精品解析：2026年黑龙江绥化市望奎县第六中学等校九年级考前学情自测数学试题

初四三模数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．本试题共三道大题．28个小题，总分120分． 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（    ） A. B. 2024 C. D. 2. 在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 5，4 B. 6，5 C. 6，7 D. 7，7 6. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 确定性事件发生的概率为1 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 正多边形都是轴对称图形 D. 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 7. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，则点P在上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 某工厂新引进一批电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设甲工人每小时搬运件电子产品，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 11. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，分别交于点P、Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论： ①；②；③；④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36． 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 年月日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”近期发现了个距离地球约亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．数据亿光年用科学记数法表示为________． 14. 要使有意义，则的取值范围是______． 15. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 16. 一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________． 17. 如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则___________． 18. 化简：________． 19. 用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 _____． 20. 如图，在中，，，交于点D，P为线段上的动点，则的最小值为___________． 21. 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，则线段的长为______． 22. 矩形的对角线相交于点O，过点O作交直线AB于点E，若，的面积为5，则的长为_______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． （1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 24. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 ； （2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ （3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 25. 为了进一步落实“双减”政策，丰富多彩的课外活动，如篮球、足球、徒步行等运动形式，实验学校九年级（1）班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案； （3）实验学校组织了一次远足活动，由九年级（1）班男生拿着校旗打头阵，一名教师负责摄影，学生们匀速步行从学校出发，教师等学生们都出发后，骑车匀速出发，追上拿着校旗的同学后为学生们拍照，后继续按原骑车速度追赶学生，与学生一起到达人工湖休息．如图是教师和学生间的距离y（单位：）与学生出发时间单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： ①图中a的值是 ； ②请直接写出教师出发多长时间，教师与拿着校旗的学生相距． 26. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，．求的值． 27. （1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 28. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； （3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点． ①若点F与点C重合，，且，求证：D，E，F三点共线； ②若直线，交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四三模数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．本试题共三道大题．28个小题，总分120分． 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（    ） A. B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是指与之相乘等于1的数． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2. 在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体． 【详解】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意； C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意； D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：AB、和不是同类项，不能合并，故AB错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 故选：D． 5. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 5，4 B. 6，5 C. 6，7 D. 7，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】中位数：， 众数：7 故选：C． 6. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 确定性事件发生的概率为1 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 正多边形都是轴对称图形 D. 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、确定性事件包括必然事件和不可能事件，必然事件的概率为1，不可能事件的概率是0，故是假命题； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这里要强调弦不是直径，故是假命题； C、真命题； D、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是不一定全等的，故是假命题； 故选C. 7. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 8. 如图，点在的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，则点P在上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案． 【详解】解：∵点在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′， ∴点P在A′C′上的对应点P′的坐标为：（3，2）． 故答案选C 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 9. 某工厂新引进一批电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设甲工人每小时搬运件电子产品，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设甲工人每小时搬运件电子产品，由题意可得乙工人每小时搬运件电子产品，再根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：∵设甲工人每小时搬运件电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件， ∴乙工人每小时搬运件电子产品， ∵甲工人搬运件所用时间与乙工人搬运件所用时间相同， ∴可列方程为． 10. 一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作，垂足为点D，先求出的长度，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：过点C作，垂足为点D， ∵，海里， ∴海里， ∵， ∴， 根据勾股定理得：海里， ∴救援艇到达处所用的时间为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、含有角的直角三角形，以及等腰直角三角形，解题的关键是熟练掌握含有角的直角三角形，所对的边等于斜边的一半． 11. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，再根据的面积为6得，由此即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：设与轴交于点，如下图所示： 轴于点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 的面积为6， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：D． 12. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，分别交于点P、Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论： ①；②；③；④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36． 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】观察所在的三角形，连续两次利用三角形外角的性质即可判断结论①；结合已知条件，连接，可以发现，，，四点在以为直径的圆上，进而可以判断结论②；设，然后结合已知条件，用含a的代数表示出、即可判断结论③；首先把四边形分成两个全等的三角形，然后利用相似的性质、三角形面积公式求出的面积，进而可以判断结论④． 【详解】结论①，∵四边形是正方形， ， ， 在中，根据外角的性质得． 在中，根据外角的性质得． ．故结论①符合题意； 结论②，如图1，连接， 由四边形是正方形易知，． ， ， ，，，四点在以为直径的圆上， ， ， ．故结论②符合题意； 结论③，设，则，， ，即．故结论③符合题意； 结论④，如图2，连接， 根据对称性可知． ， ，， ，， ，， ， ， ，故结论④不符合题意； 综上所述，符合题意的结论有①②③． 【点睛】本题以正方形为载体，综合考查了正方形的性质，三角形外角、相似三角形、圆等知识．能够结合具体的问题灵活地选择相关知识和方法，快速找到问题的切入点是解题的关键． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 年月日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”近期发现了个距离地球约亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．数据亿光年用科学记数法表示为________． 【答案】光年 【解析】 【分析】先将亿转换为整数形式，再根据科学记数法的定义确定和的值，即可得到结果． 【详解】解：亿， 根据科学记数法的定义，将其表示为（，为整数）的形式，可得， ， ∴亿光年用科学记数法表示为光年． 14. 要使有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，依据二次根式被开方数大于等于零求解即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：． 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系．直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ，， ． 故答案为：2． 16. 一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式即可求解． 【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为， ， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则___________． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 18. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，分式的化简，将括号内的算式通分，运用平方差公式进行因式分解，约分后得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 19. 用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 _____． 【答案】3cm 【解析】 【分析】先根据扇形的面积公式：S•l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径． 【详解】解：∵S•l•R， ∴•l•4＝12π，解得l＝6π， 设圆锥的底面半径为r， ∴2π•r＝6π， ∴r＝3（cm）． 故答案为：3cm． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的周长公式，熟练掌握公式是解题的关键． 20. 如图，在中，，，交于点D，P为线段上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点H，由题意易得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可． 21. 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握一次函数的图象与性质及三角函数是解题的关键；根据题意可分别写出线段，，的长度，继而发现规律得到的长度，令，即可求出线段的长． 【详解】解：由题可知，直线与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， 当时，． 故答案为：． 22. 矩形的对角线相交于点O，过点O作交直线AB于点E，若，的面积为5，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，为对角线的垂直平分线，得到，得到，通过勾股定理算出，最终得出结果，注意需要分两种情况讨论． 【详解】解：第一种情况： 如下图， 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ， ， 又， ， ． 中，由勾股定理得： ， 中，由勾股定理得： ， ， 中，由勾股定理得： ． 第二种情况： 如下图， 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ， ， 又， ， ． 中，由勾股定理得： ， 中，由勾股定理得： ， ， 中，由勾股定理得： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是能找出具体的准确的图像． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． （1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接OA，过点A作AD⊥AO即可； （2）连接OB，OC．过点O作于点H，先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论． 【小问1详解】 解：如图，切线AD即为所求； 【小问2详解】 如图：连接OB，OC．过点O作于点H， ∵AD是切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵∠DAB＝75°， ∴∠OAB＝15°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝15°， ∴∠BOA＝150°， ∴∠BCA＝∠AOB＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OB＝OC＝2， ∴∠BCO＝∠CBO＝30°， ∵OH⊥BC， ∴CH＝BH＝OC•cos30°＝， ∴BC＝2． 【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 ； （2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ （3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）100，25 （2）150 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是： （1）用“体育类”人数除以所占百分比求出被调查人数，用总人数乘以“艺术类”所占百分比即可； （2）用1000乘以“阅读类”所占百分比即可； （3）画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次共调查学生人数为， 喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是， 故答案为：100，25； 【小问2详解】 解：， 答：大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动； 【小问3详解】 解：画树状图，如下 共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4， ∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为． 25. 为了进一步落实“双减”政策，丰富多彩的课外活动，如篮球、足球、徒步行等运动形式，实验学校九年级（1）班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案； （3）实验学校组织了一次远足活动，由九年级（1）班男生拿着校旗打头阵，一名教师负责摄影，学生们匀速步行从学校出发，教师等学生们都出发后，骑车匀速出发，追上拿着校旗的同学后为学生们拍照，后继续按原骑车速度追赶学生，与学生一起到达人工湖休息．如图是教师和学生间的距离y（单位：）与学生出发时间单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： ①图中a的值是 ； ②请直接写出教师出发多长时间，教师与拿着校旗的学生相距． 【答案】（1）篮球的单价为元，足球的单价为元 （2）共有3种采购方案 （3）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、从函数图象提取信息，读懂题意，能正确识图，根据题意，正确的列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可； （2）设购买篮球个，足球个，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得解； （3）①根据图象求得学生步行的速度为，教师的骑车时间为，教师的骑车速度为：，再根据学生出发，教师追上学生列方程求解即可； ②设教师出发，分三种情况：当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时，当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时，当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意，得： ，解得：， ∴篮球的单价为元，足球的单价为元； 【小问2详解】 设购买篮球个，足球个， 则：， ∴， ∵，，且，均为正整数， ∴方程的解为：或或， ∴共有3种采购方案： 方案1：采购18个篮球，10个足球； 方案2：采购10个篮球，25个足球； 方案3：采购2个篮球，40个足球． 【小问3详解】 ①由题意可知，学生步行的速度为， 则全程为：， 教师的骑车时间为：学生步行时间减去学生提前出发，再减去教师拍照时间， 则教师的骑车时间为：， ∴教师的骑车速度为：， 由题意可知，学生出发，教师追上学生：， 解得：， 故答案为：； ②设教师出发， 当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时， 则，解得：； 当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时， 即教师追上学生后时，此时； 当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时， 则，解得：； 综上，教师出发或或时，教师与拿着校旗的学生相距． 26. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，．求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. （1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 28. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； （3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点． ①若点F与点C重合，，且，求证：D，E，F三点共线； ②若直线，交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】（1） （2） （3）见解析；②的面积为定值，面积为16 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数的表达式； (2)根据函数表达式求出点的坐标，可知是等腰直角三角形，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，设的坐标是，则点的坐标是，可得方程，解方程求出的值即可得到点的坐标； (3)①利用待定系数法求出直线的解析式，解方程组求出点的坐标，即可知点，，三点共线； ②设点的坐标是，点的坐标是，设直线的解析式是，可得：，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可以求出点到轴的距离是，从而可知②的面积为定值，面积为16. 【小问1详解】 解：将，的坐标代入， 可得：， 解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于，令， 可得：， 解得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ； ， ． 如下图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 设的坐标是，则点的坐标是， ，， ， 解得：（舍去）或， ； 【小问3详解】 ①证明：点与点重合，则点的坐标为， 点为中点，，， 点的坐标是， 设直线的表达式为，代入，， 可得：， 解得：， ， 联立， 解得：或， ， 点在直线上，即，，三点共线； ②解：设点的坐标是，点的坐标是， 点、、三点共线，点的坐标是， 设直线的解析式是， 解方程组：， 整理得：， ，， 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 解方程组， 解得：， 点的坐标是， ，， ，， ， 点在直线上运动， 点到轴的距离为定值， 直线、交于点， ，点、、三点共线， 点到的距离为定值， 的面积为定值， ． 的面积为定值，面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $