专题03菱形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题03菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记定义：一组邻边相等的平行四边形即为菱形，属于特殊平行四边形 2.吃透性质：四边均等，对角相等邻角互补；对角线垂直平分且平分内角；兼具中心对称与轴对称特性 3.熟记判定：掌握定义、四边相等、对角线互相垂直三类判定依据 4.掌握算法：通晓底乘高、对角线乘积一半两种面积计算方式 1.熟练运算，快速求解边长、角度、周长、对角线与面积数值 2.精准判形，依据条件灵活选用定理，规范完成几何推理论证 3.融会贯通，结合三角形知识，破解折叠、动点、图形组合类题型 4.辨析差异，清晰区分菱形、矩形、平行四边形的性质判定区别 1.基础题型稳拿分，概念判断、简单计算杜绝失分 2.证明作答格式标准，逻辑严密，答题步骤完整规范 3.灵活应对各类考题，高效解答选择、填空与常规证明题 4.突破综合难点，整合图形知识点，稳步提升解题得分率 题型01.菱形性质求角度 题型02.菱形性质求线段长 题型03.菱形性质求面积 题型04.菱形性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求角度 题型09.由菱形性质与判定求面积 题型10.菱形中的折叠问题 题型11.菱形中的动点问题 题型12.菱形中的最值问题 题型13.菱形与坐标系综合 题型14.菱形与中位线综合 题型15.菱形多结论问题 题型16.菱形实际应用问题 题型17.菱形存在性问题 题型18.菱形中的旋转问题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 .知识点05:菱形与一般四边形的区别 题型01.菱形性质求角度 1．如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 2．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，，过点C作，与的延长线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的度数． 题型02.菱形性质求线段长 4．如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则此菱形的高为______． 5．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 7．如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，，求的长． 题型03.菱形性质求面积 8．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_______． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 10．如图，四边形是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连接，，，．记，，若，则小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为____． 11．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 题型04.菱形性质证明 12．如图，在菱形中，对角线、相交于点，且，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为______．    13．如图，菱形的对角线与相交于点O，，，则菱形的周长为（   ） A．20 B．40 C．48 D．64 14．如图，菱形的边长为1，，E、F分别是边上的两个动点，且满足，设的面积为s，则s的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． (1)如图1，连接，求证； (2)如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； (3)若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 题型05.添条件使四边形是菱形 16．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 17．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 题型06.证明四边形是菱形 19．如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 20．下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型07.由菱形性质与判定求线段长 22．如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接，，，则的长为_________．      23．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 24．如图，在中，，为的中线，，且，连接． (1)求证四边形为菱形． (2)连接，若求的长． 题型08.由菱形的性质与判定求角度 25．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 26．如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 题型09.由菱形性质与判定求面积 28．如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形．若，，则四边形的面积是_________． 29．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 30．如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 题型10.菱形中的折叠问题 31．如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为______． 32．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设线段与相交于点． . (1)当点重合时，如图1， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，请直接写出的最小值为 ． (2)求面积的最小值． 题型11.菱形中的动点问题 34．如图，菱形的周长为是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是__________． 35．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 36．数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． (1)请你写出的度数为________． (2)【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 题型12.菱形中的最值问题 37．如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____． 38．如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 39．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 题型13.菱形与坐标系综合 40．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 41．菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是______；此时点的坐标为______． . 42．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 题型14.菱形与中位线综合 43．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 44．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 45．如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 题型15.菱形多结论问题 46．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 47．如图，在菱形中，，，，分别是，上的动点，关于①、②两个结论，下列判断正确的是（　　） ①若，，的大小为； ②的最小值为5 A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都不对 48．如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 题型16.菱形实际应用问题. 49．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 50．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 51．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 (1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 (2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 (3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 题型17.菱形存在性问题 52．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 53．如图，在中，分别以，，为边作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？ 54．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形．已知点，，D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)若四边形是平行四边形，求t的值． (2)在线段上是否存在一点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 题型18.菱形中的旋转问题 55．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． 56．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 57．如图，在菱形中，． (1)点分别是边的中点，分别连接．求证：是等边三角形． (2)连接对角线，点E在线段之间，将线段绕点A逆时针旋转得线段，点G是线段的中点，连接．试判断与的数量关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值为_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记定义：一组邻边相等的平行四边形即为菱形，属于特殊平行四边形 2.吃透性质：四边均等，对角相等邻角互补；对角线垂直平分且平分内角；兼具中心对称与轴对称特性 3.熟记判定：掌握定义、四边相等、对角线互相垂直三类判定依据 4.掌握算法：通晓底乘高、对角线乘积一半两种面积计算方式 1.熟练运算，快速求解边长、角度、周长、对角线与面积数值 2.精准判形，依据条件灵活选用定理，规范完成几何推理论证 3.融会贯通，结合三角形知识，破解折叠、动点、图形组合类题型 4.辨析差异，清晰区分菱形、矩形、平行四边形的性质判定区别 1.基础题型稳拿分，概念判断、简单计算杜绝失分 2.证明作答格式标准，逻辑严密，答题步骤完整规范 3.灵活应对各类考题，高效解答选择、填空与常规证明题 4.突破综合难点，整合图形知识点，稳步提升解题得分率 题型01.菱形性质求角度 题型02.菱形性质求线段长 题型03.菱形性质求面积 题型04.菱形性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求角度 题型09.由菱形性质与判定求面积 题型10.菱形中的折叠问题 题型11.菱形中的动点问题 题型12.菱形中的最值问题 题型13.菱形与坐标系综合 题型14.菱形与中位线综合 题型15.菱形多结论问题 题型16.菱形实际应用问题 题型17.菱形存在性问题 题型18.菱形中的旋转问题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 .知识点05:菱形与一般四边形的区别 题型01.菱形性质求角度 1．如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】根据菱形对边平行得到，根据，得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． 2．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 3．如图，平行四边形中，，过点C作，与的延长线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质，等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，再根据平行线的性质，求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， 四边形为平行四边形． ， ． 是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， ，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 题型02.菱形性质求线段长 4．如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则此菱形的高为______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可知，，，利用勾股定理求得的长，求得的长，设此菱形的高为h，进而利用菱形的面积求解． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， 菱形的边长为， ， ， ， 设此菱形的高为h， ， ， ， 此菱形的高为． 5．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形和相等的边，利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∵，且， ∴． 6．如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 【答案】 【分析】（1）结合菱形的性质和，，计算出两条对角线的长，由即可得出结果； （2）是直角三角形，设，当点在点的两侧或同侧时，由勾股定理分别列出方程，即可求解的值，． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， ∵是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，与交于点， 由（1）可知，， ∵，， ∴是直角三角形， 设， 当点在点的左侧，点在点的右侧，则， ∵是直角三角形， ∴， 即， ， 解得， ∴， 当点、点同在点的左侧，则， 可得方程 解得（舍去）， ∴， 当点、点同在点的右侧，则， 可得方程 解得， （舍去）． 综上所述，． 7．如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由菱形的性质可得，则，由题意可得，再利用即可证明； （2）由菱形的性质并结合全等三角形的性质即可得证； （3）根据菱形的性质和直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵四边形为菱形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型03.菱形性质求面积 8．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 10．如图，四边形是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连接，，，．记，，若，则小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为____． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质及面积公式，解题关键在于根据等高三角形面积比等于底边之比，由得出，再由，从而得出，由此即可解题． 【详解】如图，连接，设与交点为， 与交点为， 由题可知四边形和四边形都是菱形，且共用对角线， ∴，， ∴， ∵，，， ， 设，则， ，， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴， ， 由图可知是小平行四边形纸片长边与短边的差， ∴，即等于小平行四边形纸片的长边， ∴小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为4． 11．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作， ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 题型04.菱形性质证明 12．如图，在菱形中，对角线、相交于点，且，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为______．    【答案】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，从而得出的长度，根据菱形的性质求出的长度，计算出面积即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形是菱形 ∴， ∴， 在中，，则， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，求出的长度，判断是直角三角形，是解答本题的关键． 13．如图，菱形的对角线与相交于点O，，，则菱形的周长为（   ） A．20 B．40 C．48 D．64 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 菱形的周长为． 14．如图，菱形的边长为1，，E、F分别是边上的两个动点，且满足，设的面积为s，则s的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得△BED≌△BFC，从而可得△BEF是等边三角形，由等边三角形的面积公式可得，当BE与BD或AB重合时，BE最大，从而△BEF的面积最大；当BE⊥AD时，BE最小，从而△BEF的面积最小，从而可求得s的取值范围． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AD=BC=CD=AB=1 ∵BD=1 ∴AB=AD=BD ∴△ABD是等边三角形 ∴∠A=∠ADB=∠C=∠DBC=60° ∵，AE+DE=1 ∴DE=CF 在△BED和△BFC中 ∴△BED≌△BFC ∴BE=BF，∠EBD=∠FBC ∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60° ∴△BEF是等边三角形 根据等边三角形的面积公式得： 当点E与A或D重合时，BE最大，此时BE=1，此时s最大，且最大值为；当点BE⊥AD时，BE最小，则AE=，由勾股定理得，此时s最小，且最小值为 所以s的取值范围为： 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的面积、垂线段最短等知识，证明△BED≌△BFC及△BEF是等边三角形是解题的关键． 15．菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． (1)如图1，连接，求证； (2)如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； (3)若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质易得到是等边三角形，进而得到，从而证明； （2）连接，根据等边三角形和全等三角形的性质易证明、，进而得到，证得，则，进而证得点在的角平分线上，根据菱形的性质得到平分，从而得出结论； （3）连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G，根据三角形中位线的性质求出、，进而求出，在中，根据含角的直角三角形的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：连接， 是等边三角形，E是的中点， ， 由（1）可知，， 、， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 、， 点在的角平分线上， 四边形是菱形， 平分， 点在上； （3）解：连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G， ， ， ， 由（2）知，， ，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， 同理可得：，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理、三角形中位线性质、含角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 题型05.添条件使四边形是菱形 16．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 17．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的性质，结合菱形、矩形的判定定理，对各个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】∵四边形是平行四边形. 对于选项A. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，A不符合题意. 对于选项B. 无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，B不符合题意. 对于选项C. ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形，C符合题意. 对于选项D. ∵对角线相等的平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，D不符合题意. 综上，答案选C. 18．如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【答案】添加一个条件：（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形、菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和菱形的判定是解题的关键． 由可证，可得，从而可得出四边形为平行四边形，再由菱形的判定可求解． 【详解】解：添加一个条件：当时，四边形为菱形， 证明：若添加， ∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 题型06.证明四边形是菱形 19．如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，再利用证明，得四边形为平行四边形，然后根据垂直平分线的性质得，即可得出为菱形． 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形． 20．下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定方法,根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合选项逐一分析即可 【详解】A. 若，则平行四边形为矩形，而非菱形，故A错误； B. 由及平行四边形邻角互补可得，此时平行四边形为矩形，故B错误； C. 对角线的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故C错误； D. 对角线的平行四边形是菱形，符合菱形的判定条件，故D正确． 故选：D． 21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 题型07.由菱形性质与判定求线段长 22．如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接，，，则的长为_________．      【答案】2 【分析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出是菱形；再判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键． 23．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 24．如图，在中，，为的中线，，且，连接． (1)求证四边形为菱形． (2)连接，若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质得出，，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型08.由菱形的性质与判定求角度 25．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 26．如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先得出是菱形，从而得到，由得出，再证明，从而得到，，又由推导，从而求出，，最后利用即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴是菱形， ， ， ， ， ， ，是斜边的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 27．如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，利用完全平方公式求面积是解题的关键． （1）设根据菱形的性质和等腰三角形的性质，得出三个角的度数，列方程得出，即可得到的度数； （2）连接，求出对角线的长度，从而得出四边形的边长，求出面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：连接交于点，如图： 设，则， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ， ∴四边形的面积为． 题型09.由菱形性质与判定求面积 28．如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形．若，，则四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】由、可知四边形为平行四边形，过点作于点，于点，连接、交于点；由平行四边形的对角线将平行四边形分为两个面积相等的三角形，结合两纸条的宽度相等可以得到；接下来判断出四边形的形状，然后求出对角线的长度，问题便不难解答． 【详解】解：过点作，，垂足分别为，，连接、交于点． 纸条的对边平行，即、， 四边形是平行四边形， 与的面积相等． 纸条的宽度相等，即， ， 四边形是菱形． ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质和判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解答的关键． 29．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 30．如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型10.菱形中的折叠问题 31．如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质． 根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案． 【详解】解：菱形沿折叠，落在边上的点处， ，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 32．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出，然后根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度即可． 【详解】解：菱形中，，， ，，，， ，， ， ， 将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处， ，， ，， ，， ，， ． 33．如图，在，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设线段与相交于点． . (1)当点重合时，如图1， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，请直接写出的最小值为 ． (2)求面积的最小值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①由折叠的性质可得，，，结合平行四边形的性质可得，因此，命题得证； ②连接、、，容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易计算出，由勾股定理可得； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算出，则，结合可知，当点与点重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：①证明：由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②如图，连接、、， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； （2）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值． 题型11.菱形中的动点问题 34．如图，菱形的周长为是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质可得点与点关于直线对称，从而，将的最小值转化为求的长，再根据已知条件证明是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 菱形的周长为 ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形 ， 四边形是菱形 ， 点与点关于直线对称 ， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当 三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长 ， 是等边三角形，是的中点 ， ， ， 在中，由勾股定理得 ． 35．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 36．数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． (1)请你写出的度数为________． (2)【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， 根据轴对称可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍）， 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 题型12.菱形中的最值问题 37．如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 38．如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】解：菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值， 当时，最小， 当时， 为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 39．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，将求的最小值问题转化为求线段的长度问题，再结合特殊四边形的性质求出构成直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵为线段上的动点， ∴如图，可以看作是定线段沿菱形在方向上水平运动， 点的运动轨迹为线段，过点作关于线段的对称点． 由对称性，得， ∴， 如图，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 设与交于点，交于点，延长交延长线于点，菱形中，，， ∴，，． 由题意可得， ∴由对称性可得，∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 题型13.菱形与坐标系综合 40．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 【答案】． 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出的长．由菱形的性质得到，推出，由点的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论． 【详解】解：如图，交轴于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：． 41．菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是______；此时点的坐标为______． . 【答案】 【分析】作点关于轴的垂线，可推出垂线的长度即为，则要使取最小值，点、、应在一条直线上，再结合含直角三角形特征、勾股定理即可得解． 【详解】解：作轴， 菱形中，， ， 中，， 则要使取最小值，点、、应在一条直线上， 作轴， 此时即为最小值， 点的坐标为， ， 则菱形中，， ， ， ，， 最小值为， ， ， 又， ， ． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、含直角三角形特征、垂线段最短、勾股定理，解题关键是结合含直角三角形特征找出的最小值． 42．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】(1)， (2)① ②见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理，可求得的长度，从而知道菱形的边长，再利用菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求得点的坐标和的度数； （2）①利用等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半计算，即可得出答案； ②连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得，从而推出，接着证明，得到，，接着证明，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． （2）①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 题型14.菱形与中位线综合 43．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知点与点关于对称，作点关于的对称点，则在上，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为的最小值，连接，利用三角形中位线定理和勾股定理求出的长度即可 . 【详解】解:四边形是菱形，边长为5， ，，， 在中，， 作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值为的长度， 点与点关于对称，， 点在上，且， 是的中点， ， ， ， 连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， 在中，， 的最小值为. 44．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得到，，利用勾股定理求得，从而求得的长，取中点Q，连接，由三角形中位线定理结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点O， ，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 如图，取中点Q，连接， ∴， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 45．如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 【答案】120 【分析】连接，交于点，易得是的中位线，则，，由斜边的中线为得到，在中利用勾股定理求出，则，由此可求得菱形的面积为120． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵，点为边的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 题型15.菱形多结论问题 46．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】①②⑤ 【分析】由菱形的性质可得，，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，即可得出，结合四边形内角和计算即可判断①正确；证明，得出，，结合直角三角形的性质即可判断②正确；由全等三角形的判定定理即可判断③错误；求出，再由三角形的面积公式即可判断④错误；由垂线段最短可得，当时，最小，即可判断⑤正确． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 在中，，，在中，，对应边不相等，故和不全等，③错误； ∵， ∴， ∴，故④错误； 如图：由垂线段最短可得，当时，最小， ∵， ∴， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②⑤． 47．如图，在菱形中，，，，分别是，上的动点，关于①、②两个结论，下列判断正确的是（　　） ①若，，的大小为； ②的最小值为5 A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质，由菱形的性质可得，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可判断①；连接交于，连接、，作于，由菱形的性质可得点和点关于对角线对称，，，，，从而可得，，进而得出，，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，为，再由菱形的面积公式计算即可判断②；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接交于，连接、，作于， ， ∵四边形为菱形， ∴点和点关于对角线对称，，，，， ∴，， ∴，， ∴当点、、在同一直线上，且时，的值最小，为， ∵， ∴， ∴的最小值为，故②错误； 故选：A． 48．如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】先求出是等边三角形， 得，再分别证四边形、是平行四边形，得，即可得Ⅰ正确；通过作图可得Ⅱ正确． 【详解】解：如下图， 根据题意，得正六边形的每一个外角是，每一个内角是， ， ， ， 是等边三角形， ， 在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母， ， ， 在菱形中， ， ， 延长交于点J， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 可以排列如图所示， 故该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母， 故选：A． 题型16.菱形实际应用问题. 49．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 【答案】96 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是． 50．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，得，再根据勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 红丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：． 51．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 (1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 (2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 (3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 【答案】(1)16 (2)72cm (3) 【分析】（1）利用已知条件证得，从而得到，再利用中点的性质即可解出答案； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长度，再根据证得四边形是平行四边形，所以，同理证得，即可求出答案； （3）连接点的距离不小于4cm，所以直接将代入，利用勾股定理解出答案． 【详解】（1）解：连接，相交于点， ， ∵和中间三个全等的菱形边长相等， ∴， 在和中，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 当点移动到点的位置时， ． （2）解：连接， 由题意得，． ∵四边形是菱形， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，故，且中间的三个菱形边都相等，对应角也相等，则都是全等的菱形， 同理可得， ． 答：此时晾衣架端点到墙壁的距离是72cm． （3）解：当时，， ． ． ． 答：晾衣架活动端点的最大可移动距离为． 题型17.菱形存在性问题 52．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 【答案】 【分析】结合题意得：，，当时，而，可得四边形为平行四边形，求解，当时，四边形为菱形，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 当时，而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴， 当时，四边形为菱形， 如图， 过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴． 53．如图，在中，分别以，，为边作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）证明，，得到，即可得证； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到当时，四边形是菱形． 【详解】（1）证明：、、都是等边三角形， ，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， 、是等边三角形， ，， 又， ， 平行四边形是菱形. 54．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形．已知点，，D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)若四边形是平行四边形，求t的值． (2)在线段上是否存在一点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种情况讨论，利用菱形的性质及勾股定理即可求得答案； （3）连接，过点O作直线的对称点E，连接，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ∴， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ， 综上所述，存在，点Q的坐标为或； （3）解：连接，过点O作直线的对称点E，连接，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 题型18.菱形中的旋转问题 55．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】连接交于点E，先根据题意可得点，进而得出，再由旋转的性质可得，进而得出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接交于点E， ∵菱形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为， ∴点， ∴． 由旋转的性质可得， ∴， ∴点D的对应点的坐标为． 56．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、图形旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出相关线段长度，结合旋转的性质确定直角三角形的直角边，再用勾股定理计算的长． 先根据菱形性质得，且、，求出、；再由旋转180°的性质得、、，计算；最后在中，用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵绕着点C旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 57．如图，在菱形中，． (1)点分别是边的中点，分别连接．求证：是等边三角形． (2)连接对角线，点E在线段之间，将线段绕点A逆时针旋转得线段，点G是线段的中点，连接．试判断与的数量关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)；证明见解析 (3)2 【分析】（1）证明，即可求证； （2）延长到H，使，连接,证明是等边三角形，进而证明，根据三角形的中位线即可求解对应关系； （3）将转化成,当三点共线时最小． 【详解】（1）证明：连接， ∵菱形 ∴等边，等边 ∵点E、F分别是的中点 在和中， 是等边三角形 （2）解：，理由如下： 延长到H，使，连接． ∵点G是的中点， 是中位线， ∴ ∵菱形 ∴等边 ∵绕A逆时针旋转得线段AF 在和中 （3）， 当三点共线时最小，最小值是2． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $