江苏省常州市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习卷

**基本信息** 江苏省常州市七年级数学期末复习卷，以代数几何融合为核心，通过基础题巩固抽象能力与运算能力，创新题型（如“k系相关解”“旋转重叠图形”）发展推理意识与空间观念，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|负整数指数幂、不等式解集、轴对称|天平情境（题5）考查不等式性质，体现数学眼光| |填空题|8题|因式分解、逆命题、图形面积|阴影面积计算（题14）结合方程组，培养模型意识| |解答题|7题|新定义运算、旋转综合|“k系相关解”（题22）定义新运算发展推理能力；综合实践（题23）融合平移旋转提升空间观念|

江苏省常州市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习卷 一、单选题 1．用分数表示的结果是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的最大整数解是（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点与点关于成轴对称，连接，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 7．若满足方程组的与互为相反数，则的值为（    ） A．11 B．-1 C．1 D．-11 8．对于任意实数，定义运算：，例如：，．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．因式分解：__． 10．命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”）． 11．方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数______，______． 12．若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是______． 13．若，则a的值是______． 14．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为______． 15．如图，已知在中，，，是角平分线，点、分别在边上，．将绕点以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为．当______秒时有． 16．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．（1）解方程： （2）解不等式： 19．求代数式的值：，其中． 20．已知关于的方程组（实数是常数）． (1)若，求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 21．填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，． 求证：． 证明：（ ）， （    ）， 即 ． （    ）． 22．定义：若关于，的二元一次方程的一个解为，当时，则称为二元一次方程的“系相关解”．例如：是二元一次方程的“2系相关解”． (1)二元一次方程的“1系相关解”为 ； (2)下列二元一次方程存在“2系相关解”的是 （填序号）； ①；②；③． (3)为二元一次方程的“系相关解”，且，求的取值范围． 23．综合与实践 【问题情境】 如图1，在长方形中，，点E在边上，且． 【初步探究】 （1）如图2，连接，将长方形沿方向平移，得到长方形，连接，则四边形的面积是 ，与的数量关系是 ； 【拓展延伸】 （2）如图3，将长方形绕点E顺时针旋转，得到长方形． ①若旋转过程中，长方形与长方形重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C'（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角； ②若旋转过程中，边与边相交于点P，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省常州市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习卷》参考答案 1．D 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的运算法则：（其中），计算即可，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选： D． 2．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算可得出不等式的解集，从而即可得解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：移项得： ， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 故不等式的最大整数解是， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及运用数轴表示不等式组的解集，先解不等式组，得到，再把每个选项的数轴的解集表示出来，若符合则正确；否则不正确，即可作答． 【详解】解：解不等式组得到． A、该数轴上的解集是．故本选项错误； B、该数轴上的解集是．故本选项错误； C、该数轴上的解集是．故本选项错误； D、该数轴上的解集是．故本选项正确； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、轴对称的性质、等边对等角，由轴对称的性质可得，由等边对等角可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点与点关于成轴对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 6．C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 7．A 【分析】由x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组计算即可求出m的值． 【详解】解：由题意得：y=-x， 代入方程组得：， 消去x得：， 即3m+9=4m-2， 解得：m=11． 故选：A． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8．C 【分析】本题主要考查了新定义运算，解一元一次不等式，准确理解和计算是解题的关键． 根据新定义运算的公式列出不等式求解即可． 【详解】∵ ∴ 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：C． 9． 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．假 【分析】根据逆命题的概念写出逆命题，再根据实数的平方的概念判断即可． 【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等”，则这个逆命题是假命题； 例如：，但； 故答案为：假． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题；判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 11． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，先把代入第二个方程求出，再把方程的解，代入第一个方程即可得到数的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 把代入得， 解得：， ∴方程组的解为，即有， 把代入得：， 故答案为：；． 12．36 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵恰好是一个整式的平方， ∴． 故答案为：36． 13．105 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据，可得，进一步利用平方差计算即可． 【详解】解：， ； 故答案为：105． 14．60 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：60． 15．33或69 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 分两种情况讨论，先求出旋转角，即可求的值． 【详解】延长交于点， ∵中，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当旋转角时， 同理可求：， 综上所述：的值为33或69， 故答案为：33或69． 16．/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解．先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，以及单项式乘以单项式计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别负整数指数幂和零指数幂，再相加即可； （2）先计算幂的乘方和积的乘方，再进行单项式乘以单项式的计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（1）；（2） 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的两种消元方法和解一元一次不等式组的步骤． （1）利用加减消元法先求解，再求解即可得答案； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可得不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 19．， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可. 【详解】解： ， 当时， 原式. 20．(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解；解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将方程组中的两个方程相加，得，再将代入，得到关于的方程，解方程即可求出实数的值； （2）先将方程组中的两个方程相减，得，再解不等式组，即可求出的取值范围； （3）先根据绝对值的定义去掉绝对值的符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： 得， ∵， ∴， 解得； （2）解： 得， ∵， ∴， 解得； （3）解：当时，； 当时，． 21．已知；等式的性质；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．先利用，得出，再利用“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：，（已知）， （等式的性质）， 即． （内错角相等，两直线平行） 故答案为：已知；等式的性质；；内错角相等，两直线平行． 22．(1) (2)①，③ (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式，新定义等知识，理解新定义是解题的关键； （1）设是二元一次方程的“1系相关解”，则可得二元一次方程组，解方程组即可； （2）设是二元一次方程的“2系相关解”，即，与每个方程组成二元一次方程组，求解即可判断； （3）由题意得，则；由，可求得m的取值范围；再由即可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：设是二元一次方程的“1系相关解”，则得， 解得：，故； 故答案为：； （2）解：设是二元一次方程的“2系相关解”，即 ； 当时，，解得； 当时，方程组无解； 当时，，解得； 综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③； 故答案为：①，③； （3）解：由题意得，则． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴，即． 23．（1）28，（2）①见解析②或310 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 对于（1），根据旋转的性质可知四边形的相关的量，再根据面积公式计算；然后证明，根据全等三角形的对应角相等得出答案； 对于（2）①，以点E为圆心，为半径画弧，使点C落在上，旋转角为，此时重叠部分是轴对称图形；以点E为圆心，为半径画弧，使点C落在上，旋转角为，此时重叠部分是轴对称图形； 对于②，（Ⅰ）根据长方形的性质得，即可求出答案； （Ⅱ）根据，可得，再根据长方形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：（1）根据平移的性质可得，且，四边形的高为4， ∴四边形的面积是； 连接， 根据平移的性质得， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：28，； （2）①①点C'位置正确，答案不唯一； ②（Ⅰ）∵在长方形中，， ∴． ∴． ∵在长方形中，， ∴，即． （Ⅱ）∵， ∴． ∵在长方形中，， ∴． ∵在长方形中，， ∴． ∴． ∴或310． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $