江苏省苏州市苏州工业园区景城学校2025-2026学年第二学期八年级数学5月学情自测试题

**基本信息** 以“梦舟”飞船、AI教育、黄金分割汉字等时代与文化情境为载体，融合统计、函数、几何变换等知识，考查数学眼光（抽象能力、几何直观）、思维（推理能力）与语言（数据意识、模型意识），适配八年级月考能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|抽样调查、比例尺、菱形折叠等|第1题结合科技热点考查抽样调查，第8题动态折叠体现空间观念| |填空题|8/16|频数频率、黄金分割、相似动点等|第12题以汉字结构考黄金分割，第15题双动点相似渗透分类思想| |解答题|9/68|方程求解、统计图表、旋转综合等|24题利润问题建立模型意识，26题旋转综合考查推理与创新意识|

2025-2026学年第二学期随堂练习试卷 八年级数学学科 2026年5月 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列调查中，最适合抽样调查的是（　　） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 2．在比例尺为1：40000的地图上，A，B两地的距离为2.5cm，则A，B两地的实际距离为（　　） A．1m B．100m C．10m D．1000m 3．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 4．如图，▱ABCD的边CD在x轴上，沿x轴正方向将▱ABCD平移到▱A′B′C′D′的位置．点C的坐标为（b，0），点C′的坐标为（a，0），则点A平移的距离为（　　） A．a B．b C．a﹣b D．b﹣a 5．将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQNQ D． 6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．2 B． C．3 D． 7．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D． 8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为0.2，则第六组的频率是 　 　 ． 10．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE＝4，则OF＝　 　 ． 11．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是 　 　 ． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“苏”．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边MN、PQ上，且AB∥NP，“苏”字的笔画“丨”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则AC的长为　 　 cm（结果保留根号）． 13．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　（用“”号连接） 14．设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过　 　 s，△PBQ与△ABC相似． 16．如图，直线y＝kx与双曲线相交于点A、B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝90°．点D在双曲线上，线段CD的中点E也在双曲线上．若AC平分∠OCD，S△ACD＝18，则n＝ 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答） 17．（本题满分6分）解方程： （1）x2＝4x； （2）2x2﹣5x+2＝0． 18．（本题满分5分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段d＝2c，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 19．（本题满分5分）2026年我国AI行业发展迅猛，苏州作为创新名城，AI教育普及率领先．为了解AI软件的使用情况，苏州市某中学数学活动小组随机抽取了学校部分师生进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为　 　 人； （2）在扇形统计图中，A类AI软件部分所对应的扇形圆心角度数是　 　 °； （3）某校全年级师生共2000人，请估计其中使用情况占比最少的AI软件的人数大约是多少？ 20．（本题满分6分）甲、乙两人分别从A，B，C三个检票通道中随机选择一个通道进入游乐园． （1）甲选择A检票通道的概率是 　 　 ． （2）求甲、乙选择同一个检票通道的概率． 21．（本题满分6分）已知线段AC和线段a． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：以线段AC为对角线，作菱形ABCD，使得菱形ABCD的边长为a（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）在上述所作图中，若AC＝24，a＝13，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 22．（本题满分6分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE∽△ACD． 23．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； （2）若等腰△ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 24．（本题满分8分）因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T恤，已知这种T恤的进价为40元一件．经市场调查，当售价为60元时，每天大约可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件．在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T恤的销售单价定为多少元？ 25．（本题满分8分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于A、B两点，若已知A（﹣2，n），B（6，﹣1）． （1）分别求一次函数与反比例函数的关系式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集 　 　 ； （3）点P（0，a）为y轴上一点，若△APB的面积为10，求a的值． 26．（本题满分10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N． （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为AB的中点时，四边形AMDN的形状是　 　 ； （2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，求线段AN的长． 参考答案与试题解析 1．下列调查中，最适合抽样调查的是（　　） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 【解答】解：A、调查某校足球队员的身高，调查范围小，适合全面调查，不适合采用抽样调查，不符合题意； B、调查旅客随身携带的违禁物品，事关安全，必须进行全面调查，不适合采用抽样调查，不符合题意； C、调查某班学生完成眼保健操执行的情况，调查范围小，适合全面调查，不适合采用抽样调查，不符合题意； D、调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度，调查范围广，普查难度大，最适合采用抽样调查，符合题意． 故选：D． 2．在比例尺为1：40000的地图上，A，B两地的距离为2.5cm，则A，B两地的实际距离为（　　） A．1m B．100m C．10m D．1000m 【解答】解：2.5100000（cm）＝1000（m）． ∴A，B两地的实际距离为1000m． 故选：D． 3．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【解答】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件． 故选：C． 4．如图，▱ABCD的边CD在x轴上，沿x轴正方向将▱ABCD平移到▱A′B′C′D′的位置．点C的坐标为（b，0），点C′的坐标为（a，0），则点A平移的距离为（　　） A．a B．b C．a﹣b D．b﹣a 【解答】解：∵点C的坐标为（b，0），点C′的坐标为（a，0）， ∴CC′＝a﹣b， ∴点A平移的距离为a﹣b． 故选：C． 5．将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQNQ D． 【解答】解：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC， ∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意； ∴△ADE∽△ACB∽△AMN， ∴，， ∴BC＝2DE，DE＝2MN， ∴BC＝4MN， ∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意； ∵MN∥PQ∥BC， ∴，，， ∴，，故C正确，不符合题意； ∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：根据题意，得：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＞0， 解得k， 故选：A． 7．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°， 又∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG（AAS）， ∴AD＝BD， 同理：AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝1， 故选：B． 8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，过点F⊥CB于点H，如图所示： ∴∠T＝90°， ∴△ABT是直角三角形， ∵四边形ABCD是菱形，且AB＝12， ∴AD＝AB＝12，AD∥CB， ∴DF＝AD﹣AF＝12﹣AF， ∴当AF为最小时，12﹣AF为最大， 即DF为最大， 由折叠性质得：AF＝MF， ∴当MF为最小时，DF为最大， 根据“垂线段最短”得：MF≥FH， ∴当点M与点H重合时，MF为最小，最小值为线段FH的长， ∴AF的最小值为线段FH的长， ∵AD∥CB，FH⊥CB，AT⊥CB， ∴根据“平行线间的距离处处相等”得：AT＝FH， ∴AF的最小值为线段AT的长， ∵AD∥CB，∠BAD＝60°， ∴∠ABT＝∠BAD＝60°， 在Rt△ABT中，AB＝12，∠BAT＝90°∠ABT＝30°， ∴BTAB＝6， 由勾股定理得：AT， ∴AF的最小值为， 此时DF的最大值为． 故选：B． 9．已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为0.2，则第六组的频率是 　0.1　 ． 【解答】解：因为共有40个数据，且第五组的频率为0.20，所以第五组的频数为0.2×40＝8； 则第六组的频数为40﹣（8+7+7+6+8）＝4，所以第六组的频率为0.1． 故答案为：0.1． 10．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE＝4，则OF＝　4　 ． 【解答】解：∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵点E为BC的中点， ∴， ∴BC＝2AE＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， 又∵点F为CD的中点， ∴； 故答案为：4． 11．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是 　0　 ． 【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2）， ∴y1，y2， ∴y1+y2＝0． 故答案为：0． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“苏”．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边MN、PQ上，且AB∥NP，“苏”字的笔画“丨”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则AC的长为　（3）　 cm（结果保留根号）． 【解答】解：由题意可知，AB＝NP＝2cm， ∵“苏”字的笔画“丨”的位置在AB的黄金分割点C处，且， ∴BCAB2＝（1）（cm）， ∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（1）＝（3）（cm）， 故答案为：（3）． 13．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　y1＜y3＜y2　） 【解答】解：∵反比例函数中，k＝a2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上， ∴点A（﹣1，y1）在第三象限，点B（2，y2），C（3，y3）在第一象限， ∴y1＜0，y2＞y3＞0， ∴y1＜y3＜y2． 14．设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为　2025　 ． 【解答】解：由条件可知a2+a﹣2026＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2026， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026﹣1＝2025． 故答案为：2025． 15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过　4或　 s，△PBQ与△ABC相似． 【解答】解：①设经过ts，△PBQ∽△ABC， ∴， 即， 解得t＝4． ∴经过4s，△PBQ∽△ABC． ②设经过ts后，△PBQ∽△CBA， ∴， 即， 解得， ∴经过，△PBQ∽△CBA． 综上，经过4s或，△PBQ与△ABC相似． 故答案为：4或， 16．如图，直线y＝kx与双曲线相交于点A、B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝90°．点D在双曲线上，线段CD的中点E也在双曲线上．若AC平分∠OCD，S△ACD＝18，则n＝ 　﹣12　 ． 【解答】解：如图：分别过点E，D作EF⊥CO，DM⊥CO，连接DF，DO， 双曲线y是中心对称图形且直线y＝kx与双曲线y相交于点A、B， ∴AO＝BO， ∵∠ACB＝90°， ∴AO＝BO＝CO， ∴∠ACO＝∠DAC ∵AC平分∠OCD， ∴∠DCA＝∠ACO， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AO∥CD， ∴S△OCD＝S△ACD＝18， 设点D（a，b）， 即MD＝b，MO＝|a|， ∵点E是线段CD的中点，EF⊥CO，DM⊥CO， ∴EF∥DM， ∴1， ∴EF是△CMD的中位线， ∴E， ∵点D，点E在双曲线y（x＜0）上， ∴n＝ab，， ∴点E的横坐标为x＝2a， ∴，即FO＝|2a|， ∴MO＝FM＝|a|，即CF＝FM＝MO， ∴，即 ， ∴|a|b＝12， ∵D在第二象限内， ∴ab＝﹣12， ∴n＝﹣12， 故答案为：﹣12． 17．解方程： （1）x2＝4x； （2）2x2﹣5x+2＝0． 【解答】解：（1）x2＝4x， x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4； （2）2x2﹣5x+2＝0， （2x﹣1）（x﹣2）＝0， 2x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1，x2＝2． 18．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段d＝2c，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【解答】解：（1）设， 则a＝3k，b＝2k，c＝6k， 所以，3k+2×2k+6k＝26， 解得k＝2， 所以，a＝6，b＝4，c＝12； （2）∵线段d＝2c， ∴d＝2×12＝24， ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴x2＝ad＝6×24＝144， ∴x＝12． 19．2025年我国AI行业发展迅猛，南京作为创新名城，AI教育普及率领先．为了解AI软件的使用情况，南京市某中学数学活动小组随机抽取了学校部分师生进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为　400　 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A类AI软件部分所对应的扇形圆心角度数是　90　 °； （4）某校全年级师生共2000人，请估计其中使用情况占比最少的AI软件的人数大约是多少？ 【解答】解：（1）本次被调查的师生共：80÷20%＝400（人）， 故答案为：400； （2）E等级的人数为：400﹣100﹣80﹣40﹣60＝120（人）， 补全条形统计图： （3）“A”部分所对应扇形的圆心角度数是360°90°， 故答案为：90； （4）2000200（人）， 答：全年级师生共2000人，其中使用情况占比最少的AI软件的人数大约是200人． 20．甲、乙两人分别从A，B，C三个检票通道中随机选择一个通道进入游乐园． （1）甲选择A检票通道的概率是 　　 ． （2）求甲、乙选择同一个检票通道的概率． 【解答】解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道， ∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况． ∴P（选择A）． 故答案为：； （2）由题意列树状图得， 由图可以看出， 甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况， 其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种， ∴P（甲乙两人选择的通道相同）． 21．已知线段AC和线段a． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：以线段AC为对角线，作菱形ABCD，使得菱形ABCD的边长为a（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）在上述所作图中，若AC＝24，a＝13，则菱形ABCD的面积为　120　 ． 【解答】解：（1）如图，任意作射线AM，以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，交射线AM于点C，再作线段AC的垂直平分线，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，分别交线段AC的垂直平分线于点B，D，连接AB，BC，AD，CD， 则菱形ABCD即为所求． （2）设AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2OB，OA12． ∵a＝13， ∴AB＝13， ∴OB5， ∴BD＝10， ∴菱形ABCD的面积为120． 故答案为：120． 22．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE∽△ACD． 【解答】证明：（1）∵， ∴△ABC∽△AED， ∴∠CAB＝∠DAE， ∴∠CAB﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF， ∴∠1＝∠2； （2）∵， ∴， 又由（1）知，∠1＝∠2， ∴△ABE∽△ACD． 23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； （2）若等腰△ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2） ＝k2+2k+1﹣8k+8 ＝k2﹣6k+9 ＝（k﹣3）2 ∵任何实数的平方都大于等于0，即（k﹣3）2≥0， ∴无论k取任何实数值，Δ≥0，方程总有两个实数根； （2）解方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0： 因式分解得：（x﹣2）（x﹣k+1）＝0， 解得x1＝2，x2＝k﹣1， 分情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：腰长2，底边长为k﹣1， 周长为2+2+（k﹣1）＝7，解得k＝4， 此时三边长为2，2，3，满足三角形三边关系， 情况2：腰长k﹣1，底边长为2， 周长为2+（k﹣1）+（k﹣1）＝7，解得k＝3.5， 此时三边长为，，2，周长为7满足三角形三边关系， ∴k＝4或3.5． 24．因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T恤，已知这种T恤的进价为40元一件．经市场调查，当售价为60元时，每天大约可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件．在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T恤的销售单价定为多少元？ 【解答】解：设应将这种T恤的销售单价定为x元/件，则每天大约可卖出[300+20（60﹣x）]件， 根据题意得：（x﹣40）[300+20（60﹣x）]＝6080， 整理得：x2﹣115x+3304＝0， 解得：x1＝56，x2＝59． ∵鼓励大量销售， ∴x＝56． 答：应将这种T恤的销售单价定为56元/件． 25．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于A、B两点，若已知A（﹣2，n），B（6，﹣1）． （1）分别求一次函数与反比例函数的关系式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集 x＜﹣2或0＜x＜6　 ； （3）点P（0，a）为y轴上一点，若△APB的面积为10，求a的值． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于A、B两点，若已知A（﹣2，n），B（6，﹣1）， ∴k＝﹣2n＝﹣6， ∴k＝﹣6，n＝3， ∴反比例函数解析式为y， ∵A（﹣2，3），B（6，﹣1）在一次函数图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y2； （2）由函数图象可知不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜6； 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜6； （3）如图，直线AB交y轴于点C， 由条件可知C（0，2），则PC＝|a﹣2|， ∴S△PAB＝S△APC+S△BPC10， 解得a或． 26．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N． （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为AB的中点时，四边形AMDN的形状是　矩形　 ； （2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，求线段AN的长． 【解答】解：（1）四边形AMDN是矩形，理由如下： ∵点D是BC的中点，点M是AB的中点， ∴MD∥AC， ∴∠A+∠AMD＝180°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠AMD＝90°， ∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°， ∴四边形AMDN是矩形； 故答案为：矩形； （2）如图，过点N作NG⊥CD于G， ∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC10， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD＝5， ∵∠MDN＝90°＝∠A， ∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠CDN＝90°， ∴∠CDN＝∠C， ∴DN＝CN， 又∵NG⊥CD， ∴DG＝CG， ∵cosC， ∴， ∴CN； （3）如图，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H， ∵AM＝AN，∠MAN＝90°， ∴∠AMN＝∠ANM＝45°， ∵∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴点A，点M，点D，点N四点共圆， ∴∠ADN＝∠AMN＝45°， ∵NH⊥AD， ∴∠ADN＝∠DNH＝45°， ∴DH＝HN， ∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°， ∴AD＝CD＝5， ∴∠C＝∠DAC， ∴tanC＝tan∠DAC， ∴AHHN， ∵AH+HD＝AD＝5， ∴DH＝HN，AH， ∴AN． 解法二：如图，延长MD到T，使得MD＝DT，连接NT，CT． 设AM＝AN＝a．证明CT＝BM＝6﹣a，NM＝NTa，∠NCT＝90°， 由NT2＝CN2+CT2， 可得（a）2＝（8﹣a）2+（6﹣a）2， 解得a，即AN． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $