专题04 三角形（期末真题汇编，贵州专用）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 汇编贵州多地期末真题，聚焦三角形核心考点，融合文化情境与生活应用，注重基础巩固与问题解决策略培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题|三角形三边关系、中线性质、全等判定（SSS/SAS）|结合油纸伞文化、空调支架稳定性等情境| |解答题|多题|全等证明、特殊化策略（规律探究、测量应用）|设计从特殊到一般的探究题，如河流宽度测量、连续奇数平方差规律|

专题04 三角形 高频考点概览 考点01 三角形的认识 考点02 全等三角形的性质 考点03全等三角形的判定 考点04 问题解决与策略：特殊化 ( 考点01 三角形的认识 ) 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）有两根长度分别为，的木棒，小星想用长度为的木棒与它们摆成三角形，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 4．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，则的度数为___________． 6．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，点D是的中点，点E是的中点，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．1 D．2 7．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 8．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中， D 是 的中点， 若的面积为12， 则的面积为____________． 9．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，空调安装在墙上时，一般都会用如图所示的方法（用三角形支架）固定在墙上，这样做是由于三角形具有______．    ( 考点02 全等三角形的性质 ) 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，的对应点分别是B，D．若，，，则（   ）    A．6 B．9 C．8 D．无法确定 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 ( 考点0 3 全等三角形的判定 ) 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知点A，B，C，D在同一直线上，且，，添加下列条件中的一个后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）如图所示，在长方形的中，已知，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（     ） A．4 B．6 C．4或 D．4或 6．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，只需补充一个条件：________________，就可得△ABD≌△CDB． 7．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，，若添加一个条件，可使，则添加的条件是______只需填一个满足题意的条件即可． 8．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，，，点在上，若，，则______．    9．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，在四边形ABCD中，且，试说明． 小明的解答过程如下： 解：因为…………………………………………第一步 所以………………………………………第二步 在与中……………………………………第三步 因为，，…………第四步 所以……………………………………第五步 所以………………………………………………第六步    (1)小明的解答过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 10．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，求的长度． 11．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）（1）如图，已知，使用直尺和圆规（保留作图痕迹）． ①以A为顶点，以为边，在外部作， ②在射线上截取， ③连接． （2）小星根据上述作图得到结论： （填“”或“”或“”），请帮助小星说明理由． 12．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房，在的中点处有一棵树，小红想测量，间的距离．于是她从点出发，沿走到点点，，在同一条直线上，使，量出点到水房的距离就是，两点之间的距离． (1)请说明小红这样做的理由； (2)若，，请确定线段长度的取值范围． 13．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走10m有一棵树，继续前行10m到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得的长为4.5m． (1)河流的宽度为_________m； (2)请你说明他们做法的正确性． 14．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，与全等吗？为什么？ （2）如图2，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，求的度数． 15．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． ( 考点0 4 问题解决与策略：特殊化 ) 1.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 2.请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 在第十四章《整式的乘法与因式分解》探究数字规律活动课上，老师出示如下问题：观察下列计算两个数积的方法，你发现了什么规律？ …… 任务一：按规律计算 ． 任务二：用两个字母a、b表示出发现的规律，并给出证明． 任务三：上面这种从具体数字计算，到用字母表示出一般性规律，体现了一种很重要的数学思想是______．（填正确选项代码） A．方程思想    B．数形结合思想    C．从特殊到一般 3.阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般如下所示： ［观察］①； ②； ③； … (1)［归纳］由此可得______． (2)［应用］请运用上面的结论计算：______． (3)计算：． 4.平行线中的特殊化策略 【典例】（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）． 5.【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 6.三角形中的特殊化策略 【典例】学习情境·实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 (1)若，则___________；若，则___________； 【猜想与证明】 (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若，求的度数． 7.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系． 8.问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则_______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 9．（20-21七年级下·贵州贵阳·期末）有两个三角形，分别为和其中，． （1）若按图①所示位置摆放，使得与重合，连接，则与CE 的数量关系是__________； （2）在图①中延长BD交CE于点，如图②所示，求的度数； （3）若按图③所示位置摆放，连接且与交于点F，请判断与之间的关系，并说明理由 10.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB　 　EC．（填＞、＜或＝） （2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC． 【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为 　 　；线段CE，BD之间的数量关系为 　 　． （4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 　 　；线段AM，BD，CD之间的数量关系为 　 　． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 高频考点概览 考点01 三角形的认识 考点02 全等三角形的性质 考点03全等三角形的判定 考点04 问题解决与策略：特殊化 ( 考点01 三角形的认识 ) 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，通过计算各选项中较小两边之和与最大边的比较，判断是否能构成三角形． 【详解】解：A．，能构成三角形，符合题意； B．，等于第三边，不能构成三角形，不符合题意； C．，不能构成三角形，不符合题意； D．，不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）有两根长度分别为，的木棒，小星想用长度为的木棒与它们摆成三角形，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：两根木棒分别为和，设第三根木棒长度为， ，， 的取值范围为，选项中只有C选项满足该条件， 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心，悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点， 故选：． 4．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线的定义即可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故选：B． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，则的度数为___________． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查三角形的内角和定理，垂直得到，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 6．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，点D是的中点，点E是的中点，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴为的中线， ∴， 同理：阴影部分的面积； 故选A． 7．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为； 故答案为： ． 8．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中， D 是 的中点， 若的面积为12， 则的面积为____________． 【答案】6 【详解】解：由三角形的中线将三角形的面积平均分成相等的两部分可知，． 故答案为：6 9．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，空调安装在墙上时，一般都会用如图所示的方法（用三角形支架）固定在墙上，这样做是由于三角形具有______．    【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】固定在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的数学知识是三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． ( 考点02 全等三角形的性质 ) 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据全等三角形的性质并结合图形解答即可，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，的对应点分别是B，D．若，，，则（   ）    A．6 B．9 C．8 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． ( 考点0 3 全等三角形的判定 ) 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知点A，B，C，D在同一直线上，且，，添加下列条件中的一个后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 添加：， ∴， ∵ 符合全等三角形的判定定理，能推出，故A不符合题意； 添加，符合全等三角形的判定定理，能推出，故B不符合题意； 添加，符合全等三角形的判定定理，能推出，故C不符合题意； 添加，则，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．注意：、不能判定两个三角形全等． 【详解】解：∵，， ∴A．添加，根据可判定，故不符合题意； B．添加，根据可判定，故不符合题意； C．添加，不能判定，故符合题意； D．添加，根据可判定，故不符合题意； 故选C． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理以及图形，分析求解，即可解题． 【详解】解：，， 的依据是“”， 故选：A． 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法依次判断即可． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 将等边三角形沿底边的三等分点和顶点的连线剪下，根据可得左右两个三角形全等，但不与中间三角形全等．故A选项不符合题意； B. 将等边三角形沿底边的四等分点和顶点的连线剪下，根据可得左右两个三角形全等，中间两个三角形全等，但这四个三角形不全等，故B选项不符合题意； C.将等边三角形沿三条边中点的连线剪开．根据可得这四个三角形全等．故C选项符合题意； D. 在等边三角形顶角的平分线上任取一点，再连接两个底角的顶点，沿虚线剪开．根据可得左右两个三角形全等，但不与下面的三角形全等．故D选项不符合题意． 故选：C 5．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）如图所示，在长方形的中，已知，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（     ） A．4 B．6 C．4或 D．4或 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键．分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为或， 故选：D． 6．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，只需补充一个条件：________________，就可得△ABD≌△CDB． 【答案】∠ADB=∠CBD（答案不唯一） 【分析】添加条件∠ADB=∠CBD，根据AAS推出即可． 【详解】∠ADB=∠CBD， 理由是：∵在△ABD和△CDB中 ∴△ABD≌△CDB， 故答案为∠ADB=∠CBD． 7．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，，若添加一个条件，可使，则添加的条件是______只需填一个满足题意的条件即可． 【答案】（答案不唯一）． 【详解】解：； 理由是：在和中， ， ≌， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，，，点在上，若，，则______．    【答案】8 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用证明得到，，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， 故答案为：8． 9．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，在四边形ABCD中，且，试说明． 小明的解答过程如下： 解：因为…………………………………………第一步 所以………………………………………第二步 在与中……………………………………第三步 因为，，…………第四步 所以……………………………………第五步 所以………………………………………………第六步    (1)小明的解答过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二； (2)见解析． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据平行线的性质分析即可作答； （2）根据平行线的性质得，再证，即可得． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以第二步错误， 故答案为：二； （2）解：因为， 所以， 在与中， 因为，，， 所以， 所以． 10．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）（1）如图，已知，使用直尺和圆规（保留作图痕迹）． ①以A为顶点，以为边，在外部作， ②在射线上截取， ③连接． （2）小星根据上述作图得到结论： （填“”或“”或“”），请帮助小星说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质与尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）以A为圆心，的长为半径画圆，再以E为圆心，以为半径画弧交圆于点D，连接即可； （2）证明即可． 【详解】解：（1）以A为圆心，的长为半径画圆，再以E为圆心，以为半径画弧交圆于点D，连接即可，如图： ∴即为所求； （2）在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房，在的中点处有一棵树，小红想测量，间的距离．于是她从点出发，沿走到点点，，在同一条直线上，使，量出点到水房的距离就是，两点之间的距离． (1)请说明小红这样做的理由； (2)若，，请确定线段长度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可以利用定理证明≌，根据全等三角形的性质可得； （2）根据三角形的三边关系定理可得，然后再代入数进行计算即可． 【详解】（1）解：为中点， ， 在和中， ， ≌， ， 的长度就是、两点之间的距离； （2）解：由题意得：，， ， ， ， ． 13．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走10m有一棵树，继续前行10m到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得的长为4.5m． (1)河流的宽度为_________m； (2)请你说明他们做法的正确性． 【答案】(1)4.5m (2)说明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】(1)根据全等三角形的性质即可求得； (2)根据题意可证得，据此即可证得． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 故答案为：4.5； （2）证明：由题意可知：BC=DC，， 在与中 ， ， 故他们的做法是正确的． 14．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，与全等吗？为什么？ （2）如图2，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，求的度数． 【答案】（1）全等，证明见解析；（2） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质．需熟练掌握三角形全等的证明方法是解决本题的关键． （1）通过等腰三角形的性质得出边和角的关系，由边角边的证明方法即可证明三角形全等； （2）利用等边三角形的性质由边角边的证明方法证明三角形全等，再通过角的计算求出的度数． 【详解】（1）解：全等， 证明如下：因为与均是顶角为的等腰三角形， 所以． 那么， 所以． 所以在中，在中． 因为在和中， ， 所以． （2）解：因为和均为等边三角形， 所以，，． 那么，即． 在和中， ， 可得． 所以． 由于是等边三角形，点，，在同一直线上，， 所以． 所以． 又因为是等边三角形，， 所以． 15．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． ( 考点0 4 问题解决与策略：特殊化 ) 1.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 【答案】(1)（i）72；8；9；（ii） (2)见解析 【详解】（1）解：（i）由题意得，； （ii）， ， ， ， ……， 以此类推可知，； （2）证明： ． 2.请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 在第十四章《整式的乘法与因式分解》探究数字规律活动课上，老师出示如下问题：观察下列计算两个数积的方法，你发现了什么规律？ …… 任务一：按规律计算 ． 任务二：用两个字母a、b表示出发现的规律，并给出证明． 任务三：上面这种从具体数字计算，到用字母表示出一般性规律，体现了一种很重要的数学思想是______．（填正确选项代码） A．方程思想    B．数形结合思想    C．从特殊到一般 【答案】任务一：5609 任务二：，证明见解析 任务三：C 【详解】解：任务一： 任务二：设两个两位数的十位数字为a，第一个的个位数字为b，则第二个数的个位数为，则 证明： 任务三：用字母表示出一般性规律，体现了一种很重要的数学思想是从特殊到一般． 故选：C． 3.阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般如下所示： ［观察］①； ②； ③； … (1)［归纳］由此可得______． (2)［应用］请运用上面的结论计算：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：已知①； ②； ③； ； ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：设，① 则，② ①＋②，得， ． 4.平行线中的特殊化策略 【典例】（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴． 5.【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 6.三角形中的特殊化策略 【典例】学习情境·实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 (1)若，则___________；若，则___________； 【猜想与证明】 (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)与互补，见解析 (3) 【详解】（1）解：∵，， ， ． ，， ， ． 故答案为：，． （2）解：与互补．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴与互补． （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得． 7.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【详解】（1）解：①如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， 用三角尺作边上的高，垂足为点， ； ②如图所示: 是的一个外角， ， ， ； （2）解：不变， 理由如下： 由（1）可知，， 是的一个外角， ， ， ； （3）解：如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ； 如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， ， ， ； 综上所述，对于图3；对于图4． 8.问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则_______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 【答案】(1)，90，35 (2) (3)判断（2）中的结论不成立，或或． 【详解】（1）解：， ， 又， ， 故答案为125，90，． （2）解：猜想：理由如下： 在中，， ，， ， ， 又在中，， ， ， ． （3）解：（2）中的结论不成立．理由如下： ①如图中，结论： 理由：设交于 ， ， ②如图中，结论：证明方法类似① ③如图中，结论： 理由：，， ， 9．（20-21七年级下·贵州贵阳·期末）有两个三角形，分别为和其中，． （1）若按图①所示位置摆放，使得与重合，连接，则与CE 的数量关系是__________； （2）在图①中延长BD交CE于点，如图②所示，求的度数； （3）若按图③所示位置摆放，连接且与交于点F，请判断与之间的关系，并说明理由 【答案】（1）；（2）90°；（3）BD＝CE且BD⊥CE，见解析 【分析】（1）证明△DAB≌△EAC（SAS），由全等三角形的性质得出BD=CE； （2）由全等三角形的性质得出∠ECA=∠DBA，则可得出答案； （3）证明△DAB≌△EAC（SAS），由全等三角形的性质得出∠ABD=∠ACE，BD=CE，则可得出结论． 【详解】解：（1）在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE； 故答案为BD=CE； （2）∵△DAB≌△EAC， ∴∠ECA=∠DBA， ∵∠FDC=∠ADB， ∴∠CFD=∠DAB=90°， ∴∠BFC=90°； （3）BD与CE相互垂直，BD=CE． 理由如下：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， ∵∠BAC=90°， ∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°， ∴∠BFC=90°， ∴BD⊥CE． 10.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB　 　EC．（填＞、＜或＝） （2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC． 【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为 　 　；线段CE，BD之间的数量关系为 　 　． （4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 　 　；线段AM，BD，CD之间的数量关系为 　 　． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），；（4）， 【详解】解：（1），， ， 即 故答案为：， （2）成立． 理由：由旋转性质可知， 在和中， ， ； （3）如图③，设，交于， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ； 故答案是：，； （4）是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ； 故答案为：，； 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $