江苏省南京市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习卷

**基本信息** 本卷聚焦七年级下册核心知识，通过整式运算、图形变换（平移/旋转）、实际应用（如“小菜园”面积计算）等题型，融合运算能力、几何直观与模型意识，梯度覆盖基础巩固（如幂运算）、能力提升（如旋转角度推理）及创新应用（如“和谐数”定义探究），适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|整式运算、平移性质、新定义（欧拉求和）|结合符号意识，考查概念辨析| |填空题|10题|幂运算、图形旋转、代数式求值|融入几何直观，强调逆向思维| |解答题|8题|实际应用（面积计算）、几何证明、折纸探究|突出模型意识与推理能力，情境真实（如劳动课菜园）|

江苏省南京市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习卷 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．若多项式是完全平方式，则常数k的值为（   ） A．8 B． C． D． 5．如图，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 6．18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（   ） A．20 B． C． D． 7．若，，则的值是（    ） A．0 B．4 C．0或4 D．2或4 8．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．________；________． 10．计算：________． 11．________． 12．将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则________． 13．如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 14．已知，那么代数式的值为______． 15．如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 16．如图，在边长为的正方形草地外围修建一条宽度为的小路，则小路的面积为______．（用含的代数式表示） 17．如图，将直角梯形沿方向平移，平移的距离为线段的长度，得到直角梯形．已知，，，则图中阴影部分面积为______． 18．如图，在等边三角形网格中，将格点逆时针旋转，得到格点，则旋转角为______． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 22．如图，已知，且．求证：．请补充完成下列证明． 证明：（已知），（平角的定义）， ∴_________________（同角的补角相等）． （________________）． （________________）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （________________）． 23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，点、、、都在格点上．按下列要求画图： (1)画出向左平移个单位长度后得到的； (2)画出绕点按逆时针方向旋转后的； (3)在直线上找出一点，使得的值最小． 24．轴对称在数学计算中有很巧妙的应用，如图①，现要计算长方形中六个数字的和．我们发现，把长方形沿对称轴对折，重合的数字之和均为4，故六个数字的和为．若沿对称轴对折，则六个数字的和可表示为．类比上面的方法，计算图②中的各数字之和并写出计算过程．    25．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1、2、3、2、1，从个位到最高位依次出的一串数字仍是：1、2、3、2、1，因此12321是一个“和谐数”.再如22、545、3883、345543、…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”：_________________________________； (2)设四位“和谐数”个位上的数字为a，十位上的数字为b，请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除?并说明理由. 26．折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省南京市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习练习卷》参考答案 1．A 【分析】运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查整式的相关计算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 2．A 【分析】将已知条件中的底数4和8转化为底数为2的幂，再利用幂的运算法则对所求式子变形，代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 3．A 【详解】解：. 4．C 【分析】先根据多项式中的两个平方项确定完全平方公式的两个底数，再根据完全平方公式的乘积二倍项确定k的值，需考虑两种情况. 【详解】解：∵ = ∴ ， 化简可得 . 5．A 【分析】本题考查了平移的性质．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 如图，记的交点为，由平移的性质可知，，，根据阴影部分的周长为，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， 由平移的性质可知，，， ∴阴影部分的周长为（）， 故选：A． 6．B 【分析】先求出，再根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可得： ， ∴， ∴． 7．C 【分析】根据平方根的含义先求解，，再分类讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 综上：的值是0或4． 故选C． 【点睛】本题考查的是平方根的含义，求解代数式的值，等式的基本性质的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8．A 【分析】由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 9． 1 【分析】根据零指数幂与负整数指数幂的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何非零数的次幂等于，可得； 根据负整数指数幂的运算法则：，可得． 10．/ 【分析】将原式拆分为，逆用积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解： ． 11． 【分析】逆用同底数幂的乘法法则把化为，再逆用积的乘方运算法则求解． 【详解】解： ． 12． 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 13． 【分析】由旋转的性质可得，，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，最后根据求解即可． 【详解】解：是由绕点逆时针旋转而得，， ，， ， ， 平分， ， ， ． 14． 【分析】本题考查了多项式的乘法与整体代入求值，需正确计算出代数式并整体代入是解决本题的关键． 先使用多项式乘多项式的运算法则计算代数式，再将整体代入即可求解． 【详解】解：∵代数式， 又∵， ∴代入上式有， ∴代数式的值为． 故答案为： ． 15．①②④ 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 16． 【详解】解：． ∴小路的面积为． 17．18 【分析】根据平移的性质得到，再根据梯形面积公式计算得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由平移的性质可知：， ∴， ∴． 18．120 【详解】解：利用等边三角形的对称性作和的垂直平分线，它们的交点为，则点为旋转中心， ∵网格为等边三角形网格， ∴， ∴旋转角为． 故答案为：120． 19．(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 20．； 【详解】解： ， 当时 原式． 21．(1) (2)11 【分析】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值． （1）种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； （2）把a，b的值代入求值即可． 【详解】（1）解：种植青椒区域的面积为 （平方米） 故答案为： （2）解：当，时， ， ∴种植青椒区域的面积为11平方米． 故答案为：11． 22．；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等 【分析】根据同角的补角相等得到，推出，得到，等量代换得到，推出，即可证明． 【详解】证明：（已知），（平角的定义）， ∴（同角的补角相等）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等） 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分别画出点、、向左平移个单位长度的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （2）分别画出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （3）作点关于的对称点，连接交直线于点，根据两点之间线段最短可知，此时的值最小． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别画出点、、向左平移个单位长度的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； （2）解：如下图所示， 分别画出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； （3）解：如下图所示， 作点关于的对称点，连接交直线于点， 则有， ， 此时的值最小． 24．125，过程见解析 【分析】直接利用正方形的特征以及数字之间变化规律沿图形的对角线对折得出结果即可． 【详解】解：如图所示：按正方形对角线对折，重合数字之和均为10， 故所有数字之和为：．    【点睛】此题主要考查了数字型规律，正确利用正方形的特征得出对称性是解题关键． 25．（1）1221,1331,2552；（2）能；理由见详解. 【分析】（1）根据题目条件给出的和谐数的定义，注意数字的大小排列顺序，即可写出四位的和谐数，本题答案不唯一； （2）用十进制将这个和谐数用a和b表示为，可以化简为，结合a,b都是自然数，可以得到能被11整除. 【详解】（1）四位“和谐数”：1221,1331,2552； （2）猜想：任意一个四位“和谐数”都能被11整除. 理由如下： 由题意可得：这个四位“和谐数”可表示为，则： 四位“和谐数”能被11整除， a,b均为任意自然数， 任意四位“和谐数”都可以被11整除. 【点睛】本题考查的是数的整除，结合整除的性质和形式分解是解题的关键. 26．(1) (2)①，；② 【分析】根据折叠的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，得到； ①根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据折叠的性质即可得到结论； ②根据上述过程可得：，求得，得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F， ， ． 四边形是长方形， ， ； （2）解：四边形是长方形， ∴， ， ． 继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H， ， ， ； ②根据上述过程可得：， ， ， ， 解得， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $