专题05 图形的轴对称（期末真题汇编，贵州专用）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦图形轴对称专题，整合贵州多地期末真题，覆盖轴对称性质、等腰三角形等5大考点，通过文化素材与策略应用实现分层考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约20题|轴对称识别（京剧脸谱/交通标识）、折叠计算、角平分线性质|结合传统文化与现实情境，基础题占比60%| |解答题|约15题|等腰三角形证明、线段垂直平分线作图、将军饮马问题|设置探究拓展题（如折叠中的角度关系），融入转化策略|

专题05 图形的轴对称 高频考点概览 考点01 轴对称的性质 考点02 等腰三角形 考点03 线段的垂直平分线 考点04 角平分线 考点05 问题解决与策略：转化 ( 考点01 轴对称的性质 ) 1．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介． 在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）下面有四个新能源汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确找到对称轴是解决本题的关键． 由轴对称图形的概念可知，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此概念判断选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知， 只有C选项的图形可以沿虚线折叠互相重合，即， 其中A，B，D选项均无对称轴，不是轴对称图形． 故选：C． 3．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）下列交通标识的图案中，轴对称图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的定义，注意掌握好轴对称图形的概念．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合． 【详解】A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）下列图形为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，找出对称轴、图形两部分折叠后互相重合是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义分析即可得到结果． 【详解】A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这三个图形都不是轴对称图形，不符合题意； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这个图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5．（20-21七年级下·贵州贵阳·期末）下列4个图形中，轴对称图形的个数是（      ） A．1个 B．2个 C．3.个 D．4个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：轴对称图形有线段，角，等腰三角形，共3个． 故选：C． 6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角，三角形内角和定理，解答本题的关键要明确：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和：(2)三角形的内角和是180度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180度这一隐含的条件；根据即可求解． 【详解】∵把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部 ∴ 故选：B ． 7．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，将长方形纸片的一角沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为_____． 【答案】/35度 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先求出，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在长方形纸片中，，且， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：． 8．（20-21七年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC和∠DCB的平分线交于点，且点P在AB边上．若BC＝3，DC＝21，则AB的长是__________． 【答案】12 【分析】在CD上截取DE=AD，CF=CB，证明△ADP≌△EDP（SAS），由全等三角形的性质得出∠A=∠DEP=120°，AP=PE，同理△CFP≌△CBP（SAS），证出△PEF为等边三角形，求出AP的长，则可得出答案． 【详解】解：在CD上截取DE=AD，CF=CB， ∵PD平分∠ADC，CP平分∠DCB， ∴∠ADP=∠EDP，∠FCP=∠PCB， 在△ADP和△EDP中， ， ∴△ADP≌△EDP（SAS）， ∴∠A=∠DEP=120°，AP=PE， 同理△CFP≌△CBP（SAS）， ∴∠B=∠PFC=120°，PB=PF， ∴∠PEF=∠PFE=60°， ∴△PEF为等边三角形， ∴PE=PF， ∴PA=PB， 设PA=PB=x， 则AD=2x，EF=x， ∵BC=3，DC=21， ∴2x+x+3=21， 解得x=6， ∴AB=12． 故答案为12． 9．（18-19七年级下·贵州贵阳·期末）如图,点P是直线AC外的一点,点D,E分别是AC,CB两边上的点,点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,则线段P1P2的长为_____. 【答案】4.5 【分析】利用轴对称图形的性质得出PE=EP1，PD=DP2，进而利用DE=4cm，得出P1D的长，即可得出P1P2的长． 【详解】∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上， ∴PE=EP1,PD=DP2， ∵PE=2.5cm，PD=3cm，DE=4cm， ∴P2D=3cm,EP1=2.5cm， 即DP1=DE−EP1=4−2.5=1.5(cm)， 则线段P1P2的长为：P1D+DP2=1.5+3=4.5(cm). 故答案为4.5. 10．（21-22七年级上·贵州·期末）将一张长方形纸片按如图所示折叠，和为折痕，点B落在点处，点C落在点处，若，，则的度数为______． 【答案】50 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ，， ． 故答案为：50． 11．（18-19七年级下·贵州贵阳·期末）在学习“轴对称现象”内容时,邱老师让同学们寻找身边的轴对称图形,小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示).    (1)小明的这三件文具中,可以看成轴对称图形的是 (填字母代号); (2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案,画出草图(只需画出一种). 【答案】（1）B、C；（2）画图见解析. 【详解】试题分析：(1)根据轴对称图形的概念进行判断即可得； (2)根据轴对称图形的概念选择轴对称图形进行拼图即可得. 试题解析：(1)小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是B、C， 故答案为B、C； (2)如图所示：    12．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在方格的格点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查画轴对称图形，借助网格求面积，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，找点，描点，连线，画出即可； （2）借助网格求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：的面积为． 13．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）（1）如图，在方格纸中，画出关于直线l对称的图形； （2）在对称轴l上画出一点P，使得最短．    【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】（1）先作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，与直线l的交点即为所求的点P． 【详解】解：（1）如图所示：    （2）连接，与直线l的交点即为点P，如图：最短．    14．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 15．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 16．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下见解析 (3)，理由如下见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ( 考点02 等腰三角形 ) 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，且，则长为_________ 【答案】2 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 2．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2 【答案】见详解． 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据平行线的性质探究角的关系、等边对等角、根据三线合一证明 【分析】根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可． 【详解】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC，∠B=∠C， ∵AF⊥AD， ∴AF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∴∠1＝∠2． 3．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知，是以为底边的等腰直角三角形，过点作的垂线交于点． (1)试说明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)9 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）由全等三角形的判定定理“AAS”，即可证明结论成立； （2）由全等三角形的性质，得到，，然后即可求出AB的长度． 【详解】（1）证明：∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∵，， ∴， ∴. 4．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）在中，点D在的边上．    (1)【探究发现】 如图①，当时． 若，则，， 若，则______°，______°； 请直接写出与的数量关系______； (2)【问题解决】 如图②，当，时，作，垂足为点E，若，，求的长． (3)【拓展延伸】 如图③，当平分，时，若与的面积之比为，求． 【答案】(1) (2)11 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的内角和定理以及外角的性质，进行求解即可； （2）根据，得到是等腰三角形，三线合一求出的长，根据，推出，利用即可得解； （3）角平分线的定义以及外角的性质，得到，，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作，交于点，证明为等边三角形，再利用三角形的内角和定理，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 作，交于点，则：，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图，在中，，若，则______度； 【问题探究】 （2）如图，在中，点在边上，，线段与线段关于直线对称，点的对应点为点，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，点在上，，点，分别是，边上的动点，连接，，，当点，在运动过程中，的周长最小时，求的度数． 【答案】（）；（），理由见解析；（）的周长最小时，的度数为． 【详解】解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （），理由如下， ∵， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，分别作关于直线的对称点，连接，交于点，连接，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当点共线时，的周长最小，即与重合，与重合，如图， 由对称性可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小时，的度数为． ( 考点0 3 线段的垂直平分线 ) 1．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】利用线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ， 故选：B． 2．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，的垂直平分线交、分别于点、，连接，如果，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由垂直平分线的性质，得到，结合，的周长为13，即可求出的长度． 【详解】解：根据题意， ∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为13， ∴， ∴， ∴； 故选：C 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可得到，求得的长，即可得到的周长． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长； 故选：B 4．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质．连接，根据中垂线的性质“中垂线上的点到线段两端点的距离相等”，即可得出结论． 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， 又垂直平分， ∴； 故选：C． 5．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，中，，，点D，F分别为的中点，且，点M为线段上一动点，当的面积为12时，周长的最小值为 _____． 【答案】8 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，面积法，根据线段垂直平分线的性质将用直线另一侧的线段代替，利用两点之间线段最短表示出两线段和的最小值，再利用面积法求出这条线段的长即可，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键． 【详解】解：连接 ∵F为的中点，， ∴所在直线是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∵周长， ∴周长的最小值为； ∵，点D为的中点， ∴， ∵的面积为12，， ∴， ∴， 周长的最小值为， 故答案为：8． 6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 在中，． (1)利用尺规，作的垂直平分线， 交于点D， 交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接， 若的周长为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． （1）依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到边的垂直平分线； （2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到，进而得出的周长为：，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求 （2）解：∵垂直平分 ∴ ∴的周长为： ∵的周长为5，， ∴ ∴ 7．（20-21七年级下·贵州贵阳·期末）在点M，分别在AB， AC边上． （1）如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点使得（保留作图痕迹，不写作法) （2）如图②，请用画图的方式在BC边上找一点P′，使得P′M与P′N的距离之和最短． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接MN，作线段MN的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求． （2）作点M关于BC的对称点M′，连接NM′交BC于点P′，连接MP′，点P′即为所求． 【详解】解：（1）如图①中，点P即为所求． （2）如图②中，点P′即为所求． ( 考点0 4 角平分线 ) 1．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线，限定工具作图，角的和差；根据图中尺规作图得平分，再结合角的和差计算即可． 【详解】解：根据图中尺规作图得， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 2．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知，以点为圆心、任意长为半径作弧、交、于点、，分别以、为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线．则的度数是（    ） A．32° B．34° C．36° D．38° 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图步骤可以确定OC平分∠AOB，即可得到． 【详解】由题意得：OC平分∠AOB ∴ 故选：C． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则的边上的高为___________． 【答案】3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质和直角三角形的性质，解题的关键在于利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质．利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件中，推导中边上的高与的关系，从而求解． 【详解】解：过点D作于E， ， ， 平分， ， ， ，即中边上的高为3． 故答案为：3． 4．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，在边上取一点E，使，E为圆心、以大于的长为半径作弧，作射线交于点M，若，则（　　） A．115° B．110° C．105° D．100° 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，等腰三角形的性质，用基本作图得到平分，则，再根据等腰三角形的性质得，所以，然后根据三角形内角和计算的度数． 【详解】解：由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是______． 【答案】28 【分析】过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式结合可求出四边形的面积． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示． ∵∠C=90°， ∴DC⊥BC， ∵平分，DE⊥AB，DC⊥BC， ∴， ∵AB=6，BC=8， ∴， ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见详解 (2)点到边的距离为4 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图一基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作图，熟练掌握角平分线的性质定理． （1）根据作平分线的方法作出图形即可； （2）利用角平分线的性质定理证明． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴点到边的距离为4． 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，物流超市在街道和之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，请按以下要求在图中作出物流中转站的具体位置（不写作法，保留作图痕迹）． (1)若中转站修在街道上，且到物流超市的距离相等，请在图中作出中转站的具体位置． (2)若中转站到物流超市的距离相等，且到街道和的距离也相等，请在图中作出中转站的具体位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了尺规作图：角平分线，线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握基本作图，属于基础题型． （1）作的线段的垂直平分线，与街道的交点P即为所求． （2）如图，作的角平分线，与的线段的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，中转站即为所求． （2）解：如图所示，中转站即为所求． 8．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得， ，， ， ∵是的平分线， ， 又，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， ， 答：该空地的面积为． ( 考点0 5 问题解决与策略：转化 ) 1．如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）    A． B． C． D．无法确定 【详解】解：甲到乙最短的路线是， 故选：B． 2．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于M， 根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短． 故选：B． 3．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：正方形中阴影部分的面积为， 平行四边形的面积为， 由此得到一个x，a的恒等式是， 故选：C． 5．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：作点E关于对称的点F，连接，与交于点M， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∵点E、点F关于对称， ∴F在上， ∴， ∴， 即最小，且为， ∵， ∴，即点F为中点， ∴， 故选C． 6．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故答案为：13． 7．若，则的值为 ． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 【详解】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 9．如图，点是线段的中点，点在上，分别以为边，在线段同侧作正方形和正方形，连接和，设，且． （1）线段的长为 （2）图中阴影部分的面积为 【详解】解：，， ， ， ， 又点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3，13． 10．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 11．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； (2)在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求作， 理由如下： 由轴对称的性质可知：， 此时最小，即最小， 最小， 即：的周长最小． 12．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 13．已知多项式的值为7． (1)求的值； (2)证明：． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， ，， ． 14．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 15．教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 15．教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2）． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴； 定理应用： （1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为20． 故答案为：30； （2）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 图形的轴对称 ☆高频烤点概览 考点01轴对称的性质 考点02等腰三角形 考点03线段的垂直平分线 考点04角平分线 考点05问题解决与策略：转化 目目 考点01 轴对称的性质 1. (21-22七年级下·贵州六盘水·期末)京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介. 在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是() 将 2. (24-25七年级下·贵州贵阳·期末)下面有四个新能源汽车标志图案，其中是轴对称图形的是() A. BYD 3. (23-24七年级下·贵州贵阳·期末)下列交通标识的图案中，轴对称图形是( B C. D 4. (22-23七年级下·贵州贵阳·期末)下列图形为轴对称图形的是( B 5.(20-21七年级下·贵州贵阳·期末)下列4个图形中，轴对称图形的个数是() 1/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 线段 角 等腰三角形 平行四边形 A.1个 B.2个 C.3.个 D.4个 6.(23-24七年级下·贵州贵阳·期末)如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABED内部时， ∠C与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.则下列关系成立的是() D ------C 29 B A.∠C=∠1+L2 B.2∠C=∠1+∠2 C.3∠C=∠1+∠2 D.3∠C=∠1+2∠2 7.(25-26七年级上贵州遵义期末)如图，将长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使点D落在点D处， 若∠BAD'=20°，则∠EAD的度数为 B 8.(20-21七年级下贵州贵阳·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=120°，AB=AD∠ADC和∠DCB 的平分线交于点P,且点P在AB边上.若BC=3,DC=21,则AB的长是 P B 9.(18-19七年级下·贵州贵阳·期末)如图，点P是直线AC外的一点，点D,E分别是AC,CB两边上的点，点P 关于CA的对称点P恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE=2.5,PD=3,ED=4, 则线段PP2的长为 2/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B 10.(21-22七年级上·贵州期末)将一张长方形ABCD纸片按如图所示折叠，OE和0F为折痕，点B落在 点B处，点C落在点C处，若∠B0E=35,∠C'OF=30°，则∠B'0C'的度数为° B-- 11.(18-19七年级下·贵州贵阳·期末)在学习“轴对称现象”内容时，邱老师让同学们寻找身边的轴对称图形， 小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示） (1)小明的这三件文具中，可以看成轴对称图形的是（填字母代号）： (2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，画出草图（只需画出一种） 12.(23-24七年级下·贵州毕节·期末)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，ABC的三 个顶点都在方格的格点上. (1)在图中画出与ABC关于直线m成轴对称的△A,B,C: (2)求△AB,C,的面积， 13.(22-23七年级下，贵州六盘水期末)(1)如图，在方格纸中，画出ABC关于直线1对称的图形 3/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △AB,C1: (2)在对称轴1上画出一点P,使得PA+PB最短. 14.(21-22七年级下·贵州六盘水期末)如图，ABC和ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在 直线MN上. (1)图中点C的对应点是点_，∠B的对应角是_； (2)若DE=5,BF=2,则CF的长为_； (3)若∠BAC=108°，∠BAE=30°，求∠EAF的度数. 15.(24-25七年级下·贵州毕节·期末)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军 行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为将军饮马”问题。 (1)如图.直线a是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站0， 向M,N两村庄供应天然气，在下面四种方案中，铺设管道最短的是() M N M (2)如图，草地边缘OM与小河河岸O在点O处形成夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再 去河边饮水，最后回到A地.请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由. 4/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 草地 ●A 小河 16.(22-23七年级下，贵州贵阳期末)己知点A,B在直线I两侧，点C,D在直线1上，点P为1上一动点， 连接AP,BP,且CP=DB. D B 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图(1)所示，当点P在线段CD上时，若LACP=LBDP=90°，∠PAC=∠BPD,则PA_PB(选填 “>“<”或“=”)； (2)如图(2)所示，当点P在DC延长线上时，若∠ACP=∠BDP=90°，∠PAC=∠BPD,探究线段CD, AC,DB之间的数量关系，并说明理由； (3)如图(3)所示，当点P在线段CD上时，若LACP=∠BDP≠90°，将△PBD沿直线1对折得到△PB'D, 此时∠ACP=∠APB',探究线段CD,AC,DB'之间的数量关系，并说明理由. 目目 考点02 等腰三角形 1.(24-25七年级下，贵州毕节期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD1BC,且BC=4,则BD长为 2.(22-23七年级下·贵州六盘水·期末)如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，AF⊥AD,垂足为 A.求证：∠1=∠2 5/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 3.(21-22七年级下·贵州六盘水期末)如图，已知∠B=90°，△ADC是以CD为底边的等腰直角三角形， 过点D作AB的垂线交AB于点E. B E C (I)试说明AABC≌△DEA; (2)若BE=5,CB=4,求DE的长， 4.(22-23七年级下，贵州六盘水期末)在ABC中，点D在ABC的边上. D D ① ② ③ (1)【探究发现】 如图①，当AD=CD时. 若∠ACB=15°，则∠ADC=150°，∠ADB=30°， 若∠ACB=20°，则∠ADC=°，∠ADB=°； 请直接写出∠ADB与∠ACB的数量关系； (2)【问题解决】 如图②，当AB=AD,∠ADB=2∠ACB时，作AE⊥BC,垂足为点E,若DE=3,AD=5,求BC的长. (3)【拓展延伸】 如图③，当BD平分∠ABC,∠ADB=2LACB时，若△ABD与△BCD的面积之比为1：2，求∠A. 6/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25七年级下·贵州贵阳·期末)小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探 究. 【问题解决】 (1)如图①，在ABC中，AB=BC,若∠ABC=90°，则∠A=度； 【问题探究】 (2)如图②，在ABC中，点D在AC边上，AB=BD,线段BE与线段BD关于直线BC对称，点D的对 应点为点E,连接AE,猜想∠ADB,∠E,∠EAC之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图③，在ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，点D在BC上，BD=AB,点E,F分别是AB, AC边上的动点，连接DE,EF,FD,当点E,F在运动过程中，△DEF的周长最小时，求∠DEF的度 数. B B D 图① 图② 图③ 目目 考点03 线段的垂直平分线 1. (21-22七年级下·贵州贵阳·期末)在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是() E B D A.线段AC B.线段BD C.线段DC D.线段DE 2.(21-22七年级下·贵州六盘水期末)如图，在ABC中，BC的垂直平分线交AB、BC分别于点E、F, 连接CE,如果AC=5,△AEC的周长为13，则AB的长是() H 7/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.7 C.8 D.13 3.《2425七年级下费州毕节期未)如图，在4BC中，分别以点A和点B为圆心，以大于)B的长为 半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN,交AC于点D,连接BD,若AC=7cm,BC=5cm，,则 △BCD的周长为() M D A.9cm B.12cm C.17cm D.19cm 4.(22-23七年级下·贵州六盘水期末)如图，PD垂直平分AB,PE垂直平分BC,若PA的长为7，则 PC的长为() C A D B A.5 B.6 C.7 D.8 5.(22-23七年级下·贵州贵阳·期末)如图，ABC中，BC=AC,AB=4,点D,F分别为AB、AC的中 点，且EF⊥AC,点M为线段EF上一动点，当ABC的面积为12时，△ADM周长的最小值为· A D F B E 6.(23-24七年级下.贵州贵阳·期末)如图，在ABC中，AB=AC. (I)利用尺规，作AB的垂直平分线，交AB于点D,交AC于点E(不写作法，保留作图痕迹)： 8/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (2)在(1)的条件下，连接BE,若BEC的周长为5，BC=2,求AB的长. 7.(20-21七年级下·贵州贵阳期末)在ABC点M,N分别在AB,AC边上. (1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P使得PM=PN(保留作图痕迹，不写作法) M B C 图① (2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点P',使得PM与PW的距离之和最短. A M B 图② 目目 考点04 角平分线 1.(22-23八年级下·贵州毕节期末)如图，在ABC中，点D在边AB的延长线上，根据图中尺规作图的 痕迹，若∠CBE=70°，则∠ABC=() B D A.25 B.30° C.40° D.45° 2.(21-22七年级下·贵州六盘水期末)如图，己知LA0B=72°，以点0为圆心、任意长为半径作弧、交 OA、OB于点D、E,分别以D、E为圆心、以大于DE长为半径作弧，两弧在∠A0B内交于点C,作 2 射线OC.则∠AOC的度数是() 9/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B E A A.32 B.34° C.36 D.38° 3.(23-24七年级下，贵州毕节·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,若 CD=3,则△ABD的AB边上的高为 D B 4.(22-23七年级下·贵州贵阳·期末)如图，在ABC中，AB=AC,在边BC上取一点E,使BD=BE, E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，作射线BF交AC于点M,若∠C=50°，则∠BMC=() A M B E A.115° B.110° C.105° D.100° 5.(21-22七年级下.贵州贵阳期末)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,AB=6, BC=8,CD=4,则四边形ABCD的面积是· D 6.(24-25七年级下·贵州毕节期末)如图，在ABC中，∠C=90°. B 10/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (I)尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D;(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)若CD=4,求点D到边AB的距离 7.(24-25八年级上·贵州遵义·期末)如图，物流超市A,B在街道m和之间，某物流公司计划修建一个物 流中转站，请按以下要求在图中作出物流中转站的具体位置（不写作法，保留作图痕迹）· m A● B n (I)若中转站修在街道上，且到物流超市A,B的距离相等，请在图中作出中转站P的具体位置 (2)若中转站到物流超市A,B的距离相等，且到街道m和的距离也相等，请在图中作出中转站Q的具体位 置 8.(23-24七年级下贵州贵阳期末)(1)【问题解决】 如图①，∠AOB=LDFE=90°，OC平分∠AOB,点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA,OB交 于点D,E.当FE⊥OB,FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为_； (2)【问题探究】 如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM,FN,分别交OA,OB于点M,N,判 断FM与FN的数量关系，说明理由； (3)【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地ABCD,如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线， AB=50m,AD=30m,直接写出该空地的面积. A C D ENB 图① 图② 图③ 目目 考点05 问题解决与策略：转化 1.如图所示，从甲到乙共有a,b,c三条路线，最短的路线是() 11/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 甲 6 A.a B.b C.c D.无法确定 2.某市计划在公路1旁修建一个飞机场M,现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之 和最短的方案是（) B B A B M B B D. M M 3.若m-n=4,则m2-n2-8n的值是（) A.8 B.16 C.-8 D.32 4.如图，在边长为(x+a)的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个 平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x,α的恒等式是() a x+a a x+a 0 A.x2-a2=(x-a)(x+a)B.x2+ax=x(x+a) c.(x+a}2-a2=xx+2aD.(x+a2-x2=a(a+2x) 5.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是AC上 的一点，若AE=2,当EM+CM取得最小值时，则∠ECM的度数为() 12/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B D A.15 B.22.5° C.30° D.45o 6.如图，在△ABC中，已知AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M, P为直线MN上一点，连结PB,PC,则？PBC的周长最小值是一 B 7.若a=2b+1,则3274ab+4b2+2025的值为 8,如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与 BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点O,连接PQ.以下五个结论：①AD=BE;② PQIAE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有 ·(把你认为正确的序号都填上) B 9.如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP,PB为边，在线段AB同侧作正方形 APCD和正方形PBEF，连接MD和ME,设AP=m,BP=n,且m+n=6,mn=7. 13/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M P B (1)线段AM的长为 (2)图中阴影部分的面积为 10.如图，∠A0B=45°，点M、N分别在射线0A、OB上，MN=3,△OMN的面积为6，P是直线 MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1'点P关于OB对称点为P2,当点P在直线MN上运动时， △OP1P,的面积最小值为· M P 11.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，？ABC的三个顶点都在其格点上，请用无 刻度直尺作图，并保留作图痕迹 C 图1 图2 (1)在图1中，请以直线1为对称轴，画出与？ABC成轴对称的图形： (2)在图2中，请在直线1上找一点P,使得？ABP的周长最小. 12.【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含 着一个有趣的数学问题一将军饮马.如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿 营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 14/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B P A B 图1 图2 图3 【解决问题】 (1)标出【提出问题】中C点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，为了说明点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点c,连接 AC,BC,BC,说明AC+BC<AC'+BC即可； 【类比探究】 (3)如图2，将军牵马从军营P处出发，到河流0A饮马，再到草地0B吃草，最后回到P处，试分别在边 OA和OB上各找一点E、F,使得走过的路程最短.（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 13.已知多项式(2m+1)2?2(m?1)(m+2)的值为7， (1)求m2+m-1的值 (2)证明：m6+m5+m4+m3-m2+3m-1=1. 14.如图1，△ACB和？DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE· 图1 图2 (I)求证：AD=BE: (2)求？AEB的度数： (3)如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90·,点A,D,E在同一直 线上，CM⊥DE于点M,连接BE·试判断线段DM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由， 15.教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容。 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线MN是线段AB的垂直 15/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 平分线，P是MN上任一点，连结PA,PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合.由 此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 己知：如图1，MN⊥AB,垂足为点C、AC=BC,点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB 图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB· 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程. 定理应用： (1)如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,垂足分别为M,N,BC=30, 直接写出？ADE的周长为 (2)如图③，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,E、P分别是AB、AD上任意一点，若AB=5, △ABC的面积为30，直接写出BP+EP的最小值是 MI CN B B D B D 图① 图② 图③ 16/16