25.1一元二次方程的概念（分层作业，10大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 围绕一元二次方程概念，分层覆盖基础认知到综合应用，通过多地区期中/期末真题巩固概念，发展抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|定义判断/一般形式转化/系数识别|选择填空直接考查概念，如苏州期中题判断一元二次方程| |能力提升|参数取值/根的代入计算/代数式整体求值|含参问题培养推理能力，如毕节期末题由定义求参数| |综合应用|实际情境建模/跨知识点辨析|结合矩形面积、销售利润等情境发展模型意识，如温州期中题列降价百分率方程|

25.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程的定义 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二 一元二次方程的一般形式 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 3．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 知识点三 一元二次方程各项及系数的识别 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程中，二次项系数是（   ） A．3 B．4 C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点四 一元二次方程根的判断 1．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 知识点五 根据实际情境列一元二次方程 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 3．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 4．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 知识点一 由一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 2．（25-26九年级上·山西运城·期末）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 知识点二 已知方程的根，代入求字母参数 1．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若是方程的一个根，则的值为______． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则______． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值为______． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 知识点三 已知方程的根，整体代入求代数式的值 1．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是_____． 2．（25-26九年级上·广东清远·期末）已知是方程的一个根，则的值为______． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 4．（25-26九年级上·吉林白山·期末）已知是方程的一个实数根，则的值为________． 知识点四 隐藏二次项系数不为零的参数求值 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 2．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 3．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）已知关于x的一元二次方程有一根为1，则m的值为（   ） A． B．或0 C．0 D．1 知识点五 判断是否是含参一元二次方程的解 1．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东德州·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 5．（25-26九年级上·全国·周测）定义：如果代数式是常数）与是常数）满足，则称代数式与互为“和谐式”．对于上述“和谐式”．下列说法正确的是_____________（填序号）． ①若为常数，关于的方程与的解相同，则； ②若为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程的定义 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程是“只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项A不符合题意； 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义， 选项B符合题意； 中是分式，该方程不是整式方程， 选项C不符合题意； 含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项D不符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， A选项：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B选项：，含有两个未知数和，不符合要求； C选项：，含有两个未知数和，不符合要求； D选项：，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键． 本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、整理原方程，得，满足一元二次方程的所有条件，故此选项符合题意； B、原方程分母含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、原方程未说明，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、原方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐个判断四个方程即可． 【详解】解：①、，是一元二次方程； ②、，当时方程不是一元二次方程； ③、，是一元二次方程； ④、，整理方程得：，不是一元二次方程； 综上所述，一定是关于的一元二次方程的是①③，共2个． 知识点二 一元二次方程的一般形式 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方差公式将等号的左边去括号，再移项、整理即可得到结果． 【详解】， 去括号，得， 移项，得． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 3．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴． 知识点三 一元二次方程各项及系数的识别 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程中，二次项系数是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ，其中 即为二次项系数，整理后即可得到结果 【详解】解：原方程为 移项得 根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 【答案】C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 知识点四 一元二次方程根的判断 1．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 知识点五 根据实际情境列一元二次方程 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 【答案】 【详解】根据题意，原价为118元，降价百分率为x，可得第一次降价后的售价为． 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上下降x，因此第二次降价后的售价为76，所以可列方程为． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 4．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键． 设每件童装降价x元，则每件盈利为元；由于每降价4元多售出8件，故降价元多售出件，总销售件数为件；根据每天盈利元列方程． 【详解】解：设每件童装降价x元，则每件盈利为元； 每降价4元多售出8件，因此降价x元多售出件，总销售件数为件； 根据盈利公式，得方程． 故答案为：． 知识点一 由一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 2．（25-26九年级上·山西运城·期末）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次项系数不能为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程 是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 故答案为． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 知识点二 已知方程的根，代入求字母参数 1．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】把代入原方程得到一个关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则______． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求解的值． 【详解】解：将代入一元二次方程得： 整理得： 解得：． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用方程的根满足方程这一性质，将代入方程即可求解． 【详解】解：关于的方程的一个根是1， 将代入方程，得 解得，， 故答案为：1． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 解得． 知识点三 已知方程的根，整体代入求代数式的值 1．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是_____． 【答案】 7 【分析】根据一元二次方程根的定义得到关于a的等式，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴把代入方程得：， 整理得：， ∴． 2．（25-26九年级上·广东清远·期末）已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 利用方程的根的定义得到含的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，根据方程的根的定义可得： ， 移项得． 将代入，得． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·吉林白山·期末）已知是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2026 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入方程，得， 移项，得， 将代入． 知识点四 隐藏二次项系数不为零的参数求值 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程二次项系数不为0得到a的限制条件，再将根代入方程求出a的可能值，最后筛选出符合条件的结果． 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数满足，即 ∵是原方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 解得或， 结合的限制条件，可得． 2．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 3．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）已知关于x的一元二次方程有一根为1，则m的值为（   ） A． B．或0 C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中，且，解出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为， ∴，且， 解得：， 故选：C． 知识点五 判断是否是含参一元二次方程的解 1．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东德州·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 3．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 5．（25-26九年级上·全国·周测）定义：如果代数式是常数）与是常数）满足，则称代数式与互为“和谐式”．对于上述“和谐式”．下列说法正确的是_____________（填序号）． ①若为常数，关于的方程与的解相同，则； ②若为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1． 【答案】① 【分析】根据方程的解的定义以及新定义得出，即可判断①，根据题意得出即可判断②。 【详解】①∵关于的方程与的解相同，即与0的解相同， ∴，故说法①正确。 ② ∵的最小值为 ∴当时，有最小值，且最小值为1； 当时，有最大值，且最大值为1，故说法②不正确。 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，理解新定义是解题的关键。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $