2026年山西省中考数学冲刺押题练习卷01

**基本信息** 2026年山西中考数学押题卷以传统纹样、AI学习、马拉松等真实情境为载体，通过几何变换、函数综合、统计应用等梯度题型，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、三角函数、几何变换|传统纹样考中心对称（文化传承），旗杆影子问题结合解直角三角形（几何直观）| |填空题|5/15|逆命题、解三角形、坐标变换|半圆折叠问题考查空间观念，菱形坐标题体现数形结合| |解答题|8/75|统计与概率、应用题、几何证明、函数综合|AI学习时间统计（数据意识），观光塔测量（真实科学情境），矩形折叠探究（创新意识）|

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 2026年中考数学终极冲刺押题卷01 (山西专用) (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.计算(-2)×(-3)=() A.-5 B.5 C.-6 D.6 2.中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中是中心对称图形 的是() B 3.下列计算正确的是() A.(5=6 B.V-5=-5 C.i8×V2=6 D.2+8=0 4.如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地 1 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 面成45°时，第二次是当阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？ () A.125-12 B.12W5+12 C.12 D.12-45 5,把三张大小相同的正方形卡片A,B,C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被 卡片爱盖的部分用阴影表示.若按图0，®摆放，阴影部分的周长分别为C和，则C和 G 的大小关系是() B ② B.G>C C.G<C D.无法确定 6.如图，C,D是B上两点，BD=CD,A=40.若BD,CD是正”边形的两条船 边，则n的值为() A,8 B.9 C.10 D.11 7,下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第 ②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为( 2 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ ① ② ③ A.26 B.29 C.32 D.34 8.如图，⊙O中AB为直径，点C在圆上，将劣弧AC沿AC翻折交AB于D,连接CD, 若∠ABC=60°，则∠DCA=() 0 B A.30° B.36° C.40° D.45 9.二次函数y=ar2+br+c的图象如图所示，则关于x的方程x2-ax+b=0的根的情况 为() A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 10.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O,DE L AB于点E,F是线段 MD的中点.连接OF,老01=40F-,则DE的张为() D 3 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ A 5 B. c. D.5 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.请写出命题“如果a2=4,那么a=2”的逆命题： 12.在△ABC ，a,b,c分别是∠A,∠B,∠ 的对边，若6-ab+a)=c ,则∠B= 13.如图，在平面直角坐标系x0中，点A的坐标为 ,3),点B在产轴上.将△01B沿” 轴向右平移得到△CDE,若四边形ABED的面积为6，则点D的坐标为 14.如图，在平面直角坐标系xO中，若菱形4BCD的顶点的坐标分别为 (3,0) B(-20),点D049)在'轴上，则点C的坐标 D 15.将半圆沿弦1C折叠，折叠后的 C与弦4D交于点E,已知4E=2BD,D=D丽 若AB=2cm,则弦AC=_cm, 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分) (1)计算： (π-2026)°+-2V3-4cos30° [2x-5>0 (2)解不等式组：3-x<-1. 17.(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C在坐标轴上，顶点 B在反比例函数y=x>0)的图象上，已知矩形OABC的长OC和宽OA分别为4,3. OE A (I)求反比例函数的表达式： (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在BC的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂 足分别为E,P,PE与BC交于点G.若矩形OEPF与矩形ABCO不重合部分的面积为6， 求点P的坐标 18.(本题8分)随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及， 并呈现出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一 周使用AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：min)进行了抽样调查，把所得的 数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：抽取的学生一周使用A大模型辅助学习时间频 率分布表： 5 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 组别 时间x(min) 频率 A 20≤x<40 0.16 B 40≤x<60 0.24 60≤x<80 0.30 D 80≤x<100 0.20 E 100≤x<120 0.10 合计 抽取的学生一周使用A天模型 辅助学习时间频数分布直方图 频数小 15 15 12 10 8 20406080100120时间/min 根据提供的信息回答问题： (1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (2)调查所得数据的中位数落在组（填组别）： (3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用A!大 模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数， (4)在此次调查中，从E组学生中，随机抽取2名学生进行访谈，已知其中有2名男生和 3名女生，请用树状图或列表法求抽到的2名学生恰好是1男1女的概率. 男 男 女 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 6 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 女 女，男 女，男 女，女 女，女 19. (本题7分)近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门， 参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力.某 市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍， 报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每 天的报名人数 20.(本题8分)新疆丝绸之路观光塔是乌鲁木齐市地标性建筑，位于国际大巴扎广场中 心，集观景、民俗展示、丝路文化体验于一体，象征古丝绸之路文明交汇与新时代开放融 合，数学兴趣小组开展综合实践活动，测量观光塔的高度，撰写实验报告如下： 实 验 测量丝绸之路观光塔的高度 工具准备 无人机、测角仪、卷尺等 主 题 1.站在与观光塔底部同一水平地面的C处，调整无人机的高度至D处，使CD与 实 水平地面AC垂直： 验 2. 通过无人机在D处观测到观光塔的塔尖B处（忽略避雷针的高度），测得仰角 过 ∠BDE: 程 3.测量无人机距离地面的高度CD: 4.在无人机的正下方C处，观测到观光塔塔尖B处 7 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 5.在C处测得观光塔顶部B的仰角∠BCA, B 实 1. CD=17m; 验 测量数据 2 ∠BDE=75°； 图 3. ∠BCA=78° 示 1.图中所有点均在同一平面内；2.DE LAB;3.AB,CD均与地面AC垂直. 备 参考数据： 注 sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算丝绸之路观光塔的高度AB(结果精确到1m), 21.(本题9分)同学们知道：“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”. (1)请写出它的逆命题 该逆命题是一个命题（填“真”或“假”） (2)如图，在Rt△ABC中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经 过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取AB中点D,连接CD,利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决. 想法二：画出AB的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E,利用垂直平分线的性 质使问题得到解决 想法三：沿线段AC所在的直线，将△ABC翻折得到△ADC,构造特殊的三角形，使问题 得到解决. 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程。 22.(本题13分)如图1，一次函数片=+6与反比例函数-x>0)的图象相交于 点4(6,4刊，B6侧)两点，点c为线段B中点，连接40.C0 8 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ B E 图1 备用图 (1)求一次函数与反比例函数的表达式： (2)求△AOC的面积： (3)如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”.在平面内是否存 在点PQ(点P在直线AB上方)，使得四边形APB为倍边矩形，若存在，请直接写出 点PQ的坐标：若不存在，请说明理由。 23.(本题13分)九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动.小北将如 图所示的矩形纸片ABCD(BC>AB)进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，折痕为 AF,展开后，连接EF,就可以得到一个四边形ABFE. D E D M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：四边形ABFE是正方形 (2)如图2，若将图1中的矩形纸片沿CE中点P所在直线进行折叠，使得点C恰好与点E重 合，展开后，折痕所在的直线交AB的延长线于点M,交AF于点N,交EF于点G,交 BF于点H,若AD=12,CD=8,求MN的长. )如图3，DOC(优弧D'QC)与D0C(优弧D0C)关于直线C对称，∠D0C=45 点R是DQCc优弧D'QC)上的一个动点，连接BR,若AD=12,CD=8,求BR的最小 9 中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 值 10中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 2026年中考数学终极冲刺押题卷01 （山西专用） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.是中心对称图形，故选项A符合题意； B. 不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C. 不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D. 不是中心对称图形，故选项D不符合题意． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质和运算法则，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A.，本选项运算错误，不符合题意； B.，本选项运算错误，不符合题意； C.，本选项运算正确，符合题意； D.，本选项运算错误，不符合题意． 4．如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 5．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】仔细观察图象，根据正方形的性质，利用周长公式，计算阴影部分的周长； 最后比较和的大小即可解答本题． 【详解】解： 设底面正方形盒底的边长为，三张大小相同的正方形卡片A，B，C的边长为， 对图①，，， 故阴影的总周长； 对图②，，， 故阴影的总周长； 因此． 6．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 7．下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为（     ） A．26 B．29 C．32 D．34 【答案】C 【分析】根据前三个图形可得到第n个图形一共有个桃心，当代入计算即可． 【详解】解：第①个图形一共有个桃心； 第②个图形一共有个桃心； 第③个图形一共有个桃心 …… ∴可知第n个图形一共有个桃心， ∴第⑩个图形一共有个桃心． 8．如图，中为直径，点在圆上，将劣弧沿翻折交于，连接，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直径所对圆周角为直角，结合已知角求出；再根据翻折的性质，得到等弧对等角，进而推出；最后利用圆内接四边形的性质，求出的度数． 【详解】解：在劣弧上取点的对称点，连接、． ∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵将劣弧沿翻折交于，点与点关于对称， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∵， ∴． 9．二次函数 的图象如图所示，则关于 x 的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题先根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置判断出、的符号，再计算一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴ ∵二次函数图象的对称轴在轴右侧，对称轴公式为， ∴ 又∵， ∴ 对于方程， 判别式 ∵， ∴ ∵ ∴，即 ∴方程有两个不相等的实数根． 10．如图，四边形是菱形，对角线交于点，于点，是线段的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相平分可得为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理求出菱形的边长；在中利用勾股定理求出的长，进而得到对角线的长；最后利用菱形面积的两种计算方法建立等式求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，对角线交于点， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【详解】解：原命题的题设为，结论为， 交换原命题的题设与结论，可得逆命题为：如果，那么． 12．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得且，从而判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式求出的长，进而根据平移规律求出点的坐标． 【详解】解：由平移的性质可知，且 四边形是平行四边形 点的坐标为 平行四边形边上的高为 四边形的面积为 平移的距离为 点是由点向右平移得到的 点的横坐标为，纵坐标为 点的坐标为 14．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标_________． 【答案】 【分析】根据坐标可求出，再根据菱形的性质，可得，将点坐标沿水平方向向左平移5个单位即为点的坐标． 【详解】解：，， ， 四边形为菱形， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 15．将半圆沿弦折叠，折叠后的与弦交于点，已知，，若，则弦________． 【答案】 【分析】本题考查圆的折叠性质、圆周角定理与相似三角形的判定与性质的综合应用，解题核心是利用折叠性质得到等弧、等角，再结合圆周角定理证明，利用相似三角形的性质建立线段关系，求解弦的长度． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分） (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 17．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 18．（本题8分）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用 x表示，单位： ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表： 组别 时间x（min） 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (2)调查所得数据的中位数落在 组（填组别）； (3)该校九年级共有 750 名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于 的学生人数． (4)在此次调查中，从 E 组学生中，随机抽取2 名学生进行访谈，已知其中有 2 名男生和 3 名女生，请用树状图或列表法求抽到的2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率． 【答案】(1) (2)C (3)人 (4) 【分析】（1）利用总数，频数和频率之间的关系，求出D组的人数为10，进而补全直方图即可； （2）根据中位数的确定方法进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）解：总人数为， 将数据从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数， ∵A组8人，B组12人，C组15人，， ∴第25人和26人的数据落在C组，即中位数落在C组； （3）解：（人）； 答：估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于 的学生有450人； （4）解：列表如下： 男 男 女 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 共20种等可能的结果，其中抽到的2 名学生恰好是 1 男 1 女的结果有12种， ∴. 19．（本题7分）近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为万人，根据所给数量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得．                 解得，                     经检验，是原方程的解，且符合实际， ，                     答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人． 20．（本题8分）新疆丝绸之路观光塔是乌鲁木齐市地标性建筑，位于国际大巴扎广场中心，集观景、民俗展示、丝路文化体验于一体，象征古丝绸之路文明交汇与新时代开放融合．数学兴趣小组开展综合实践活动，测量观光塔的高度，撰写实验报告如下： 实验主题 测量丝绸之路观光塔的高度 工具准备 无人机、测角仪、卷尺等 实验过程 1．站在与观光塔底部同一水平地面的处，调整无人机的高度至处，使与水平地面垂直； 2．通过无人机在处观测到观光塔的塔尖处（忽略避雷针的高度），测得仰角； 3．测量无人机距离地面的高度； 4．在无人机的正下方处，观测到观光塔塔尖处； 5．在处测得观光塔顶部的仰角． 实验图示 测量数据 1．； 2．； 3．． 备注 1．图中所有点均在同一平面内；2．；3．均与地面垂直．参考数据∶ 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算丝绸之路观光塔的高度（结果精确到）． 【答案】丝绸之路观光塔的高度约为 【分析】先由题中描述得到四边形为矩形，由矩形性质得到，，，则，在和中，由正切函数定义列式，根据建立方程求解即可． 【详解】解：由题可得四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，，则， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：丝绸之路观光塔的高度约为． 21．（本题9分）同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． (1)请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． (2)如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 【答案】(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是；真 (2)选择想法一：如图， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 选择想法二：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择想法三：如图， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）将原命题改写为“如果……，那么……”的形式，再调换条件和结论，即为逆命题，并判断真假即可； （2）结合（1）可知，需要证明的命题为，“在中，，若，求证：”．对于想法一，由直角三角形的性质容易证明是等边三角形，从而得到；对于想法二，利用垂直平分线的性质可得，，，，容易证明，从而得到，则；对于想法三，由轴对称的性质容易证明是等边三角形，从而得到． 【详解】（1）解：原命题可改写为：“在直角三角形中，如果有一个角为，那么其所对的直角边等于斜边的一半”， ∴逆命题为：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是”，这是一个真命题； （2）略 22．（本题13分）如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线AB上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在，点 、点 或点 、点 【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的交点求出反比例函数表达式，将点代入反比例函数中，求出点的坐标，再利用点点待定系数法求出直线的解析式； （2）利用一次函数解析式求出点的坐标，再利用坐标的特点求出的面积，再利用三角形的中线平分三角形的面积求解； （3）过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，构造一线三等角得到，利用相似比分类讨论，求得点的坐标，利用中点公式求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， 将点代入，解得， ∴反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 设直线的表达式为， 将点，点分别代入表达式，得， 解得， ∴直线的表达式为：． （2）解：连接OA、OB， 令，则，解得，即点， 则， 点为线段中点， ， 则； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，，， 过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，点， ∴线段中点的坐标为，即， ∵四边形为倍边矩形， ∴点是线段的中点， ①当和的相似比为1：2时， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点； 即点、点； ②当和的相似比为2：1时， 设，， 则，， 则且 解得：，， 则点、点 综上，点、点或点、点． 23．（本题13分）九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小北将如图所示的矩形纸片（）进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若将图1中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，交于点，交于点，若，，求的长． (3)如图3，（优弧）与（优弧）关于直线对称，，点是（优弧）上的一个动点，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， 矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形； (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形即可； （2）连接，，，与交于点，证明，得出，求出，，同理可得：，求出，从而得出，证明为直角三角形，得出，即可得出答案； （3）取（优弧）所在圆的圆心O，作点O关于的对称点，则点为（优弧）所在圆的圆心，连接，交于点M，过点M作于点N，过点O作于点G，延长交于点H，连接，，，，与于点，先求出，再求出，， 以点C为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据两点间距离公式求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，，与交于点， 在矩形中，，， 根据解析（1）可得：四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 矩形纸片沿中点P所在直线进行折叠， 垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由矩形纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处， 得，， ， 垂直平分， ， ， ， ． ， ． ， ，即， 为直角三角形． 点P为的中点， ， ∴； （3）解：取（优弧）所在圆的圆心O，作点O关于的对称点，则点为（优弧）所在圆的圆心，连接，交于点M，过点M作于点N，过点O作于点G，延长交于点H，连接，，，，与于点，如图所示： 在矩形中，，， 根据解析（1）可得：四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 根据轴对称可得：，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 如图，以点C为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∴点O的坐标为，点M的坐标为，， 根据中点坐标公式得点的坐标为：，即点， ∴， ∵点是（优弧）上的一个动点， ∴当点R运动到时，最小，且最小值为：． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $