专题04 基本立体图形的考察（十大高频考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何核心考点，以单一几何体到组合体为逻辑主线，通过多样化题型强化空间观念与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱柱展开与最短距离|5题|展开图转化、动点路径最值|从平面化思想解决立体最短路径| |多面体截面考察|15题（含正方体/棱锥/棱台）|截面形状判断、面积计算|从特殊到一般的截面性质探究| |旋转体展开与球问题|15题（含圆柱/圆锥/球）|葛藤问题、球面距离、切接|旋转体展开与球截面性质应用| |组合体与直观图|15题（含最短路径/切接/直观图）|跨几何体综合、斜二测画法|从简单几何体到复杂组合体的递进|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04基本立体图形的考察 考点归纳 考点01棱柱展开图及最短距离问题 考点02与正方体有关截面的考察 考点03棱锥有关截面考察 考点04棱台有关截面的考察 考点05圆柱圆锥展开图及最短距离问题 考点06有关球截面的性质考察 考点07求球面距离 考点08组合体的最短路径问题 考点09组合体的切接问题 考点10立体图形的直观图（面积） 考点专练 考点01棱柱展开图及最短距离问题 1.在正方体ABCD-A,B,CD,中，AB=4,点E在线段AD,上，则B,E+CE的最小值是() A.6 B.6N3 C.46 D.8 2.正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C的最短距离为 3.如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=3,点P为线段BC,上的动点，Q为平面ABCD内的动点， 则D,P+PQ的最小值是() D B A.V2+2 B. 32+2 C.22+2 D.2+2 2 2 4.已知直三棱柱ABC-A,B,C,中，LACB=90°，AA,=2AC=2BC=4,Q点为棱AC的中点，一只虫子由 表面从Q点爬到B点的最近距离为 5.直四棱柱ABCD-A,B,C,D的所有棱长均为1，M为棱BB,上的动点，∠BAD=60°，则DM+CM的最小 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值为() A.V2+1 B.√5+1 C.5 D.3 考点02与正方体有关截面的考察 6.在棱长为8的正方体ABCD-A,B,CD,中，BM=MC,设集合Q是底面ABCD内（含边界）所有的点 构成的集合，集合H={P∈QP四>PM},则集合oH所表示的区域面积为() A.24 B.20 C.16 D.28 7.（多选)（多选)在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.平面以任意角度 截正方体，所截得的截面图形可能为() A.等腰梯形 B.非矩形的平行四边形 C.正五边形 D.正 六边形 8.如图所示正方体ABCD-A,BCD的棱长为2，E是棱CC的中点，则由D,A,E三点确定的平面与正 方体ABCD-A,B,C,D,相交所得截面图形的周长为 D B 的 9.如图，己知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，E是棱CD的中点，则平面ABE截正方体 ABCD-A,B,C,D所得截面图形的面积为() D E B D 8 A.9W2 B.18 C.182 D.36 10.过正方体ABCD-A,B,CD,的中心作与AC,垂直的平面a,则平面C截正方体ABCD-A,B,C,D所得的截 面是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 考点03棱锥有关截面考察 11.一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4：9，则此棱锥的侧棱被分成的上、 2/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 下两部分长度之比为() A.4:9 B.2:1 C.2:3 D.2:V5 12.在正四面体ABCD中棱AB,CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截面，已知这两个截面的面积 分别为6cm'和4cm2,且它们之间距离为√2cm,则该正四面体棱长为cm 13.在高为√2的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PB=CD=2,PC=√7，则△PBD的面 积为() A.3 B.5 C.3 D.25 2 2 14.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面a,若平面a/1平 面PCD,则平面a截正四棱锥P-ABCD的截面面积为() A.55 B. 5v15 C.23 D.2√15 P 15.在侧棱长为2√5的正三棱锥S-ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=40°，过A作截面AEF,则截面的 最小周长为() A.2√2 B.4 C.6 D.10 考点04棱台有关截面的考察 16.正三棱台ABC-A,B,C,的上、下底边长分别为6,18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和 三个侧面都相切)，则正三棱台的高为(） A.3 B.4 C.5 D.6 17.如果棱台的两底面积分别是S,S,中截面的面积是S,则() A.Sp=2SS B.S。=VS'S C.2S0=S+S' D.2So=S+S 18.光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年(1374年)，它是迄今为止全国现存古代建筑 中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱 台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m,下底面边长约为34.5m,高约为9m,则该墩台的斜高约为（参 考数据：√1321≈36.35)() A.9.1m B.10.9m C.11.2m D.12.1m 19.(多选)己知球O的半径为R,正四棱台ABCD一ABCD,的两底面边长分别为2和4，高为h,则() A.对任意>0，都存在R>0,使点O到该棱台所有面的距离都等于R 3/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B,对任意>O,都存在R>0,使该棱台的所有顶点都在球O的球面上 C.若点O到该棱台所有面的距离都等于R,则R=√2 D.若该棱台所有顶点都在球O的球面上，且R=2√2，则h=√6 20.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1：4，已知截去的棱锥的顶点 到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为() A.12 B.9 C.6 D.3 考点05圆柱圆锥展开图及最短距离问题 21.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺葛生其下，缠木两周，上与木 齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周， 刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺”.（注：1丈等于10尺） 22.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD,点E在下底面圆周上，且CE=√3BE,点F在 母线AB上，点G是线段AC上靠近点A的四等分点，则EF+FG的最小值为 G 23.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木 齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周， 刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺”（注：1丈等于10尺》 24.如图，已知圆柱体底面圆的半径为2cm,高为2cm,B,CD分别是两底面的直径，4D,BC是母 线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是()cm.(结果保留根 式) A.25 3 B.25 C.22 D.4 25.如图几何体是圆锥P0的一部分，其中∠40B=2”,PA=20A=2dm,一只蚂蚁从点A出发沿曲面运动 到点B,则这只蚂蚁行驶的最短路程是 dm 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D O 考点06有关球截面的性质考察 26.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=3,A4=2.现以A为球心，以3为半径作球0，则球0的 球面与该长方体的表面相交所得到的曲线的长为()（参考数据：s血刀≈5 813 A.3+7B.33r+7 C.13m5π D.33π5r 8 8 82 8 2 27.已知正方体ABCD-A,BC,D,的棱长为√5，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表 面相交所得到的曲线的长为() A多知 B. π C.2π D.3π 28.已知半径为2的球0与圆柱O,O,的上、下底面及侧面均相切.现从该圆柱中挖去球0，得到一个空心 几何体Ω，用平行于圆柱下底面的平面去截Ω，当与圆柱下底面的距离为1时，得到的截面面积为() A.刀 B.2π C.3π D.4π 29.已知三棱锥S-ABC中，棱AS,AB,AC两两垂直，且长度都为2√3.以S为球心，4为半径的球与 三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为() A智 C.2π D.3π 30.(多选)已知棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D中，M,H,N分别为CC,AD,DD,的中点，则() D C A B NA M B A.正方体ABCD-A,B,C,D,的外接球半径为√ B.B,M,N,H四点共面 C.直线HN与HB,所成角的余弦值为 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.过直线HB,的平面截正方体ABCD-A,B,CD的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 个 考点07求球面距离 31.设地球是半径为R的球，地球上A,B两地都在北纬45的纬线上，A在东经20°、B在东经110°的经线上， 则从A沿球面向正东前进()到B地 A. B.R C.R D.πR 2 32.波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全 相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴， 在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若 我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d,则d的取值集合为() 4W6 .2,2 4V610 C 33 D 2265 3 32 33.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 经过这3个点的小圆的周长为6m, 那么这个球的半径为() A.45 B.25 C.35 D.65 34.球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平 面截球面所得的圆).设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、 乙两地的球面距离为() A.R B. R D.R 6 3 c 35.球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆） 在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离.己知长方体ABCD-A,B,C,D的 所有顶点都在同一个球面上，且AA,=√2，AB=BC=1,则A,D两点间的球面距离为() A智 D 考点08组合体的最短路径问题 36.(多选)勒洛四面体是一个非常神奇的四面体”，它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的 四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体 ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是() 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2- 2 B.勒洛四面体被平面ABC截得的截面面积是2元-√3 C.勒洛四面体表面上交线4C的长度为2π D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 37.半正多面体亦称阿基米德体阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体某半正 多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其 棱长为1，点M,N分别在线段DE,BC上，则FM+MN+AN的最小值为 E 38.如图，在平行六面体48CD-4BCD,中，所有棱长为4，∠D4AB=号，∠B4-,分别取 3 AD,AB,AA上的点M,N,E使AM=AN=AE=2,以A为圆心，2为半径分别在平面ABCD和平面ABBA内 作弧MN,NE,并将两弧各六等分，等分点依次为M,P,P,P,P,P,N以及N,9,Q2,Q,Q4,Q,E,一只蚂蚊 欲从点乃出发，沿平行六面体表面爬行至☑，则其爬行的最短距离为() B A M P D D A.9 4π B.2√3 C.2 D.6-2 39.如图，一建筑工地有墙面与水平面B垂直并交于1，长为3√5米的钢丝连接平面α内一点A与平面B 内一点B,点A,B距I均为3米，E,F分别为AB的三等分点，若在平面a内一点P向点E,F连绳子，则 7/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 |PE+PF的最短长度为 米 a 40.(多选)已知长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=BC=√5，AA,=1,P是线段BC,上的一动点，则下列 说法正确的有() A.当P与C重合时，三棱锥P-ACD的外接球的表面积为7π B.三棱锥A-PCD,的体积不变 C.直线AP与平面ACD,所成角不变 D.AP+PC的最小值为3 考点09组合体的切接问题 41.将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与 圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为 42.已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球0的球面上，则球0的半径为() A.3 B.5 C.6 D.8 43.如图，三个半径都是6的球O,球Q,球O放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球O,球O, 球Q两两外切，并且球O,球O,球Q的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是R,又有一个 半径为r的球O与球O,球O,球O均外切，并且球O的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则 R+r= 44.如图，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1 的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为一· 45.己知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，且AB=CD=√5，AC=BD=√10， 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=BC=√3，则球O的半径为 考点10立体图形的直观图（面积） 46.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OAB'℃'，则原梯形面积 为() C 个45 A” A.2 B.2√2 C.32 D.4√2 47.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A'B'=3, B'C'=5,则原四边形ABCD中最长边的长度为一· O B 48.如图所示的△ABC是水平放置的ABC的斜二测画法的直观图，己知AB'=4,AC=BC=√3，则 在ABC中，AC= O'A B广 49.如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=A'B'=1,B'C'=2,则 平面图形ABCD中对角线AC的长为() v' A B A.5 B.万 C.17 D.√2i 50.如图，用斜二测画法画出的水平放置的ABC的直观图为△A'B'C',且B'C'与x'轴平行，A'B'=2, B'C'=√2则AC=() y A'(O) 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.√6 B.√0 C.22 D.32 10/10 专题04 基本立体图形的考察 考点01棱柱展开图及最短距离问题 考点02与正方体有关截面的考察 考点03棱锥有关截面考察 考点04棱台有关截面的考察 考点05圆柱圆锥展开图及最短距离问题 考点06有关球截面的性质考察 考点07求球面距离 考点08 组合体的最短路径问题 考点09组合体的切接问题 考点10 立体图形的直观图（面积） 考点01棱柱展开图及最短距离问题 1．在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，进而可求解. 【详解】 如图1，连接，， 将平面和平面展开到同一平面， 如图2，连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 所以.重合时，取等号. 则的最小值是. 2．正方体的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】将正方体中含点且有公共边的两个正方形置于同一平面，再求出线段长即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，将侧面与上底面展开在同一平面上，连接， 如图，，所以所求最短距离为. 3．如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 4．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【分析】将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可； 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 5．直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 考点02与正方体有关截面的考察 6．在棱长为8的正方体中，，设集合是底面ABCD内（含边界）所有的点构成的集合，集合，则集合所表示的区域面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．28 【答案】A 【分析】设点在底面内的射影为，连接，得到，画出正方体底面的平面图，连接DE，取DE的中点，作，交DC于点，交DA于点，证得点在DA的延长线上，设GK与AB交于点，求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】设点在底面内的射影为，连接， 则， 当时，可得， 画出正方体底面的平面图，如图所示， 连接DE，取DE的中点，过点作，交DC于点，交DA（或DA的延长线）于点， 可得 ， 所以，则， 因为，所以，所以点在DA的延长线上， 设GK与AB交于点，由相似的性质可得，所以， 若点在梯形内，则， 所以集合所表示的区域面积为. 故选：A.      7．（多选）（多选）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（   ） A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABD 【分析】分别画出满足要求的截面图形，可得ABD均正确；假设五边形为正五边形，由面面平行的性质结合相似性以及勾股定理得出矛盾结论可判断C. 【详解】A选项，画出截面图形如图1，分别是所在棱的中点， 四边形为等腰梯形，故A正确； B选项，在正方体中， 作截面（如图2所示）分别交于点， 根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且， 故四边形是平行四边形，但不一定是矩形，故B正确； C选项，经过正方体的一个顶点去截可得到五边形（如图3所示）， 假设五边形为正五边形， 设正方体棱长为2，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 设，则，， 由于∽，所以，即， 设，则，故， 由勾股定理得， 令，即，化简得， 由得，故，即， 故，，， 解得，此时，两点重合，同理可得也重合，不满足要求，故假设不成立， 不可能是正五边形，故C错误； D选项，取六边形的中点， 依次连接得到六边形，其中各边长度均相等， 六边形为正六边形（如图4所示），故D正确． 故选：ABD 8．如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为______. 【答案】 【分析】先通过作辅助线确定截面的形状，再利用正方体棱长及勾股定理分别求出截面四边形各边的长度，最后相加即可. 【详解】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示， 则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 棱的中点,且，在中，为中位线，， 又由题意得，且，，又，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所得截面图形的周长为. 故答案为：. 9．如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    10．过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可. 【详解】 在正方体中，平面，平面，所以， 又在正方形中，，，所以平面， 平面，所以， 由于分别为的中点，所以， 故，同理，，所以平面， 且平面过正方体的中心， 故选：D 考点03棱锥有关截面考察 11．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】截得截面与底面多边形相似，故边长比就是相似比为，所以侧棱上、下两部分长度之比为． 12．在正四面体ABCD中棱AB，CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截面，已知这两个截面的面积分别为和，且它们之间距离为，则该正四面体棱长为______cm． 【答案】5 【分析】依题意作出两个截面，证明矩形和矩形，设正四面体的棱长为x，，，由条件推得①和② ，借助于两截面的距离列出③，联立三个式子，求解即得正四面体的棱长. 【详解】如图，作出两个平行于AB和CD的截面，分别交于点，交于点， 交于点，交于点，则易得两两平行，两两平行. 取的中点，连接，连接，因是正四面体，易得， 因平面，故平面，又平面，则， 可得矩形和矩形.设正四面体的棱长为x，，， 则， 故① ，同理②． 取的中点，连接，分别交平面于点，交平面于点，则是的公垂线， 故而有平面，平面.则有，且， 因，则，由可得，则③． 根据①②③，解得， , 或 , ，即该正四面体的棱长为5. 故答案为：5. 13．在高为的四棱锥中，底面是矩形，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点在底面的投影为，连接，作，垂足为，根据已知求得，，最后由余弦定理及平方关系得，应用面积公式求三角形面积. 【详解】如图，设点在底面的投影为，连接，则， 在中，由，，得，作，垂足为， 由，易知点到，的距离相等，所以，， 在中，， 在中，， 在中，，则， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以. 故选：C 14．已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 15．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 考点04棱台有关截面的考察 16．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 17．如果棱台的两底面积分别是，中截面的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到，，进而可得结果. 【详解】棱台可以看成是由与棱锥底面平行的平面截棱锥之后所得几何体， 设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为， 因为棱台的两底面积分别是，不放令为上底面积，为下底面积， 则，， 所以，因此； 故选：D 18．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 【答案】A 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 19．（多选）已知球O的半径为R，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的两底面边长分别为2和4，高为h，则（    ） A．对任意h>0，都存在R>0，使点O到该棱台所有面的距离都等于R B．对任意h>0，都存在R>0，使该棱台的所有顶点都在球O的球面上 C．若点O到该棱台所有面的距离都等于R，则 D．若该棱台所有顶点都在球O的球面上，且，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，画出正四棱台的俯视图与剖面图，结合图形即可得到结果. 【详解】 由题意，正四棱台的俯视图如图所示， 若点到棱台所有顶点距离都相同，则点必位于正方形对角线交线的垂线上， 由于可取直线上的任意一点，故B正确； 当时，，则，解得，故D正确； 对选项A，若成立，则取过的剖面图如图所示， 由全等关系可得，， 所以，此时，所以， 故A错误，C正确. 故选:BCD 20．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】D 【分析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高． 【详解】∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h， 根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方， 则，∴， ∴棱台的高是，即棱台的上、下底面的距离为3. 故选：D． 考点05圆柱圆锥展开图及最短距离问题 21．我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 【答案】20 【分析】结合题意，将圆柱侧面展开两次得到对应的矩形的边长分别为16尺，12尺，再计算对角线长即可. 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为16尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为12尺， 所以，，即葛藤最少长为20尺. 22．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形， 可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 所以在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 23．我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”（注：丈等于尺） 【答案】26 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为尺， 故葛藤长（尺）. 24．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 25．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 考点06有关球截面的性质考察 26．在长方体中，，．现以为球心，以为半径作球，则球的球面与该长方体的表面相交所得到的曲线的长为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将空间中球体与长方体表面的相交问题，转化为球心在各个面上的圆心，利用勾股定理求出截面圆半径，进而结合各个面上的范围，计算出各部分圆弧段的弧长并求和. 【详解】由题意得，长方体的体对角线长为， 所以球与以为定点的三个面均有交线，设球的半径为， 因为，球与平面相交截得的圆，其圆心应当是球心在该平面上的正投影，即B点， 所以在面内的交线是以为圆心，2为半径，圆心角为的弧，弧长为， 同理，在面内的交线长为， 因为球心到平面的距离为， 所以在面内的交线是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧， 弧长为， 因为，所以球与平面和面无交线， 在平面中，设以点为圆心，为半径的圆分别交于两点，则， 在直角三角形中，，，故， 所以， 所以，所以所对的弧长为， 综上，曲线的长为. 27．已知正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理确定曲线，然后根据圆弧长公式计算曲线长. 【详解】如图，取 ，则 ， 因此球面与面的交线是以为圆心，为半径的圆弧， 与面的交线是以为圆心，为半径的圆弧， 球面与面，面，面的交线是一样的， 与面，面，面的交线是一样的， 由，所以，从而， 所以所求曲线长为 . 28．已知半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切．现从该圆柱中挖去球，得到一个空心几何体，用平行于圆柱下底面的平面去截，当与圆柱下底面的距离为1时，得到的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的内切球可得圆柱的底面半径，高，再结合球的性质求截面圆半径，即可得结果. 【详解】因为半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切， 则圆柱的底面半径，高， 当与圆柱下底面的距离为1时，则球到截面的距离，可得截面圆的半径， 所以截面面积为. 29．已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度. 【详解】面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为, 顶点都在球内（），在球外（）， 因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧, 上交点满足，得， 又（中），因此圆弧圆心角，弧长， 同理，面与对称，弧长， 是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为， 弧长：， 到面的距离，截面圆半径，截面圆心为， 弧长：， . 30．（多选）已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A．正方体的外接球半径为 B．四点共面 C．直线与所成角的余弦值为 D．过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【详解】选项A：正方体的外接球半径，故A正确； 选项B：设的中点为，则四点共面， 点不在平面内，四点不共面，故B错误； 选项C：如下图，连接，则， ， ， 在中，，故C正确； 选项D：如图，连接，记为的中点，过点作的垂线，交于点， 在中，，则， ， 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中， 半径最小为， 半径最小的圆的面积为，故D错误． 考点07求球面距离 31．设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知确定两地经度夹角及所在纬度线上的截面圆半径，即可求前进距离. 【详解】由题设，两地经度夹角为，且两点所在纬线圈上的截面圆半径为， 所以从沿球面向正东前进到地. 故选：B 32．波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由于球与球相切，借助球心位置分可析求出d的取值. 【详解】如图， 记前4个球的球心依次为，，，，后4个球的球心依次为，，，， 则四面体，，，，都是边长为2的正四面体． 在正四面体中，，则这5个正四面体的高． 四面体是正四面体，其中心与正四面体的中心是同一点， 正四面体的顶点到中心的距离为， 所以四面体的高，所以． 从到的这8个点中，任意两点间的距离可能为2， 如；可能为，如；也可能为，如． 所以d的取值集合为． 故选：C 【点睛】方法点睛：设正四面体的棱长为a，外接球的半径为，内切球的半径为，则其高，外接球的球心与内切球的球心是正四面体的高上的同一个点，因此，，． 33．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小圆周长求出小圆半径，再根据和均为等边三角形计算即可. 【详解】设小圆半径为r，则，∴． 在中，由正弦定理得， 又由已知，所以为等边三角形，得球半径为. 故选：C. 34．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 35．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球面距离的概念及弧长公式可得答案. 【详解】设球的半径为,球心为由题意，， 所以， 所以在中，由于，所以， 所以，D两点间的球面距离为. 故选：A 考点08 组合体的最短路径问题 36．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体表面上交线的长度为 D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 【答案】ABD 【分析】A选项：求出正四面体的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B选项，作出截面图形，求出截面面积；C选项，根据对称性得到交线所在圆的圆心和半径，求出长度；D选项，作出正四面体对棱中点连线，在C选项的基础上求出长度. 【详解】A选项，先求解出正四面体的外接球，如图所示： 取的中点，连接，过点作于点，则为等边的中心， 外接球球心为，连接，则为外接球半径，设，    由正四面体的棱长为2，则，， ， ，， 由勾股定理得：，即，解得：， 此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示： 图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交于点， 其中与共面，其中即为正四面体外接球半径， 设勒洛四面体内切球半径为，则，故A正确； B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：    面积为，B正确； C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点， 故，又， 由余弦定理得：， 故，且半径为，故交线的长度等于，C错误； D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示： 连接，交于中点，交于中点，连接，则， 则由C选项的分析知：， 所以， 故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确. 故选：ABD. 37．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为___________.    【答案】 【分析】将几何体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】由题设，该半正多面体的展开图如下图示，    根据已知及几何体结构知：，，且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故答案为： 38．如图，在平行六面体中，所有棱长为，，，分别取上的点使，以为圆心，为半径分别在平面和平面内作弧，并将两弧各六等分，等分点依次为以及，一只蚂蚁欲从点出发，沿平行六面体表面爬行至，则其爬行的最短距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面，连接，则的长度即为所求最短距离. 【详解】如图，将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面， 连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短距离， 因为，分别为弧的六等分点，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 故选：B 39．如图，一建筑工地有墙面与水平面垂直并交于，长为米的钢丝连接平面内一点与平面内一点，点距均为3米，分别为的三等分点，若在平面内一点向点连绳子，则的最短长度为__________米. 【答案】 【分析】利用对称找到满足要求的，即满足最小的点，再利用线段比例关系及勾股定理得到各线段长，求出，利用余弦定理求出答案. 【详解】如图1， 找点关于平面的对称点，连接交平面于， 其中截面图如图2所示， 则即为满足最小的点， 因为， 所以， ， 又， 在中，由余弦定理得 ， 即的最小值为. 故答案为： 40．（多选）已知长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的有（    ） A．当与重合时，三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积不变 C．直线与平面所成角不变 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】利用三棱锥与长方体有相同的外接球，由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项A，由平面，结合等体积法，即可判断选项B，由平面，结合的长度是变化的，即可判断选项C，把矩形和放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项D． 【详解】对于A，当点与重合时，三棱锥即为三棱锥， 又因为三棱锥与长方体有相同的外接球， 所以外接球的直径， 故外接球的表面积为， 故选项A正确； 因为，又平面，平面， 所以平面， 由等体积法可得，， 所以三棱锥的体积不变， 故选项B正确； 对于C，因为平面， 所以点到平面的距离不变， 但的长度由的长增加到的长度， 即的长度是变化的， 所以直线与平面所成的角是变化的， 故选项C错误； 对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则， 连接交于点， 当点，，三点共线时，最小， 则， 故，所以， 由余弦定理可得，， 所以，即的最小值为， 故选项D正确． 故选：ABD． 考点09组合体的切接问题 41．将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为______． 【答案】 【分析】将球的球心作为几何体的顶点，构造一新几何体，求出该几何的高，则此圆柱的高等于新几何体的高加两个半径，从而得到结论． 【详解】如图，是绕中心旋转得到的正方形， ，则 于是． 所以圆柱的高为． 故答案为： 42．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B．      43．如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 【答案】 【分析】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成正三棱柱，在正三棱柱中利用勾股定理构建方程可求，再根据相切可得即可求解. 【详解】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为， 则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高 过作，交于， 则，，， 又，所以，解得， 又球，球，球与半球面相切，，所以， 则. 故答案为：. 44．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为______ ． 【答案】 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1， 且蛋巢的高度为，又球的半径为1，所以球心到截面的距离为, 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为. 故答案为：. 45．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为___________. 【答案】/ 【分析】利用三棱锥对棱相等，将三棱锥补全为为长方体，再利用长方体的外接圆直径为长方体的体对角线即可得解. 【详解】 如图，由于三棱锥对棱相等， 将三棱锥补全为为长方体， 从而外接圆直径为长方体的体对角线， 设长方体的棱长分别为，球的半径为， 则， 所以， 解得. 故答案为： 考点10 立体图形的直观图（面积） 46．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 47．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____．    【答案】9 【分析】根据斜二测画法还原规则，将直观图中相关线段长度按“平行于轴长度不变，平行于轴长度加倍”还原，再通过勾股定理计算出原四边形各边长度，即可求得最长边. 【详解】将直观图还原为原图，如图：    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以， 而，所以原四边形中最长边的长度为9. 48．如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 【答案】 【详解】，，取中点，连结，则， ， ， ， 把直观图还原成平面图形如下： ， ． 49．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，因为四边形是梯形，所以 所以平面图形梯形中:    由斜二测画法原则可知，，且. 所以 50．如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直观图还原，然后去求即可. 【详解】由题意，在直观图中，与轴平行且，所以在还原图中，与轴平行且. 直观图中，与轴重合且，所以在还原图中，与轴重合且. 由题意可知，在还原图中，. . 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $