专题03 期末真题百练通关（75题25大压轴题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 以75道期末真题构建25类压轴题型训练体系，通过"题型归类+方法提炼+逻辑串联"实现代数与几何的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数运算|30题/幂的运算新定义|整体换元法/配方法求最值|从幂的基本性质到乘法公式几何应用，构建"定义-性质-应用-拓展"逻辑链| |几何变换|15题/旋转综合题|折叠对称性质/平移距离计算|以图形变换为主线，形成"平移-轴对称-旋转-折叠"空间观念培养路径| |方程与不等式|30题/含参不等式组|参数分类讨论/实际应用建模|从方程组特殊解法到不等式组整数解，体现代数推理与模型思想融合|

专题03 期末真题百练通关（75题25大压轴题型） 题型1 幂的混合运算 题型14 旋转综合题 题型2 利用幂的运算性质比较大小 题型15 二元一次方程组的特殊解法 题型3 幂的运算新定义问题 题型16 二元一次方程组的含参问题 题型4 幂的有规律计算问题 题型17 二元一次方程组的新定义问题 题型5 整式乘法的无关型问题（几何） 题型18 二元一次方程组的实际应用综合 题型6 多项式乘法的规律性问题 题型19 方程与不等式结合问题 题型7 运用乘法公式进行运算综合 题型20 不等式组的整数解问题综合 题型8 乘法公式与几何图形综合 题型21 不等式组的解集情况求参数综合 题型9 乘法公式中的配方法求最值 题型22 方程组与不等式组结合的问题 题型10 乘法公式的新定义问题 题型23 不等式组的实际应用综合 题型11 平移综合题 题型24 不等式组的新定义问题 题型12 轴对称综合题 题型25 定义、命题、证明大题综合 题型13 折叠问题 题型一 幂的混合运算（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： 【答案】4 【分析】分别计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂和立方运算，再按照运算顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． (1)类型一：简便计算 ； (2)类型二：代数式求值 若，，则① ；② ． (3)类型三：解方程 解关于x的方程：如果，求x的值． 【答案】(1) (2)17；72 (3) 【分析】（1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）①先根据同底数幂乘法逆运算法则计算，然后求和；②先利用同底数幂乘法逆运算法则转化后代入计算即可； （3）将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ①； ②； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 题型二 利用幂的运算性质比较大小（共3小题） 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏·期末）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 题型三 幂的运算新定义问题（共3小题） 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①： ， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ， ， ． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ， 同理， ． ∴ 结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：B． 8．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝_______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______ 【答案】 / 【分析】（1）根据零指数幂即可求解； （2）设，，根据新定义可得，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴ ∴ ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 【答案】(1)4， (2)①3；② (3)2 【分析】（1）根据有理数的乘方及新定义运算即可求解； （2）①设，，则，，根据新定义运算即可求解； ②根据新定义运算可得，，，再计算得到，据此计算即可得到； （3）先计算，设，，则原式化为；根据新定义运算可得，，进而建立和的关系求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，； （2）解：①由题意设，，则，， 则， ∴，即； ②∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即a，b，c之间的数量关系为； （3）解：， 设，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，∴， ∴，即． 题型四 幂的有规律计算问题（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏南通·期末）观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，若，则______（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先观察等式规律，得出从到的和为，再将原式变形，最后代入即可． 【详解】解：， ． 11．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1）__________． （2）___________． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 12．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 【答案】(1) (2) 该数列中前个数的和是 【分析】（1）根据阅读材料即可解决问题； （2）①观察数列的特征，发现后一个数是前一个数的-9倍，即可解决问题； ②表示出前100个数的和，再依据规律即可解题． 【详解】（1）解：由题知：令 将等式①两边同时乘3，得： 得：， 即 ． （2）解：①观察所给数列的特征可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是.所以第个数是； ②前100个数的和为： 令 两边同时乘以，得 两式相减去，得： ，即， 所以这列数中前个数的和为． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键． 题型五 整式乘法的无关型问题（几何）（共3小题） 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)拼图见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）画一个边长分别为和的长方形，然后根据图形求解即可； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得则可求出，根据S的值与无关得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据图形可知：； （2）解：选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形， 剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：， 由图可得D型卡片是一个边长为的正方形， 由正方形的面积为边长的平方可知：； （3）解：设， 根据题意，得， ， ∴ ， ∵随着的长度变化，S的值始终保持不变 ∴， ∴， ∴当时，随着的长度变化，S的值始终保持不变． 15．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 题型六 多项式乘法的规律性问题（共3小题） 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（     ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题干中提供的规律结合杨辉三角可得①错误；写出展开式各项系数，然后相加即可判断②正确；根据得出除以7余1，即可判断③正确；先求出“杨辉三角” 中第20行第3个数为，再根据“杨辉三角” 中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190，即可得出答案． 【详解】解：①根据规律可得：展开式中含x25的项的系数是26，故①错误； ②展开式各项系数分别为：，6，15，20，15，6，1，因此各项系数之和为： ，故②正确； ③∵ （a，b，…为各项系数）， 能被7整除， ∴除以7余1， ∴今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二，故③正确； ④从第2行起，每一行的第3个数字分别为 第行的第3个数字为， “杨辉三角” 中第20行第3个数为， ∵“杨辉三角” 中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190， ∴展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190，故④正确； 综上，正确的有3个． 17．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2027行第2个数与的积，即， 故结论①错误； 当时，， 故结论②正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2026，因此除以2026，余数为，即2025． 故结论④正确； 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据规律写出第n个等式：______； (2)根据规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式规律直接得到答案； （2）先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律写出第n个等式： （2）解：根据已知等式可得规律：， 设， 变形可得， 根据已知规律使，得：， 整理得， 等式两边同时除以，得：． 题型七 运用乘法公式进行运算综合（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 20．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，再把所求式子变形为，据此可得答案； （2）设，则可得到，利用完全平方公式的变形求出的值即可得到答案； （3）把变形为，进一步变形为，根据（，都是整数）能被6整除，也能被6整除，即可得到能被6整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）解： ， ∵（，都是整数）能被6整除，也能被6整除， ∴能被6整除， ∴能被6整除． 题型八 乘法公式与几何图形综合（共3小题） 22．（25-26七年级下·广东佛山·期末）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设， 则, ∴ 【解决问题】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)如图，正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，求出，利用完全平方公式进行变形求值即可； （2）设，求出，，，利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可得设则，得到根据阴影部分的面积为并利用完全公式进行解答即可． 【详解】（1）解：设， 则，， ∴； （2）设， 则， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则，， ， ， ． 23．（25-26七年级下·江苏·期末）【阅读理解】 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解： ． ． 【尝试探究】 请仿照上例解决下列问题： (1)①若，则___________． ②若，则___________． (2)①若满足，求的值． ②若满足，求的值． 【类比应用】 (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． (4) 【答案】(1)①；② (2)①；② (3) 【分析】（1）①由可得到，再利用完全平方展开运算即可； ②由可得到，再利用完全平方展开运算即可； （2）①令，，得出，再利用完全平方展开运算即可； ②令，，得出，再利用完全平方展开运算即可； （3）利用列式运算即可． 【详解】（1）解：①：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； ②：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：①：令，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； ②：令，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵正方形的边长为， ∴， ∵长方形的面积是10， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴图中阴影部分的面积为44． 24．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读理解： 【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． (1)【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． ①由图（4），你能得到的等量关系式是___________； ②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： （I）已知，，则___________． （II）已知，则___________． (2)【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________． (3)【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________． 【答案】(1)①；②（I）24；（II）3； (2)4； (3) 【分析】（1）①利用两种方法求出阴影部分的面积即可得到等式； ②（I）将变形成，代入进行计算即可； （II）令，求出，，根据即可得到答案； （2）根据阴影部分的面积为，求出即可得到答案； （3）由题意可知：，，根据，，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：①方法一：用大正方形的面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法二：用小正方形的边长列式可得：， ， 故等量关系式是； ②（I），， ， 将，代入，原式； （II）， 令， 故， ， ， ； （2）解：阴影部分的面积和为， ， ， 阴影部分的面积和为； （3）解：由题意可知：，， ，， ， ． 题型九 乘法公式中的配方法求最值（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 【答案】(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2 (2)2 (3)8 【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可； （2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案； （3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下： ， ∴多项式与互为“和常多项式”； （2）解： ， ∵M和N互为“和常多项式”， ∴， ∴； ， ∵， ∴， ∵N的最小值为2， ∴， ∴， ∴， ∴M和N的“和常值”为2； （3）解： ， ， ∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为14，此时的值为2． (2)，理由见解析 (3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为 【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握． 27．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解并填空： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值．若，则这个代数式的值为6；若，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）数学书课本里“我们把多项式及叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题． 例如：，因为是非负数，所以，这个代数式，当x的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程） （3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？ ①； ②； （4）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a，b的值？ （5）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？ 【答案】（1）11，变化；（2）-1，2；（3）①有最小值-6，x=2；②有最大值59，x=7；（4）有最小值5，a=2，b=-3；（5）有最小值-17，x=3 【分析】（1）把x的值代入计算即可． （2）根据非负数的性质即可得出答案； （3）①②先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （4）利用完全平方公式变形，根据非负数的性质即可得出答案； （5）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】解：（1）当x=1时，x2+2x+3=1+2+3=6． 当x=2时，x2+2x+3=4+4+3=11， 这个代数式的值因x的取值不同而变化； 故答案为：11；变化； （2）∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2， ∴当x=-1时，这个代数式的值的最小值为2； （3）①， ∴的最小值是-6，相应的x的值是2； ②， ∴-x2+14x+10的最大值是59，相应的x的值是7； （4） = = ∴代数式有最小值5，此时a=2，b=-3； （5）根据题意得： ∴2x2-12x+1=2（x-3）2-17， ∴代数式2x2-12x+1的最小值是-17，相应的x的值是3． 【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答． 题型十 乘法公式的新定义问题（共3小题） 28．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 【答案】3200 【分析】本题考查平方差公式与新定义运算，设两个连续正奇数为和，其中为正整数，根据“差方数”的定义推导得到“差方数”的一般表达式，再代入对应参数计算第20个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续正奇数为 和 ，其中 为正整数． 由平方差公式可得： ． 两个连续正奇数的和为 ． 根据“差方数”的定义， 为某个正整数的平方． 设 ，则 ． 为正整数， 必为偶数． 令 ，其中为正整数，可得 ． 将 代入 ，得 ． 即从小到大排列后，第个“差方数”为． 当求第个“差方数”时，， 则 ． 30．（25-26七年级下·江苏·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键； （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中所求代数式计算即可； （3）根据题意，可知，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即：，， ∴； （3）解：∵， 又，， ∴． 题型十一 平移综合题（共3小题） 31．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，将沿方向平移至的位置，，点E在边上，交于点H，已知，图中阴影部分的面积为54，，则平移距离为______． 【答案】 6 【分析】根据平移的性质可得 ，从而得出阴影部分的面积等于梯形 的面积，利用梯形面积公式即可求解． 【详解】 解：由平移知， ，，， ． ，， ． ， ． ，， 四边形 为直角梯形， ． 阴影部分的面积为 ， ． 解得 ． 平移距离为6 ． 32．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用平移后对应线段平行且相等、对应角相等，结合线段长度、周长与面积公式逐一判断结论． 【详解】解：由平移可知，在上，因此，①正确； 平移距离相等，即，②正确； 平移后对应角相等，故，③正确； 四边形的周长， 周长为12，， 周长，④正确； ， ， 阴影面积 梯形的面积 ⑤错误， 综上，正确的个数为4． 33．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ∴， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 题型十二 轴对称综合题（共3小题） 34．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度的最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度的最小， 当时，， ∴，解得：， ∴，即线段长度的最小值是． 35．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 36．（25-26七年级下·江苏南京·期中）【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（）利用轴对称性质，证得的两边相等且夹角为，判定其为等腰直角三角形； （）结合等腰直角三角形面积公式与垂线段最短，通过的面积求出到的距离，进而算出的最小面积； （）通过作点关于、的对称点、，利用轴对称性质将转化为(两点之间线段最短)，结合推出；再求出在上运动时OP的最值(最小值为斜边上的高，最大值为)，从而得到的范围为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 由轴对称的性质得：，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：由（）知，是等腰直角三角形， ∴面积， 根据垂线段最短，的最小值是点到直线的距离， ∵，，， ∴，即， ∴面积最小值为； （3）解：作点关于、的对称点、，则，， ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 题型十三 折叠问题（共3小题） 37．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】由折叠可得，，，由，得，则，当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小，根据的面积为，，求出，即可求解． 【详解】解：、分别沿、向外翻折，得到，， ，，， ， ， ， 当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小， 的面积为，， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 38．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 (3)①或；② 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义，建立方程求解即可； （2）根据角的和差关系以及新定义进行判断即可； （3）①按照“伙伴角”的定义可得或，再建立方程解答即可；②按照“伙伴角”的定义可得，再结合折叠的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）解：如图， 两个角差的绝对值为， 则此两个角互为“伙伴角”， 而， 设其伙伴角为， ， 则或， 由图知，， 的伙伴角是或或． （3）①∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或； ②由对折可得：，， ∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 39．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 题型十四 旋转综合题（共3小题） 40．（25-26七年级下·广西南宁·期中）小宁同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供“一块含角的直角三角板，两条平行线”． 【动手实践】将三角板绕着某点旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 【问题解决】点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的直角三角板按图1放置，使点F，E分别在直线，上，且点E在点P的右侧，，，设． (1)填空：当时，则________； (2)如图2，若的平分线交直线于点H． ①当于点时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，求出此时t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）当时，，再根据平行的性质得到，再由求出答案即可； （2）①根据题意得到，证明，再根据角平分线的定义得到，得到，再根据平行的性质得到，即可得到答案； ②当射线旋转到时，旋转至，延长至点，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； ②旋转时间， ， 如图，当射线旋转到时，旋转至，延长至点， ， ， ， ， 由题意可得，， 未旋转前，， ， ， 解得； 当与在直线同侧且平行时， 由， 解得，此时两直线重合，不符合题意舍去， 综上所述，． 41．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 (3)或； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，， 进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形，然后根据旋转的性质以及平行线的判定定理即可得证； （3）分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形，然后根据角的数量关系列方程求解即可；由旋转的性质得， 根据角的和差关系依次表示出， ， ，根据为定值可令含未知数的系数为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为， ，， ， ， ； （2）解：如图，即为所求； ，理由如下： 由旋转的性质可得，， ， ； （3）解：如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； 由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ，解得， 常数的值为． 42．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①或；② 【分析】（1）根据旋转的性质可得，结合旋转角度可求解． （2）根据逆时针旋转得到作图即可． （3）①分类讨论旋转方向为逆时针与顺时针两种，结合已知条件列式求解即可． ②根据旋转的角度先求解，再由角的关系求解与的度数，由定值列式求解m的值． 【详解】（1）解：∵三角板绕着点A逆时针旋转得到， ∴， 又∵，． ∴，． ∴， ． （2）解：当时，则， ∴三角板绕着点A逆时针旋转得到，如图： （3）解：①当旋转方向为逆时针时，如图： 则有，， ∵，即， 解得； 当旋转方向为顺时针时，如图： 则有，， ∵，即， 解得； 综上，的度数为或． ②当旋转方向为逆时针方向时，， ∴． ∴， ， 则， ∵与始终满足为定值， ∴，解得． 故常数m的值为． 题型十五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元思想，将和看作整体，先找出两个原二元一次方程的公共解，得到关于的新方程组，再用消元法求解． 【详解】解：可化为， 由表格可知，，同时满足两个原方程， 因此可得，整理得 得：，解得， 将代入得 ，解得， 因此方程组的解为． 44．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，进一步可得结论； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可. 【详解】（1）解：∵关于m，n的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解满足， 解得：. （2）解：设，， ∴原方程组可化为，解得：， ∴，解得：； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ∴，解得：． 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 【答案】 【分析】模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理可得原方程组的解为． 【详解】解：设， 则原方程组可化为关于的方程组 由①＋②×2得，解得， 把代入②，得， ，整理得， 两式子相加得，， 把代入，解得， 原方程组的解为 题型十六 二元一次方程组的含参问题（共3小题） 46．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 47．（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）求正整数解时，将方程变形为，再根据x，y为正整数的条件，确定y的取值； （2）先联立与求出x，y的值，再代入含m的方程求m． 【详解】（1）解：由得， ∵x，y为正整数， ∴， ∴， ∴y可取1，2，3： 时，， 时，， 时，， ∴方程的正整数解为：，，； （2）解：联立方程组， 解得：， 把代入，得， 解得：． 48．（25-26七年级下·四川德阳·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】 (3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． 【答案】(1)③ (2) (3)m的值为19或 【分析】（1）将或或分别代入中求解，即可判断； （2）结合解与a的取值无关，可得，求出，，最后代入中，即可求解； （3）将方程组化简后两式相加可得，由得：，将代入得：，根据方程组有解，可得，即，，结合、、均为正整数，可求出、的值，最后代入化简后的方程组中的任意一个式子即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ①不是方程的解； 当时，， 解得：， ②不是方程的解； 当时，， 解得：， ③是方程的解； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程与a的取值无关， ∴， ∴，， 将，代入得： ， 解得：； （3）解：将方程组化简得：， ①+②得：， 由得：， 将代入得：， 整理得：， ∵方程组有解， ∴，即， ∴， ∵k、x、y均为正整数， ∴可取1，2，5，10，即k可取3，4，7，12， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，m的值为19或． 题型十七 二元一次方程组的新定义问题（共3小题） 49．（25-26七年级下·浙江台州·期中）现定义一种新运算：，．若，，则． （1）若，则________； （2）若，，则用含，的代数式表示有________种表示方法． 【答案】 27 135 【分析】按照给定运算规则拆分计算，第二问转化为求满足条件的非负整数解的个数即可. 【详解】解：（1）根据新运算规则，得， 又，代入得 ； （2）由（1）可知：， 同理可得，， ∴，其中为非负整数， 故求的表示方法种数，等价于求满足的非负整数解的个数， 方程变形得， ∴要求为非负的3的倍数， ∵，，所以是3的倍数，整理得除以3余2，即，其中为非负整数， 由得，代入得，解得， 因此的取值为，共个不同的解，即有种表示方法. 50．（25-26七年级下·北京·期中）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【答案】或 【分析】先根据新定义求出的值，再把的值代入中，根据对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，求出的值，即可． 【详解】解：由题意， 解得或， 把代入，得， 整理，得， ∵对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组， ∴，解得， ∴； 把代入，得， 整理，得， ∴，解得， ∴； 综上：或． 51．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 题型十八 二元一次方程组的实际应用综合（共3小题） 52．（25-26七年级下·江苏南通·期中）苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 53．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 54．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻泡件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2025年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 元 元 元 元 德邦 元 元 元 元 轻泡件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻泡件实际重，体积为，其体积重，由于，则按收费，共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/ 体积/ 重量/ 体积 乒乓球 乒乓球拍 / (1)若该商家月与顺丰合作，请计算月的快递费用共需多少钱？ (2)若商家打算月的省外快递选一个公司合作，请判断选顺丰还是德邦更加优惠？并说明理由． (3)因乒乓球热销，该商家计划于月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少？ 【答案】(1)月的快递费用共需元 (2)选德邦更加优惠，理由见解析 (3)该商家省内体积重是，省外的体积重是 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、二元一次方程组的应用． （1）分别计算出乒乓球和球拍所需费用，即可得出月的快递费用； （2）分别计算出顺丰和德邦的费用，通过比较选择省钱的快递公司； （3）设省内体积重为，省外体积重为，根据全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜元，列方程组求解． 【详解】（1）解：计算乒乓球省内费用： 体积重，费用元； 计算乒乓球省外费用： 体积重，费用元； 计算乒乓球拍省内费用：费用元， 计算乒乓球拍省外费用：费用元； 总费用元， 答：月的快递费用共需元； （2）解：计算顺丰省外总费用： 乒乓球费用元，球拍费用元，合计元； 计算德邦省外总费用： 乒乓球费用 元，球拍费用 元，合计元， ， 选德邦更加优惠； （3）解：设省内体积重为，省外体积重为， 顺丰总费用， 德邦总费用， 根据题意得：， 解得：， 该商家省内体积重是，省外的体积重是． 题型十九 方程与不等式结合问题（共3小题） 55．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 56．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 57．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)是“无缘组合”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 题型二十 不等式组的整数解问题综合（共3小题） 58．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 59．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值． 【详解】解：由不等式，解得， 由不等式，解得， 不等式组有且只有4个整数解， ， 解得：； 所以满足条件的整数的值有、、共3个， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键． 60．（25-26七年级下·江苏·期末）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为_______． 【答案】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值． 【详解】解：，解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴ ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得：， 又∵，且其结果不含二次项， ∴的系数为零 ∴ ∴ 解得：或 又∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二十一 不等式组的解集情况求参数综合（共3小题） 61．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 62．（25-26七年级下·江苏南京·期末）不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案． 【详解】解：不等式组的解集是， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集是， 不等式，①解集是不等式组的解集， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组中的两个不等式的解集都是大于，不等式组的解集大于大的，不等式②的解集是不等式组的解集． 63．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 题型二十二 方程组与不等式组结合的问题（共3小题） 64．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 65．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 66．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【详解】（1）解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； （2）∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组． 题型二十三 不等式组的实际应用综合（共3小题） 67．（2026·广西南宁·一模）学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： (1)根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； (2)由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 【答案】(1)排球的单价为元，跳绳的单价为20元 (2)该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意可以得到，结合的取值范围和、为正整数的条件，求出和的值，从而得到购进方案． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得： ， 解得， 答：排球的单价为元，跳绳的单价为元； （2）解：根据题意得：， 即， 由于、为正整数， 则， 解得， 由于，且是3的倍数， 则的值可以为39、42， 当时，， 当时，， 答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根． 68．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】(1)设备处理能力为一天吨，设备一天吨； (2)一共有2种方案，方案：买设备台，设备台；方案②：买设备台，设备台； (3)采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及费用最值问题，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式，准确计算各方案费用并比较． （1）设未知数，根据两种设备组合的日处理能力列出方程组，求解得出两种设备的日处理能力； （2）设购买A设备台数，结合总台数和日处理能力要求列不等式，根据“A、B均购买”确定正整数解，得出购买方案； （3）分别计算各有效方案的货款，判断是否符合优惠条件，计算实际费用后比较大小． 【详解】（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 69．（25-26七年级上·江苏南京·期中）为探究使用天然气和电的耗能和花费问题，小明进行了烧水实验，将一定量的水烧开，相关数据如下表： 能源 烧水所需理论热量 单位能源使用量所产生的热量 烧水所需理论使用量 能源单价 费用 天然气 378千焦 37800千焦/米 米3 3.03元/米 元 电 378千焦 c千焦/度 0.105度 0.56元/度 0.0588元 (1)___________，___________，___________； (2)在使用的灶具与电器的过程中，热量会有一定损失，因此使用天然气或电都存在能源的利用率问题．设使用天然气、电的能源利用率分别为（能源利用率=） ①下表是小明家某天家庭聚餐的菜单与烹饪所需的热量： 菜品 烹饪所用能源 烹饪所需的理论热量 红烧肉 天然气 3400千焦 炒虾仁 天然气 1100千焦 宫保鸡丁 天然气 1515千焦 清炒茼蒿 天然气 600千焦 玉米排骨汤 电 4600千焦 清蒸白鱼 电 850千焦 蒸南瓜 电 700千焦 米饭 电 1850千焦 当，时，计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用（保留1位小数）． ②当满足什么关系时，使用电更省钱（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】(1)；；3600； (2)①2.6元 ② 【分析】本题考查了能源利用率，费用的计算，以及不等式的综合应用，解决本题的关键是读懂题意并能根据题目提供的公式计算数值，并由关系建立不等式． （1）根据“烧水所需理论热量单位能源使用量所产生的热量烧水所需理论使用量”以及“费用能源单价烧水所需理论使用量”这两个关系来计算即可； （2）①先根据能源利用率求出天然气和电的实际使用量，再结合单价计算费用即可． ②先分别求解使用天然气和电费的表示式，再根据“使用电更省钱”建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据表格以及关系式可知， ，即， ， ，即； 故答案为：；；3600； （2）解：①根据表格可知，烹饪用天然气的菜品， 即红烧肉，炒虾仁，宫保鸡丁，清炒茼蒿的理论总热量为千焦， ∵天然气的能源利用率为，单位天然气使用量所产生的热量37800千焦/米， ∴天然气的理论使用量米， ∴天然气的实际使用量米， ∵天然气的单价为3.03元/米， ∴天然气的费用为元； 根据表格可知，烹饪用电的菜品， 即玉米排骨汤，清蒸白鱼，蒸南瓜，米饭的理论总热量为千焦， ∵电的能源利用率为，单位电使用量所产生的热量3600千焦/度， ∴电的理论使用量度， ∴电的实际使用量度， ∵电的单价为0.56元/度， ∴电的费用为元； ∵元， ∴计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用为2.6元． ②设用电千焦能量， 天然气费用为，用电费用为， ∵要使用电的费用用天然气费用， ∴， ∴， 即， 答：当时，用电更省钱． 题型二十四 不等式组的新定义问题（共3小题） 70．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程． 根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出的范围，并注意二元一次方程的系数不为0，即可求解． 【详解】解：根据“移变方程”的定义，知的移变方程为： ， 又也是的移变方程， ∴， 由②得，， 代入①，得， ∵， ∴， 解得， 又是二元一次方程，则： 且， ∴ 解得且， 又， ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 71．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 【答案】或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴ 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为最大整数， ∴或； 故答案为：或 72．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过比较和2的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，解得， ∴的取值范围为； （3）解：①当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组无解； ②当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组的解集为， 综上可知，的取值范围为 【点睛】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式是解题的关键． 题型二十五 定义、命题、证明大题综合（共3小题） 73．（25-26七年级下·江苏·期末）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 74．（25-26七年级下·江苏南京·期末）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算： （1）根据定义进行判断即可； （2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证． 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的， ∴假设不成立， ∴原结论正确． 75．（25-26七年级下·江苏·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点， ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）解：平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， ， 此时， 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 1．若，则___________ ． 【答案】6或4或 【分析】需要分三种情况讨论：底数为时，底数为且指数为偶数时，底数不为且指数为时． 【详解】解：分三种情况讨论： 当时，， 此时， 当且为偶数时，， 此时，为偶数， 当且时，， 此时， 综上，的值是或或． 2．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 4．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1) (2)①62；②5 (3)16 (4)40 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为， 则阴影部分的面积为：； （2）解：①； ②； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； （4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 5．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 【答案】(1)或 (2)或；或或 【分析】（1）根据定义得出，从而求得结果； （2）①设，则，根据定义得出，进而求得结果； ②设，当在或内时，，进一步得出结果； 当在外部时，可得出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：和互为“美妙角”， ， ， ， 或； （2）解：①设，则， 与互为“美妙角”， ， 或； ②设， 如图1﹣1和图1﹣2 当在或内时， ， ， 与互为“美妙角”， ， 或， 如图2， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或． 6．综合探究： 【问题感知】 (1)如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 (2)如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 (3)如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，根据平行线的性质得，然后由可得答案； （2）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，进而得，然后在三角形中求出，最后结合邻补角的定义可得答案； （3）先求出，分四种情况讨论如下： ①当时，且点在左侧时，则，由折叠性质得，再根据得，在三角形中，由即可； ②当时，设的延长线交于点，则，由折叠性质得，，在三角形中求出，据此可得的度数； ③当时，设与相交于点，则，在三角形中可求出，则，再由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数； ④当，且点在右侧时，则，由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， 在三角形中，， ∴； （3）解：∵在三角形中，，， ∴， 当所在直线与三角形的一边所在直线垂直时，有以下四种情况： ①当时，如图3①所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在三角形中，； ②当时，设的延长线交于点，如图3②所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴，， 在三角形中，， ∴； ③当时，设与相交于点，如图3③所示： ∴， 在三角形中，， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，； ④当，且点在右侧时，如图3④所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，， 综上所述，的度数为或或或． 7．在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺（分别含、、和、、的角）按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，如图2，，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上．现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，将绕点以每秒的速度逆时针旋转．两个三角尺同时旋转，当第一次与重合时，两三角尺同时停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为秒或秒 【分析】（1）根据列式求解即可； （2）由旋转性质可得，，根据角的和差关系表示出，，然后根据列方程求解即可； （3）根据题意可得，然后分两种情况讨论：当与重合前，当与重合后，根据角的和差关系表示出，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，当以为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角尺性质可知，，， ， 至少旋转，才能使落在上； （2）解：由旋转性质可得，， 设， ，， ， ，解得， 即； （3）解：设的平分线为，的平分线为， ， ，， 根据题意得，， 当与重合前，， 与两角平分线的夹角为，即， ，解得； 当与重合后，， 与两角平分线的夹角为，即， ，解得． 综上，的值为秒或秒． 8．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 【答案】（1）（2）（3）15 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （2）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形化简，再利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 则原方程组的解为； 故答案为：； （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得，解得， 则原方程组的解为； （3） 由①，得， 化简，得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以． 9．某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 10．已知实数满足． (1)用含有的代数式表示； (2)若实数满足，求的取值范围； (3)若实数满足，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了列代数式和不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）通过等式变形用含有x的代数式表示出y； （2）运用不等式的性质进行变形、求解； （3）运用等式的性质和不等式的性质进行变形、求解． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 解得； （3）解：， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 即k的取值范围是． 11．定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值、解一元一次不等式等知识，正确理解交换系数方程的定义是解题关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）根据交换系数方程的定义建立方程组，解方程组求出，的值，再代入方程可得，，据此计算即可得； （3）根据交换系数方程的定义求出方程的交换系数方程，再分两种情况讨论，对比方程的各系数，解方程组求出，，然后根据，为整数求解即可得． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程的交换系数方程为或． 或． 或． 故答案为：或． （2）解：由题意，方程与它的交换系数方程组成的方程组为①或②， 解方程组①得， ， ， 方程组①的解为， 解方程组②得， ， 方程组②的解为， 综上，方程与它的交换系数方程组成的方程组的解为， 由题意可知，将代入，得：， ，， ． （3）解：由题意，方程的交换系数方程为或， ①当方程的交换系数方程为时， 是关于，的二元一次方程的交换系数方程， 各系数与各系数相等， ， ， ， ， ， ， 为整数， ，即， ． ②当方程的交换系数方程为时， 由条件可知各系数与各系数相等， ． ，不是整数，不符合题意，舍去． 综上，的值为2． 12．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0 (2)②正确，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，可得，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1，可以设， 则， 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模； （3）证明：因为a模，b模， 所以设， ， 所以模， 所以能被整除， 所以模． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末真题百练通关（75题25大压轴题型） 题型1 幂的混合运算 题型14 旋转综合题 题型2 利用幂的运算性质比较大小 题型15 二元一次方程组的特殊解法 题型3 幂的运算新定义问题 题型16 二元一次方程组的含参问题 题型4 幂的有规律计算问题 题型17 二元一次方程组的新定义问题 题型5 整式乘法的无关型问题（几何） 题型18 二元一次方程组的实际应用综合 题型6 多项式乘法的规律性问题 题型19 方程与不等式结合问题 题型7 运用乘法公式进行运算综合 题型20 不等式组的整数解问题综合 题型8 乘法公式与几何图形综合 题型21 不等式组的解集情况求参数综合 题型9 乘法公式中的配方法求最值 题型22 方程组与不等式组结合的问题 题型10 乘法公式的新定义问题 题型23 不等式组的实际应用综合 题型11 平移综合题 题型24 不等式组的新定义问题 题型12 轴对称综合题 题型25 定义、命题、证明大题综合 题型13 折叠问题 题型一 幂的混合运算（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2) 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． (1)类型一：简便计算 ； (2)类型二：代数式求值 若，，则① ；② ． (3)类型三：解方程 解关于x的方程：如果，求x的值． 题型二 利用幂的运算性质比较大小（共3小题） 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 6．（25-26七年级下·江苏·期末）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 题型三 幂的运算新定义问题（共3小题） 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝_______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______ 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 题型四 幂的有规律计算问题（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏南通·期末）观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，若，则______（结果用含的代数式表示）． 11．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1）__________． （2）___________． 12．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 题型五 整式乘法的无关型问题（几何）（共3小题） 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 15．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 题型六 多项式乘法的规律性问题（共3小题） 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（     ） A．2 B．3 C．1 D．4 17．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据规律写出第n个等式：______； (2)根据规律计算：． 题型七 运用乘法公式进行运算综合（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 20．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 题型八 乘法公式与几何图形综合（共3小题） 22．（25-26七年级下·广东佛山·期末）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设， 则, ∴ 【解决问题】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)如图，正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以作正方形，求阴影部分的面积． 23．（25-26七年级下·江苏·期末）【阅读理解】 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解： ． ． 【尝试探究】 请仿照上例解决下列问题： (1)①若，则___________． ②若，则___________． (2)①若满足，求的值． ②若满足，求的值． 【类比应用】 (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． (4) 24．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读理解： 【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． (1)【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． ①由图（4），你能得到的等量关系式是___________； ②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： （I）已知，，则___________． （II）已知，则___________． (2)【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________． (3)【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________． 题型九 乘法公式中的配方法求最值（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 27．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解并填空： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值．若，则这个代数式的值为6；若，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）数学书课本里“我们把多项式及叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题． 例如：，因为是非负数，所以，这个代数式，当x的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程） （3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？ ①； ②； （4）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a，b的值？ （5）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？ 题型十 乘法公式的新定义问题（共3小题） 28．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 30．（25-26七年级下·江苏·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 题型十一 平移综合题（共3小题） 31．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，将沿方向平移至的位置，，点E在边上，交于点H，已知，图中阴影部分的面积为54，，则平移距离为______． 32．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 33．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 题型十二 轴对称综合题（共3小题） 34．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 35．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 36．（25-26七年级下·江苏南京·期中）【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 题型十三 折叠问题（共3小题） 37．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 38．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 39．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 题型十四 旋转综合题（共3小题） 40．（25-26七年级下·广西南宁·期中）小宁同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供“一块含角的直角三角板，两条平行线”． 【动手实践】将三角板绕着某点旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 【问题解决】点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的直角三角板按图1放置，使点F，E分别在直线，上，且点E在点P的右侧，，，设． (1)填空：当时，则________； (2)如图2，若的平分线交直线于点H． ①当于点时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，求出此时t的值． 41．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 42．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 题型十五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 题型十六 二元一次方程组的含参问题（共3小题） 46．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 47．（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 48．（25-26七年级下·四川德阳·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】 (3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． 题型十七 二元一次方程组的新定义问题（共3小题） 49．（25-26七年级下·浙江台州·期中）现定义一种新运算：，．若，，则． （1）若，则________； （2）若，，则用含，的代数式表示有________种表示方法． 50．（25-26七年级下·北京·期中）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 51．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 题型十八 二元一次方程组的实际应用综合（共3小题） 52．（25-26七年级下·江苏南通·期中）苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 53．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 54．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻泡件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2025年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 元 元 元 元 德邦 元 元 元 元 轻泡件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻泡件实际重，体积为，其体积重，由于，则按收费，共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/ 体积/ 重量/ 体积 乒乓球 乒乓球拍 / (1)若该商家月与顺丰合作，请计算月的快递费用共需多少钱？ (2)若商家打算月的省外快递选一个公司合作，请判断选顺丰还是德邦更加优惠？并说明理由． (3)因乒乓球热销，该商家计划于月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少？ 题型十九 方程与不等式结合问题（共3小题） 55．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 56．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 57．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 题型二十 不等式组的整数解问题综合（共3小题） 58．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 60．（25-26七年级下·江苏·期末）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为_______． 题型二十一 不等式组的解集情况求参数综合（共3小题） 61．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．（25-26七年级下·江苏南京·期末）不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 题型二十二 方程组与不等式组结合的问题（共3小题） 64．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 65．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 66．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 题型二十三 不等式组的实际应用综合（共3小题） 67．（2026·广西南宁·一模）学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： (1)根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； (2)由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 68．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 69．（25-26七年级上·江苏南京·期中）为探究使用天然气和电的耗能和花费问题，小明进行了烧水实验，将一定量的水烧开，相关数据如下表： 能源 烧水所需理论热量 单位能源使用量所产生的热量 烧水所需理论使用量 能源单价 费用 天然气 378千焦 37800千焦/米 米3 3.03元/米 元 电 378千焦 c千焦/度 0.105度 0.56元/度 0.0588元 (1)___________，___________，___________； (2)在使用的灶具与电器的过程中，热量会有一定损失，因此使用天然气或电都存在能源的利用率问题．设使用天然气、电的能源利用率分别为（能源利用率=） ①下表是小明家某天家庭聚餐的菜单与烹饪所需的热量： 菜品 烹饪所用能源 烹饪所需的理论热量 红烧肉 天然气 3400千焦 炒虾仁 天然气 1100千焦 宫保鸡丁 天然气 1515千焦 清炒茼蒿 天然气 600千焦 玉米排骨汤 电 4600千焦 清蒸白鱼 电 850千焦 蒸南瓜 电 700千焦 米饭 电 1850千焦 当，时，计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用（保留1位小数）． ②当满足什么关系时，使用电更省钱（直接写出答案，不必说明理由）． 题型二十四 不等式组的新定义问题（共3小题） 70．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 71．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 72．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 题型二十五 定义、命题、证明大题综合（共3小题） 73．（25-26七年级下·江苏·期末）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 74．（25-26七年级下·江苏南京·期末）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 75．（25-26七年级下·江苏·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 1．若，则___________ ． 2．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 3．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 4．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 5．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 6．综合探究： 【问题感知】 (1)如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 (2)如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 (3)如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 7．在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺（分别含、、和、、的角）按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，如图2，，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上．现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，将绕点以每秒的速度逆时针旋转．两个三角尺同时旋转，当第一次与重合时，两三角尺同时停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 8．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 9．某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 10．已知实数满足． (1)用含有的代数式表示； (2)若实数满足，求的取值范围； (3)若实数满足，且，求的取值范围． 11．定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 12．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $