式； （2）求得x＝﹣2和1时的函数值，然后根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）设y与x的关系式为y＝k（x+2）， 把x＝3，y＝﹣10代入解析式得k（3+2）＝﹣10， 解得k＝﹣2． 故函数解析式为y＝﹣2x﹣4； （2）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）﹣4＝0，当x＝1时，y＝﹣2×1﹣4＝﹣6， y的取值范围是﹣6≤y＜0． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的关系式，一次函数的性质，求得其解析式是解题的关键． 题型14.一次函数值的大小比较 46．某快递驿站的每日未取件量（单位：件）与当日室外温度（单位：）满足一次函数关系：，已知当温度为时，未取件量为；当温度为时，未取件量为，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵对应的温度，对应的温度，满足， ∴ ． 47．若点和点都在一次函数的图象上，则______（选择“”、“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数的性质得函数值y随着x的增大而增大，再根据自变量的取值可得答案. 【详解】解：∵一次函数中， ∴函数值y随着x的增大而增大. ∵， ∴. 故答案为：. 48．已知，为直线（为常数）上的两个点，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．据此首先判定，得出y随x增大而增大，再逐项判定即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴y随x增大而增大， A、若，则，故此选项不符合题意； B、若，则，故此选项不符合题意； C、若，即，则，即，故此选项符合题意； D、若，即，则，即，故此选项不符合题意； 故选：C． 49．已知，一条直线经过点与点． (1)确定这条直线的函数解析式； (2)已知点和点在这条直线上，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点与点代入求解即可； （2）根据一次函数增减性判断即可． 【详解】（1）∵直线经过点与点， ∴， 解方程组得， ∴函数解析式为； （2）∵，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 题型15.一次函数的规律探究问题 50．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出规律，得到． 根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：根据题意， ∵ ∴， ， ， …… ∴； ∴． 故答案为： 51．如图，正方形、正方形、正方形的顶点和、、分别在一次函数的图像和轴上，若正比例函数则过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像上点的规律探究题、及正方形的性质，解题的关键是解答时按形成各点的形成顺序依次求出，从而找出规律． 根据正方形的性质和一次函数图像上点的坐标特征求得点的坐标，代入函数解析式求得的值． 【详解】解：当时，，则， ∴在正方形中，，则， 把代入知，，则，则同理． 此时，即 同理，，即． ，即． 把代入，则 解得， 故选：B． 52．已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 题型16.直线与坐标轴交点求方程的解. 53．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 54．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关键，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据方程可知当，从而得到答案． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， 故直线一定经过点． 故答案为：． 55．一次函数和的图象如图所示，几位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是乙：关于x的一元一次方程的解是；丙：关于x的一元一次方程的解是．三人中，结论正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，可判定甲说法；根据两直线交点横坐标为方程的解，可判定乙说法；直线与轴交点的横坐标即为的解，可判定丙说法． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于，的二元一次方程组的解是，故甲说法正确，符合题意； ∴关于的一元一次方程的解是，故乙说法错误，不符合题意； ∵直线与轴交点坐标是， ∴关于的一元一次方程的解是，故丙说法正确，符合题意； ∴三人中，结论正确的是甲、丙， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，正确的理解题意是解题的关键． 题型17.方程的解判定直线与x轴的交点 56．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 57．已知函数中，当______时，图象在轴上方． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与x轴的交点，以及一次函数的性质，先求出直线与x轴的交点横坐标，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：当时，， 解得． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，图象在轴上方． 故答案为：． 58．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． (1)求对角线所在直线对应的函数解析式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元一次方程． （1）求出点C的坐标，设直线解析式为，将和代入计算即可； （2）设点的坐标为，求出，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 设直线解析式为， 因为的图象过点和， 所以， 解得． ∴对角线所在直线对应的函数解析式为； （2）解：设点的坐标为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即或 ∴或， ∴或． 题型18图象法解一元一次方程. 59．如图是一次函数的图像，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（a，b为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 一次函数的图像上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴关于x的方程的解是． 故选：A． 60．如图，已知直线与交于点，则方程的解是______．    【答案】 【分析】先把点代入，求出的值，得到两直线交点，再根据一次函数与一元一次方程的关系，即可得到答案． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 由图象可知，方程的解就是直线与的交点的横坐标， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利用图象法解一元一次方程是解题关键． 61．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）如图所示： （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 题型19.直线与坐标轴交点求不等式解集 62．如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴不等式的解集为． 63．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小，且时，，所以不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小， 时，， 时，， 不等式的解集为． 64．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 题型20.两直线交点求不等式解集 65．如图，已知直线和直线交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴不等式的解集是． 66．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 67．【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表； 0 1 2 3 4 2 0 b 0 根据表格中的信息可得______． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象 【探索】 (3)写出函数的一条性质：当______时（填写的取值范围） 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于的不等式的解集为______． (5)关于的方程有两个正数解时，则满足条件的的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) (5) 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）根据函数图象即可求解； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）方程可化为，那么关于的方程有两个正数解，即为函数与函数有两个横坐标为正的交点，再根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， ； （2）解：如图所示即为所求；    （3）解：根据函数图象可得，当时，； （4）解：在中，当时，， 当时，， 联立， 解得； 联立， 解得； ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； （5）解：方程可化为 ∴关于的方程有两个正数解，即为函数与函数有两个横坐标为正的交点，如图： 当直线经过点时， 解得； 当直线经过点时，， 解得 ∴关于的方程有两个正数解时，． 题型21.两直线交点与二元一次方程的解 68．如图函数和的图象交于点，关于，的方程组的解是________ ． 【答案】 【详解】解：∵函数和的图象交于点． 关于，的方程组的解是． 69．已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 【答案】B 【分析】先联立方程组，得到点，：取，时，满足，此时，据此判断A；根据可以取任意实数，可判断B；当时，，所以的纵坐标恒正，可判断C；取，（满足），此时，在第四象限，可判断D． 【详解】解：联立方程，解得， ， A选项：取，时，满足，那么，，此时M在x轴的正半轴上，A正确； B选项：当时，的横坐标恒为1，纵坐标，由且，可以取任意实数（b任意正，a任意负），所以的轨迹是直线，不是射线，B错误； C选项：当时，，所以的纵坐标恒正，不可能在轴上，C正确； D选项：第四象限要求，，的横坐标，只需，取，（满足），此时，在第四象限，D正确． 70．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限（或）相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．   ， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点， ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，即， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，两直线在第一象限（或第四象限）相交，此时不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 如图， 综上：． 题型22.图象法解二元一次方程组 71．如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】由题可知，利用函数图象，求解对应方程组的解；由于方程组的解即为与其对应函数交点的坐标，即可求解． 【详解】由题可知：函数 与的图象交于点P（1，2）； 又所求方程组，恰为对应的函数组成； 又函数图象的交点即为其对应方程组的解； ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数与对应方程组的关系，重点理解交点及方程组解的对应关系；熟练数形结合的应用． 72．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） . A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 73．已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 【答案】(1)，或， (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y看作已知数求出x． （1）把y看作已知数表示出x，即可确定出正整数解，从而求得A、B两点坐标； （2）图象上点的坐标满足解析式即可求得，根据A、B点横坐标即可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：方程， 解得：x， 当时，；时，， 则方程的所有正整数解为，． ∵点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，， ∴，或，； （2）∵点是线段上一点， ∴， ∴， ∵点是线段上一点， ∴． 题型23.求直线围成的图形面积 74．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积为． 故答案为：4． 75．如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 76．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式． (3)的面积为______． (4)当时，x的取值范围是______ 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【分析】（1）把代入进行求解即可； （2）由（1）可把点C、D的坐标代入进行求解即可； （3）由（2）得出点A的坐标，然后根据三角形面积公式进行求解即可； （4）根据图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：把代入得：， ∴； （2）解：∵点，在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：由（2）可知：一次函数的解析式为， 令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴； （4）解：由图象可知：当时，x的取值范围是． 题型24.分配方案问题 77．开封某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要12元；方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元．设需要仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出关于的函数关系式． (2)若学校需要仪器70件，采用哪种方案更划算？ 【答案】(1)， (2)采用方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，求正比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的描述，分别列式，即可作答． （2）把分别代入中，算出，然后比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：∵方案一：到商店购买，每件需要12元， ∴； ∵方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元． ∴； （2）解：依题意，把分别代入中， 得，． ∵， ， 若学校需要仪器70件时，采用方案二更划算． 78．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)元 (3)当款智能机器人模型件，款科创笔记本件时，总费用最少，最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得： ，其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，， 故当购买了件款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知为， 且， 随的增大而增大， 当时，有最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是款智能机器人模型件，款科创笔记本件，总费用最少是元． 79．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 题型25.最大利润问题 80．中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)每千克葡萄的售价应定为11元 【分析】本题主要考查一元二次方程与一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与之间的函数关系式为，然后由图象可把点代入进行求解即可； （2）由题意易得方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）及题意可得： ， 解得：， 答：每千克葡萄的售价应定为11元． 81．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 82．2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每个A款纪念品售价为120元，每个B款纪念品售价为80元 (2)购进A款纪念品200个时，该商店销售利润最大，最大利润为17600元 【分析】（）设两个未知数，根据题干给出的两种售价总和的条件，列出二元一次方程组求解即可； （）设购进A款纪念品的数量，根据单利润乘以数量得到总利润，整理出总利润关于A款数量的一次函数，再根据题干给出的数量关系和总价限制列出不等式组，得到自变量的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应的购进数． 【详解】（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元， 根据题意可得解得 答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元； （2）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个， ∴降价后A款纪念品的售价为（元）， 每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元） ∴总利润； 根据题意列不等式组得解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元． 题型26.行程问题 83．问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 【答案】(1) (2)行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 【详解】（1）解：设函数解析式为：， 当时，，代入得， ∵汽车以平均时速匀速行驶，x小时行驶的路程为， ∴函数解析式为：； （2）解：令，代入解析式：， 解得：， 所以行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 84．汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)油箱中的油够用，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出每小时消耗的油量，再求出加油后可行驶的路程，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：油箱中的油够用，理由如下： 每小时消耗的油量为， 加油后可行驶的路程为， ∵， ∴油箱中的油够用． 85．赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【答案】(1)①1000米；②乙 (2)开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【分析】（1）①根据函数图象，即可求解； ②根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （2）解法1：求出甲队和乙队当时的函数解析式，然后联立即可求解； 解法2：求出甲队和乙队当时的速度，设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，根据相遇时走的路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：①从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米； ②从图象可以看出，乙队先到达终点； （2）解：解法1．设甲队路程米与时间分钟之间的关系式是， 依题意，得， ， ∴， 当时，设乙队路程米与时间分钟之间的关系式， 依题意，得， 解得， ∴， 解，得， 所以开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 解法2．， 当时，， 设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，则依题意，得 ， 解这个方程，得． 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 题型27.梯度计价问题 86．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元． (1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________； 当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________． (2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时． 【答案】(1)；． (2)小新家十月份应交电费96元 (3)小明家十月份用电240千瓦时 【分析】本题主要考查一次函数的应用， （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第一个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了200千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可； 理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． 【详解】（1）解：当时，与的函数关系式是； 当时，与的函数关系式是，即． 故答案为；． （2）∵， ∴（元）． 答：小新家十月份应交电费96元． （3）∵小明家十月份的电费超过了120元， ∴用电量超过了200千瓦时． 把代入中，得． 答：小明家十月份用电240千瓦时． 87．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 88．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是920元 (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，第一档的水费为元，超过部分的水量为，这部分按单价5元计费． 所以水费，化简可得：， 即当时，与之间的关系式为； （2）解：因为，将代入可得： （元）， 所以该户这一年的水费是920元； （3）解：当时，代入可得： （元）， 因为， 所以该用户用水量在第二档，即． 将代入，可得， 解得． 所以该户去年一年的用水量是． 题型28.其他实际应用问题 89．刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 16 (1)观察表格，根据数据规律可得：_______． (2)直接写出与之间的函数关系式：_______． (3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？ (4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 【答案】(1) (2) (3) (4)若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故 【分析】（1）由表格可知，刹车时的速度的数值每增加，刹车距离的数值就增加，据此可得答案； （2）根据（1）即可得到答案； （3）根据（2）可得s随v的增大而增大，据此求出时，s的值即可； （4）求出时，s的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格可知，刹车时的速度的数值每增加，刹车距离的数值就增加， ∴； （2）解：由（1）得； （3）解：∵，， ∴s随v的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大，最大值为， 答：在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故． 90．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气．因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量y（单位：）与蜡烛的燃烧时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】(1) (2)当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）把代入（1）中解析式，即可． 【详解】（1）解：设蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为， 将，代入，得∶ ， 解得， ∴蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为． （2）解：当时，， 解得． ∴当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭． 91．为营造节日的欢庆场面，某单位在两座相邻楼房的楼顶安装如图1的激光射灯，其平面示意图如图2，其中光束所在直线的解析式为，光束从点位置发出，并经过点，已知两光束与相交于点P． (1)求光束所在直线的解析式； (2)若保持的位置不变，将向上平移m个单位长度，使得两光束的交点P的纵坐标等于6，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，根据平移，设出新的解析式，待定系数法求出即可. 【详解】（1）解：设光束所在直线的解析式为， 将及代入， 得，解得， 光束所在直线的解析式为 （2）解：设点P的横坐标为a， 点P的坐标为， 点P在光束上， 解得， 即点P的坐标为， 由题意，经过平移后所在直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得． 题型29.一次函数与几何综合 92．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据平行可得，再代入点即可求解； （2）先求出点坐标，得到，再利用，可得，结合点写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与直线平行， ， 又过点， ，解得， 一次函数的解析式； （2）解：时，，则，， 设，如图， ， ，解得， 又， 点的坐标为或． 93．如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）分别求出，，即可求解点D的坐标； （2）①可得，而由正方形得到，故，，即可求解点坐标，再将点坐标代入，求解a与m的数量关系； ②可得，，则，再由待定系数法求解正比例函数解析式． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入，则， ∴， ∵正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴； （2）解：①∵点A在直线上运动，设点A的横坐标为m， ∴， ∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点C始终在直线上运动， ∴， ∴； ②∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴， 设点B所在直线的正比例函数解析式为， 则， ∵正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内， ∴， 解得， ∴点B所在直线的正比例函数解析式为． 94．如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． (1)关于的方程组的解为_______． (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在，或 【分析】（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组的解； （2）根据点D在一次函数上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形的面积的面积的面积，代入数据即可解答本题； （3）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ， ∴点D的坐标为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D， 的解是， ∴关于x、y的方程组的解为； （2）解：∵一次函数， ∴当时，， ∴点A的坐标为， ∵点D在一次函数上， ，得， ∴一次函数， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， ， ， 即四边形的面积是4； （3）解：存在， 如图，当点E为直角顶点时，过点D作轴于， ， ； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作交x轴于点， 设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ． 解得． ；. 由上可得，点E坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一次函数图象与性质及应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一次函数定义、解析式形式，明晰与正比例函数的从属关系 2.熟记一次函数图象形状、图象平移规律，理解 k、b 的几何意义 3.吃透一次函数增减性、象限分布等核心性质 4.掌握待定系数法求函数解析式，了解一次函数与方程、不等式的关联 5.熟知一次函数在实际问题中的应用场景与解题模型 1.能根据 k、b 取值判断函数图象位置与增减变化 2.熟练运用待定系数法求解一次函数表达式 3.结合图象求解交点坐标、比较函数值大小，解对应方程与不等式 4.分析图象信息，解决行程、利润、方案类实际应用题 5.灵活运用数形结合思想，实现解析式与图象相互转化解题 1.概念、图象判断类基础题稳拿分，规避 k、b 相关易错点 2.规范完成求解析式、函数性质分析常规题型，计算零失误 3.快速解答函数与方程、不等式结合题型 4.拆解实际应用问题，精准列式求解，攻克综合性考题 题型01.由一次函数的定义求参数 题型02.求一次函数自变量或函数值 题型03.列一次函数解析式并求值 题型04.求一次函数解析式 题型05.判断一次函数的图象 题型06.解析式判定函数经过的象限 题型07.函数经过的象限求参数范围 题型08.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型09.画一次函数图象 题型10.一次函数图象平移问题 题型11.判断一次函数的增减性 题型12.由一次函数增减性求参数 题型13.增减性判定自变量的变化情况 题型14.一次函数值的大小比较 题型15.一次函数的规律探究问题 题型16.直线与坐标轴交点求方程的解 题型17.方程的解判定直线与x轴的交点 题型18图象法解一元一次方程. 题型19.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型20.两直线交点求不等式解集 题型21.两直线交点与二元一次方程的解 题型22.图象法解二元一次方程组 题型23.求直线围成的图形面积 题型24.分配方案问题 题型25.最大利润问题 题型26.行程问题 题型27.梯度计价问题 题型28.其他实际应用问题 题型29.一次函数与几何综合 知识点01:一次函数的概念 定义：形如 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 正比例函数：当 b = 0 时，y = kx（k ≠ 0），是特殊的一次函数。 常值函数：当 k = 0 时，y = b，不是一次函数。 自变量范围：通常为全体实数；实际问题中需使解析式有意义且符合实际。 左图一次函数 右图正比例函数 知识点02:一次函数的图象与画法. 1.图象形状：一条直线，也称直线 y = kx + b。 2.平移关系：y = kx + b 可由 y = kx 平移 |b| 个单位得到（b > 0 上移，b < 0 下移）。 3.两点法画图： 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:一次函数的性质与性质（重点） 知识点04:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点05:待定系数法求解析式 步骤： 1.设：设 y = kx + b（k ≠ 0）。 2.代：代入两个已知点坐标，列方程组。 3.求：解方程组求 k、b。 4.写：写出解析式。 知识点06:一次函数与方程、不等式的关系 图示 与一次方程的关系 方程kx+b=0的解⇔直线y=kx+b与x轴交点的横坐标 与二元一次方程的关系 方程组解⇔直线y=+的交点坐标 与一元一次不等式 不等式kx+b0(或0)的解集⇔直线y=kx+b在x轴上(或下)的x取值范围 与一元一次不等式组 不等式kx+bx+⇔直线y=kx+b 在直线y=x+上方的x取值范围:多个不等式解集去交集 知识点07:一次函数应用解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点08:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 题型01.由一次函数的定义求参数 1．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 2．当________时，函数是一次函数． 3．一次函数经过原点，则（    ） A．2 B． C． D．0 4．已知函数（m为常数）． (1)当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数； (2)当m满足条件__________时，函数图象经过点； (3)当m满足条件__________时，y随x的增大而减小． (4)当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方； 题型02.求一次函数自变量或函数值 5．点在直线上，则代数式的值是______． 6．若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 7．已知两点，，以下各点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 8．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明． 题型03.列一次函数解析式并求值 9．利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围：____________； 10．对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 11．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 题型04.求一次函数解析式 12．某品牌汽车行驶前油箱中装有汽油50升，行驶过程中每行驶1百公里耗油8升，那么油箱中剩余油量（升）与行驶路程（百公里）之间的函数关系式为________（不必写自变量的取值范围）． 13．数学小组李华同学画某一次函数图象时，发现描出的点不在一条直线上，检查所列表格发现其中两个函数值算错了，下表算错的两个函数值是（   ） x 0 1 2 3 y 6 3 1 A．6，3 B．3，1 C．6， D．， 14．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式，并判断此时是的什么函数？ (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 题型05.判断一次函数的图象 15．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是(　　) A． B． C． D． 16．已知一次函数，和，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 17．已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型06.解析式判定函数经过的象限 18．对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象不经过第二象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 19．已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 20．已知，当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)在平面直角坐标系中，该函数的图象不经过第______象限； (3)若点是该函数图象上的一点，求y的值． 题型07.函数经过的象限求参数范围 21．一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围为______． 23．如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（    ） A． B． C． D． 题型08.一次函数图象与坐标轴的交点问题 24．一次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 25．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，则的面积为______． 26．若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为_______． 27．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 题型09.画一次函数图象 28．在同一平面直角坐标系中，两个一次函数与的图象相交，则其交点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P'的坐标定义如下：当a≥b时，P'点坐标为（a，－b）；当a＜b时，P'点坐标为（a＋4，b－2）．线段l：y=－0.5x＋3（－2≤x≤6）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是______． 30．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． (1)常量与的值分别为：_________，_________； (2)在网格中画出函数的图像． 题型10.一次函数图象平移问题 31．将一次函数的图象向下平移2个单位，得到另一个函数的图象，这个函数的解析式为：______． 32．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 题型11.判断一次函数的增减性 34．如果一次函数的图像经过点，且函数值随自变量的值增大而减小，那么点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 35．已知一次函数．当时，的取值范围是______． 36．下列函数中，当时随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 37．关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，且，求n的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，一次函数和． ①求证：一次函数的图象经过点． ②当时，试比较与的大小． 题型12.由一次函数增减性求参数 38．已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 39．一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 40．已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可）． 41．下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 0 (1)求这个一次函数的表达式； (2)已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围． 题型13.增减性判定自变量的变化情况 42．已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（） A． B． C． D． 43．已知点在一次函数的图象上，则m，n的大小关系是m____n．（填“>”，“<”或“=”） 44．已知三个非负数，，之间满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 45．已知y与x+2成正比例，当x＝3时，y＝﹣10． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当﹣2＜x≤1时，求y的取值范围． 题型14.一次函数值的大小比较 46．某快递驿站的每日未取件量（单位：件）与当日室外温度（单位：）满足一次函数关系：，已知当温度为时，未取件量为；当温度为时，未取件量为，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 47．若点和点都在一次函数的图象上，则______（选择“”、“”或“”填空）． 48．已知，为直线（为常数）上的两个点，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 49．已知，一条直线经过点与点． (1)确定这条直线的函数解析式； (2)已知点和点在这条直线上，试比较与的大小． 题型15.一次函数的规律探究问题 50．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 51．如图，正方形、正方形、正方形的顶点和、、分别在一次函数的图像和轴上，若正比例函数则过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 52．已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 题型16.直线与坐标轴交点求方程的解. 53．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 54．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点________． 55．一次函数和的图象如图所示，几位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是乙：关于x的一元一次方程的解是；丙：关于x的一元一次方程的解是．三人中，结论正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 题型17.方程的解判定直线与x轴的交点 56．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 57．已知函数中，当______时，图象在轴上方． 58．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． (1)求对角线所在直线对应的函数解析式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 题型18图象法解一元一次方程. 59．如图是一次函数的图像，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 60．如图，已知直线与交于点，则方程的解是______．    61．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 题型19.直线与坐标轴交点求不等式解集 62．如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 63．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 64．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 题型20.两直线交点求不等式解集 65．如图，已知直线和直线交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 66．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 67．【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表； 0 1 2 3 4 2 0 b 0 根据表格中的信息可得______． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象 【探索】 (3)写出函数的一条性质：当______时（填写的取值范围） 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于的不等式的解集为______． (5)关于的方程有两个正数解时，则满足条件的的取值范围是______． 题型21.两直线交点与二元一次方程的解 68．如图函数和的图象交于点，关于，的方程组的解是________ ． 69．已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 70．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 题型22.图象法解二元一次方程组 71．如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是_____． 72．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） . A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 73．已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 题型23.求直线围成的图形面积 74．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则的面积为______． 75．如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 76．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式． (3)的面积为______． (4)当时，x的取值范围是______ 题型24.分配方案问题 77．开封某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要12元；方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元．设需要仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出关于的函数关系式． (2)若学校需要仪器70件，采用哪种方案更划算？ 78．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 79．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 题型25.最大利润问题 80．中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 81．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 82．2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 题型26.行程问题 83．问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 84．汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 85．赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 题型27.梯度计价问题 86．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元． (1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________； 当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________． (2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时． 87．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 88．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 题型28.其他实际应用问题 89．刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 16 (1)观察表格，根据数据规律可得：_______． (2)直接写出与之间的函数关系式：_______． (3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？ (4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 90．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气．因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量y（单位：）与蜡烛的燃烧时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 91．为营造节日的欢庆场面，某单位在两座相邻楼房的楼顶安装如图1的激光射灯，其平面示意图如图2，其中光束所在直线的解析式为，光束从点位置发出，并经过点，已知两光束与相交于点P． (1)求光束所在直线的解析式； (2)若保持的位置不变，将向上平移m个单位长度，使得两光束的交点P的纵坐标等于6，求m的值． 题型29.一次函数与几何综合 92．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 93．如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 94．如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． (1)关于的方程组的解为_______． (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $