专题11 球的切、接问题10大题型（期末专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以10类模型为核心，系统构建球的切接问题解题体系，通过模型化方法提升空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |墙角模型|4|还原长方体|线面垂直→长方体体对角线| |对棱相等模型|3|还原长方体|对棱相等→补形法| |斗笠模型|2|正棱锥性质|轴截面分析→勾股定理| |垂面模型|4|侧棱垂直底面|底面外接圆半径→球心距公式| |汉堡模型|3|还原直棱柱|柱体高与底面外接圆| |切瓜模型|6|面面垂直性质|两平面外接圆圆心垂线交点| |直角三角形拼接|5|折叠与翻折|直角三角形性质→补形| |折叠模型|3|动态翻折|二面角与空间距离| |异面直线公垂线|1|公垂线定位|球心在公垂线上| |内切球问题|7|体积分割法|等体积法求半径|

专题11 球的切、接问题 题型1 墙角模型（还原长方体） 题型6 切瓜模型（两个平面垂直）（重点） 题型2 对棱相等模型（还原长方体） 题型7 直角三角形拼接模型 题型3 斗笠模型（正椎体） 题型8 折叠模型 题型4 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（常考点） 题型9 利用异面直线公垂线找外接球球心 题型5 汉堡模型（还原为直棱柱）（重点） 题型10 几何体内切球问题（难点） 题型一 墙角模型（还原长方体）（共4小题） 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设到平面的距离为， 则， 又，所以当平面时四面体的体积最大， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 当四面体的体积最大时，可以将四面体补成如图所示的长方体， 故此时四面体外接球的半径， 四面体外接球的表面积． 故选：C． 3．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以， 所以就是平面与平面的夹角， 设，则，则， 即，解得， 所以，即， 同理，，将三棱锥放置在如图的正方体中， 由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知， 三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：B． 4．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 【答案】 【详解】因为平面，所以为三棱锥的高， 又，， 所以三棱锥的体积为； 由平面，平面，平面，则，，又，则，即两两垂直， 所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球， 所以外接球半径为， 故外接球O的表面积为. 题型二 对棱相等模型（还原长方体）（共3小题） 5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 6．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，      此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 题型三 斗笠模型（正椎体）（共2小题） 8．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 9．（2025高三·全国·专题练习）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于． 因为为正三棱锥， 且， 所以为的中心，在线段上， 因为E为侧棱的中点， 所以，所以为的中点，且， 因此， 连接，由正三棱锥的性质可得， 因为D为AB中点，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 所以，则， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上， 连接，在中，由勾股定理得， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 题型四 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（共4小题） 10．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 11．（23-24高一下·云南楚雄·阶段检测）三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，因，， 在中，由，可得. 在中，.在中,由，可得. 因,且平面，则平面. 取的中点分别为，连接，则，故可得平面. 在中，为的中点，则， 在中，,则, 即，即点为三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为1， 所以外接球的表面积为. 故选:A. 12．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 13．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    【答案】 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 题型五 汉堡模型（还原为直棱柱）（共3小题） 14．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 15．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    【答案】 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为    16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【详解】由，点均在球的表面上， 得四边形内接于圆，则，即， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则，又， 因此二面角的平面角为，即， 在中，由，得， 四边形外接圆的直径，即外接圆的直径， 由平面，得四棱锥外接球的半径 所以四棱锥外接球的表面积为. 题型六 切瓜模型（两个平面垂直）（共6小题） 17．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 18．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 19．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以是直角三角形，斜边， 所以的外接圆的半径为， 因此球心O在平面的射影是的中点，设为， 设，球的半径为，于是有， 即， 要想球O的体积最小，只需，此时，O重合，， 因为点 P 在底面的射影在直线上， 所以设射影为，连接， 显然， 所以， 当最小时，有最大值， 显然当时，最小，因为，O是的中点 所以且， 所以的最大值为. 20．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 21．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、， 取的中点，连接，则. 因为面面，面面，平面， 所以，面， 因为平面，所以. 在直角三角形中，，，,得. 在中，由正弦定理得，，解得，. 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，由面积公式得，，解得，， 则，. 在直角三角形中，则， 在直角三角形中，则， 即， 所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为. 22．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 题型七 直角三角形拼接模型（共5小题） 23．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的边长为，则， 取中点，连接，如图，    则，又，所以为正三角形． 因为，平面 所以平面，则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且为斜边，为中点， 所以为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径． 则该三棱锥外接球的表面积为． 故选：D 24．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由堑堵的定义可知，为直角三角形，故， 由已知可得，平面平面ABC，且平面平面， 又，平面ABC， 平面，而平面， ，又，，AC，平面APC， 平面APC，又平面APC，则， 设，，则， ，， ， 由，得，整理得， ， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为18， 此时， 设三棱锥的外接球的半径为R， 因为，都是以AP为斜边的直角三角形， 故线段为外接球的直径，故所求外接球的体积为.    故选：B. 25．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 26．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 27．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 【答案】/ 【详解】在与中，可得，，即， 因 ，所以 ，故，即. 又平面，平面，则. 因平面，所以平面，而平面，故. 如图，取的中点为，在中， ，在中， ， 所以，即点到A，B，M，N四点的距离相等，所以点为四面体的外接球的球心， 可得外接球的直径， 所以四面体的外接球的半径为.    题型八 折叠模型（共3小题） 28．（24-25高二下·广东广州·期末）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的对角线交点为， 则，， 翻折后所得图形如下图所示，    则的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 由于二面角的大小为120°，，则，且， 所以四面体的体积， 故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为． 故选：D． 29．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 30．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接， 因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点， 则由球的性质可知，平面， 设外接球半径为, 是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形, , 在中勾股定理可知, 则在中利用余弦定理可得， ,，则，得， 所以的最小值为1，外接球体积最小值为. 故选：C. 题型九 利用异面直线公垂线找外接球球心（共1小题） 31．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 【答案】 【详解】如图，设的中点分别为，球心为，半径为，   ， ，又平面， 平面，又平面， ，则垂直平分， 同理可得垂直平分，故球心在上，设， ，， ， 又，解得，， 则四面体外接球的表面积为． 题型十 几何体内切球问题（共7小题） 32．（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正四棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 33．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，为的中点.将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，， 因为为的中点，所以, 当时，， 因为，所以， 因为,面，面，所以平面，，， ， 则三棱锥的表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法知， 解得，所以内切球的表面积. 故选：D. 34．（24-25高一下·浙江宁波·期末）一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正四面体玩具可以在棱长为6的正方体内任意转动，得该正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球， 如图，设四面体的边长为，其外接正方体为，则正方体棱长为 正方体与正四面体有同一个外接球， 设正方体的外接球的半径为，则，即， 而棱长为6的正方体的内切球的半径为3，即，解得， 取中点，连接，则，又平面， 于是平面，而，等腰底面上的高， 所以正四面体体积的最大值为. 故选：C 35．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对称性知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质知在上，而， 则，， 由，得， 又，所以该勒洛四面体内切球的半径. 故选：B 36．（2026高一·全国·专题练习）已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______. 【答案】/ 【详解】如图: 设在底面上的投影为，取中点，连接 因为三棱锥为正三棱锥，则为正三角形的中心. 则，且，所以即为侧面与底面所成二面角， 又，所以, 则，所以. 设球的半径为，则， 即 ，解得. 根据题意可知，为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球， 且该三棱锥的高. 故两正三棱锥的相似比为 ，故其内切球的半径比也为， 故球 与球的表面积之比为. 37．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥和圆台，此时圆锥的顶点P和圆上所有点均在球上，圆台存在和上下底面及侧面均相切的球，若球和的半径均为，则圆锥和圆台的高之比为______．    【答案】 【详解】由题意，在轴截面等腰三角形中，，平行于底面的截面与轴截面形成了交线， 将分为和梯形，圆和圆分别为两部分的外接圆和内切圆，半径均为， 则有高，梯形高，，， ，，， ，令，则，解得，所以．    38．（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以， 设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以， 在中，， 在中，， 即，即， 所以，所以. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 球的切、接问题 题型1 墙角模型（还原长方体） 题型6 切瓜模型（两个平面垂直）（重点） 题型2 对棱相等模型（还原长方体） 题型7 直角三角形拼接模型 题型3 斗笠模型（正椎体） 题型8 折叠模型 题型4 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（常考点） 题型9 利用异面直线公垂线找外接球球心 题型5 汉堡模型（还原为直棱柱）（重点） 题型10 几何体内切球问题（难点） 题型一 墙角模型（还原长方体）（共4小题） 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 题型二 对棱相等模型（还原长方体）（共3小题） 5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 题型三 斗笠模型（正椎体）（共2小题） 8．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 题型四 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（共4小题） 10．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·云南楚雄·阶段检测）三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 13．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    题型五 汉堡模型（还原为直棱柱）（共3小题） 14．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 题型六 切瓜模型（两个平面垂直）（共6小题） 17．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 19．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 20．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 22．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型七 直角三角形拼接模型（共5小题） 23．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 24．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 25．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 26．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 27．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 题型八 折叠模型（共3小题） 28．（24-25高二下·广东广州·期末）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 30．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 题型九 利用异面直线公垂线找外接球球心（共1小题） 31．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 题型十 几何体内切球问题（共7小题） 32．（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，为的中点.将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·浙江宁波·期末）一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 36．（2026高一·全国·专题练习）已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______. 37．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥和圆台，此时圆锥的顶点P和圆上所有点均在球上，圆台存在和上下底面及侧面均相切的球，若球和的半径均为，则圆锥和圆台的高之比为______．    38．（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $