精品解析：黑龙江绥棱县克音河乡学校2025-2026学年九年级下学期4月考前预测数学试卷

2026年九年级三模数学试卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零下”记作“”，那么气温“”可表示为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 上升 D. 下降 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵“零下”记作“”， ∴正数表示与零下意义相反的量，可得“”可表示为零上． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的除法，需熟练掌握基本运算法则． 通过直接计算每个选项，利用整式的加法、幂的运算和完全平方公式等初中知识进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，不符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，， ∴ ，与右边相等，正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从左面观察几何体，共有两列，每列小正方体的个数分别是2、1， 则画左视图为 ． 4. 某种绿色植物细胞的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 5. 下列说法正确的是（   ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B. 平分直径的弦会垂直于这条直径 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. A，B两组学生身高的平均数相同，方差分别为 ，则A组学生的身高较整齐 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离定义，垂径定理，平行线判定，方差越小数据越稳定逐项判定即可． 【详解】解：、根据点到直线距离的定义，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本选项符合题意； 、因为平分直径的弦是直径，所以根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可知平分直径的弦不一定垂直于这条直径，故本选项不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项不符合题意； 、因为，所以组学生的身高较整齐，故本选项不符合题意； 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某网约车公司年用万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在年计划用万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化．设年的售价为万元，若满足，则下列说法正确的是（ ） A. 该款新能源汽车年比年涨价，多购入辆汽车 B. 该款新能源汽车年比年涨价，少购入辆汽车 C. 该款新能源汽车年比年降价，多购入辆汽车 D. 该款新能源汽车年比年降价，少购入辆汽车 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是理解方程中各代数式的实际意义． 【详解】解：∵年售价为万元，是年的售价 ∴年售价比年降价． 又∵表示年购置的车辆数，表示年购置的车辆数 由方程变形得： 即年购置的车辆数比年多辆． ∴选项C正确． 故选：C． 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得A、B两点坐标，得到、，根据旋转的性质求得的坐标，即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 将代入得，，将代入得， 则，，即，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴ 9. 如图，点A，B是反比例函数图象上的点，点C，D分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形， x轴， ，则k的值为多少（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴=， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 连接， 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 11. 已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（ ）米． A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及已知条件得到，再根据三角形内角和定理得到，根据余弦和正切的定义求出，然后根据线段的和差求出，再解直角三角形求出，最后求得即可． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：① ② ③若，则 ④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴，函数的性质，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴在原点的右侧， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴对称轴为直线， ∴， 故②正确； ∵抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴对称轴为直线， ∴； ∵， ∴ 故 故③正确； 根据题意，得，， ∴， 根据题意，当时，， 又， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：A． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 13. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 14. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查综合运用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再用完全平方公式对括号内的表达式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为 15. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 16. 如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AE并延长交x轴于H，求AE解析式即可． 【详解】解：∵点与点对应， ∴点B与点F对应，B、F都在x轴上， 连接AE并延长交x轴于H，则点H为位似中心， ∵点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1）， 设AE的解析式为y=kx+b， 把（﹣4，2），（﹣1，1）代入得， ， 解得， AE的解析式为， 当y=0时，x=2， H点坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0） 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、待定系数法求一次函数解析式，掌握位似图形的对应点连线的交点是位似中心是解题的关键． 17. 计算： __________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算正六边形的内角，即可求得和的度数，解直角三角形即可解答． 【详解】解：正六边形， ，， ，， ， 在直角三角形中，． 19. 如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不规则面积的计算，扇形面积的计算，解直角三角形，用扇形的面积减去三角形的面积即可求解，掌握扇形的面积公式和解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 20. 如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 21. 如图，已知正方形，点在内部，且在以为直径的半圆上，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点，使得，连接点与、与．设，当，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，设，，则，作交的延长线于，作交的延长线于，则，证明，，由相似三角形的性质求出，，再表示出面积，结合题意求出或，即可得解． 【详解】解：∵点在内部，且在以为直径的半圆上， ∴， ∵，， ∴设，，则， ∵四边形为正方形， ∴，， 作交的延长线于，作交的延长线于，则， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 整理可得：， ∴或， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，过作于点；是的中点，连接，过作于点；是的中点，连接，过作于点；……如此继续下去，分别记四边形、四边形、四边形……四边形的面积为，，，……，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据直角三角形的性质得出，从而得，同理证明，证出，得出，同理，，即可求解． 【详解】解：∵在中，，D是斜边的中点， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ， ∴， ∴． 三、解答题（共54分） 23. 已知，是等腰三角形，，且． （1）试在边上找到两点，使．（用无刻度的直尺与圆规作图，并保留作图痕迹） （2）连接，求三角形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，以点E为圆心，为半径画弧交于点D，点即为所求； （2）根据已知条件，证明为等边三角形，再利用勾股定理求出，则三角形的周长可求． 【小问1详解】 解法一： 如图，点即为所求； 理由：连，由题意，为中位线，， 则可知， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 解法二： 分别作边的垂直平分线，交于点两点，即为所求； 由解法一可知，点E为三等分点，同理，点D为三等分点，故点即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 则，， ∴为等边三角形， 设，则， ∴，即， ∴（负舍），即， ∴三角形的周长为3． 24. 为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： ××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 A：莲蓉月饼 B：五仁月饼 C：豆沙月饼 D：水果月饼 E：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为________，扇形统计图中， ________； （2）请补全条形统计图； （3）甲、乙两位同学都喜欢A，D，E三种月饼，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率 【答案】（1）120；30 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数除以所占百分比先求出样本容量，再求解即可； （2）先确定C的人数，再完善统计图即可； （3）画树状图，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得（人）， ， 故． 【小问2详解】 解：喜欢豆沙月饼的人数为：（人）， 补图如下： 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果， ． 25. 今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． （1）A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； （2）若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． （3）为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【答案】（1）A材料每千克5元，B材料每千克6元 （2）购进A材料2400千克，最少资金为13800元 （3）20；2或38 【解析】 【分析】(1) 根据两种购买方案的总价列二元一次方程组，求解A、B两种原材料的单价． (2) 根据题意列一元一次不等式组确定自变量的取值范围，建立所需资金关于购进A材料重量的一次函数关系式，根据一次函数的增减性求最值． (3) 根据函数图象上的点的坐标求出甲、乙两车的速度，利用追及问题公式求追及时间；分乙车追上甲车之前和之后两种情况列一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：设A材料每千克元，B材料每千克元， ， 解得， ∴A材料每千克5元，B材料每千克6元； 【小问2详解】 解：设购进A材料千克，则购进B材料千克， 购进A材料的重量不少于B材料重量的倍， ， ， B材料购进不少于300千克， ， ， ， 设所需资金为元， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， ． 【小问3详解】 解：由图象可知，甲车过点和， 甲车速度为千米/分钟， 由图象可知，乙车过点和， 乙车速度为千米/分钟， 乙车出发时，甲车已行驶12分钟， 甲车领先距离为千米， ①乙车追上甲车所需时间为分钟， ②设乙车出发后分钟，甲乙两车相距1.62千米， 当乙车追上甲车前，甲车在乙车前， ， ， ， 解得， 当乙车追上甲车后，乙车在甲车前， ， ， ， 解得． 故乙车出发2或38分钟，甲乙两车相距1.62千米． 26. 如图，是圆的直径，，点是弧的中点，点在圆上，连接交于点，延长至点，连接，，且． （1）求证： （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可证、，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）过点作，垂足为，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据点为的中点，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出，设，则，根据勾股定理可得方程，解方程求出的值，即可得到、的长度，根据即可得到，即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 是直径， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 可得：， 即， 解得，， ， ， ， ， 即， ． 27. 已知，在中，，，．为边上的一动点，且是等边三角形． （1）如图一，若时，求的度数． （2）如图二，若点是中点时，连接，求的长度． （3）如图三，当时，求AD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，根据题意，作出辅助线，构造出全等三角形． （1）根据线段的关系求得，从而得到是等边三角形，即可求解； （2）过点作垂足为，过点作垂足为，通过得到，再利用勾股定理求解即可； （3）在上截取，连接，连接交于点，得到为等边三角形，从而得到，得到，，过作，垂足为，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作垂足为，过点作垂足为， ∵，， ∴且为中点， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在上截取，连接，连接交于点， ∵ ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过作，垂足为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求面积的最大值； （3）当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，面积有最大值，为 （3）、或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案； （3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由得：， 设直线：，将，代入得，解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示： ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示： ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； 【小问3详解】 解：由（1）知，当时，，解得或， ， 当在上方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或（舍去）； 当在下方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级三模数学试卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零下”记作“”，那么气温“”可表示为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 上升 D. 下降 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 某种绿色植物细胞的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（   ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B. 平分直径的弦会垂直于这条直径 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. A，B两组学生身高的平均数相同，方差分别为 ，则A组学生的身高较整齐 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 某网约车公司年用万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在年计划用万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化．设年的售价为万元，若满足，则下列说法正确的是（ ） A. 该款新能源汽车年比年涨价，多购入辆汽车 B. 该款新能源汽车年比年涨价，少购入辆汽车 C. 该款新能源汽车年比年降价，多购入辆汽车 D. 该款新能源汽车年比年降价，少购入辆汽车 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B是反比例函数图象上的点，点C，D分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形， x轴， ，则k的值为多少（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（ ）米． A. 6 B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：① ② ③若，则 ④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 13. 函数中，自变量x的取值范围是____． 14. 分解因式：________． 15. 若，是方程的两个根，则________． 16. 如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为______． 17. 计算： __________． 18. 苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________． 19. 如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____． 20. 如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 21. 如图，已知正方形，点在内部，且在以为直径的半圆上，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点，使得，连接点与、与．设，当，则___________． 22. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，过作于点；是的中点，连接，过作于点；是的中点，连接，过作于点；……如此继续下去，分别记四边形、四边形、四边形……四边形的面积为，，，……，，若，则_______． 三、解答题（共54分） 23. 已知，是等腰三角形，，且． （1）试在边上找到两点，使．（用无刻度的直尺与圆规作图，并保留作图痕迹） （2）连接，求三角形的周长． 24. 为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： ××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 A：莲蓉月饼 B：五仁月饼 C：豆沙月饼 D：水果月饼 E：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为________，扇形统计图中， ________； （2）请补全条形统计图； （3）甲、乙两位同学都喜欢A，D，E三种月饼，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率 25. 今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． （1）A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； （2）若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． （3）为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 26. 如图，是圆的直径，，点是弧的中点，点在圆上，连接交于点，延长至点，连接，，且． （1）求证： （2）求的长． 27. 已知，在中，，，．为边上的一动点，且是等边三角形． （1）如图一，若时，求的度数． （2）如图二，若点是中点时，连接，求的长度． （3）如图三，当时，求AD的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求面积的最大值； （3）当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $