精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星港学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷

2024-2025学年第二学期5月单元练习试卷 八年级数学学科 一、选择题 1. 垃圾分类人人有责．下列垃圾分类标识是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】A. 不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C. 不是中心对称图形，不符合题意； D. 不是中心对称图形，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 苏州市区今年共有25000名考生参加中考，为了了解这25000名考生的体育成绩，从中抽取了1000名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 25000名考生是总体 C. 1000名考生的体育成绩是总体的一个样本 D. 样本容量是1000名考生 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目． 【详解】解：苏州市区今年共有25000名考生参加中考，为了了解这25000名考生的体育成绩，从中抽取了1000名考生的体育成绩进行统计分析， A．该调查方式是抽样调查，故A不符合题意； B.25000名考生的体育成绩是总体，故B不符合题意； C.1000名考生的体育成绩是总体的一个样本，故C符合题意； D．样本容量是1000，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相垂直 C. 邻边垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质逐项排查即可． 【详解】解：A. 对角相等是平行四边形的性质，矩形和菱形都具有，故该选项不符合题意； B. 对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意； C. 邻边垂直是矩形具有，菱形不具有的性质，故该选项符合题意； D. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质,掌握矩形和菱形的性质的区别与联系是解答本题的关键． 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法可以解答本题． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解答本题的关键是掌握解一元二次方程的方法-配方法． 5. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在平面内绕点旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为． 故选：C． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利用勾股定理求得的长度，继而可得出的长度，根据相似三角形的性质求出的长度，最后即可求出的周长． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， 为的角平分线， ， ，，， ，，都是等腰三角形， 又，， ，， ． ，， 由勾股定理可得：， ， ， ． ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，比较麻烦，解题的关键是掌握性质的运用． 7. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解． 【详解】解：如图2， 先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为： 39+（）2×4＝39+25＝64， ∴该方程的正数解为 ﹣×2＝3． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程﹒ 8. 如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．设交于点，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，接着证明，，得到 ，，则，即，再证明，得到，即，再求解即可． 【详解】解：设交于点，如图， ，，， ， ， ， 将绕着边上的点旋转得到， ，，，， ， ，， ，， ，， ， 即， ， ， ， ，即， 解得． 故选：C 二、填空题 9. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据题意设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 设， ∴ 故答案为：． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想． 把代入方程，整理得，把所求的代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的一个根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 11. 已知线段AB＝8cm，点C是AB的黄金分割点，且，那么线段AC的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可． 【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，解题的关键是掌握如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据题意，得到，列出不等式进行求解即可，熟练掌握根的判别式与根的情况，进行判断即可． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 已知，的面积与的面积的比值是，分别是它们对应边上的中线，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由相似三角形的面积比可得相似比，再根据对应边上的中线之比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，的面积与的面积的比值是， ∴相似比为， ∵分别是它们对应边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答． 【详解】解：平行四边形中， ∴，，O是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为1． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数（）的图象经过OA的中点C，交于点D，连接．若的面积是1，则k的值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接OD，过C作，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论． 【详解】解：连接OD，过C作，交x轴于E， ∵∠ABO＝90°，反比例函数（x＞0）的图象经过OA的中点C，， ∴，，2OC=OA， ∵， ∴△OCE∽△OAB， ∴， ∴， ∴， ∴k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质． 16. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，当E点在AT上时取等号， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； （1）直接开平方，可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可； （2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，． 18. 为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为___________人；扇形统计图中，所对应的扇形圆心角度数为___________； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）估计“：完全了解”的学生人数是人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用乘以所占比即可求出对应的扇形圆心角度数； （2）用总数减去的人数即可求出的人数，即可补全图形； （3）用数乘以选择“：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（人），所对应的扇形圆心角度数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：的人数为（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计“：完全了解”的学生人数是人． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根． （2）设方程的两根分别是，，若满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到△，利用非负数的意义得到△，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，，再根据列出方程，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 证明： ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2详解】 根据题意得，， ， ， 解得， 的值为2． 20. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； 【小问2详解】 如图，在中，，，， ，， 四边形菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C． （1）求k2，n的值； （2）请直接写出不等式k1x+b＞解集； （3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A'B、A'C，求△A'BC的面积． 【答案】（1）k2＝﹣6，n＝3；（2）x＜﹣2或0＜x＜3；（3）△A'BC的面积为6． 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入y＝求得k2，然后代入B（−2，n）即可求得n； （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题； （3）求出对称点坐标，根据S△A'BC＝S△A'AB-S△A'AC即可求面积． 【详解】（1）将A（3，﹣2）代入y＝，得k2＝﹣6． ∴y＝﹣， 将（﹣2，n）代入y＝﹣，求得n＝3． ∴k2＝﹣6，n＝3； （2）根据函数图象可知：不等式k1x+b＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜3； （3）如图，将A（3，﹣2），B（﹣2，3）代入y＝k1x+b，得k1＝﹣1，b＝1， ∴一次函数的关系式为y＝﹣x+1， 与x轴交于点C（1，0） ∴图象沿x轴翻折后，得A′（3，2）， S△A'BC＝S△A'AB-S△A'AC＝（3+2）×4﹣×4×（3﹣1）＝6 ∴△A'BC的面积为6． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题． 22. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 23. 第19届亚运会原定于2022年9月10日至25日在杭州举行，其吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款．某商场销售这种毛绒玩具，平均每天可售出50套，每套盈利60元．但由于受疫情影响，此届亚运会将延期至2023年举行，于是该商场决定采取降价措施，以尽快减少库存，经调查发现，每套毛绒玩具每降价1元，平均每天可多售出2套． （1）若每套毛绒玩具降价5元，则该商场平均每天可盈利多少元？ （2）若该商场计划平均每天盈利3500元，则每套毛绒玩具应降价多少元？ 【答案】（1）3300元 （2）25元 【解析】 【分析】（1）根据“平均每天可售出50套，每套盈利60元，每套毛绒玩具每降价1元，平均每天可多售出2套”解答即可； （2）设每套毛绒玩具应降价元，销售数量为件，利润为：元，从列方程即可求解． 【小问1详解】 （元） 答：该商场平均每天可盈利3300元． 【小问2详解】 设每套毛绒玩具应降价元，由题意，得： 解之，得：，， ∵该商场是为了尽快减少库存， ∴， 答：该商场每套毛绒玩具应降价25元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列方程． 24. 定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形． （1）若是有趣三角形，，，则______； （2）已知等腰的周长为10，若是有趣三角形，求的腰长； （3）如图，在中，，点，在边上，且是以为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形． 【答案】（1）6 （2）等腰三角形的腰长为4 （3）由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形，证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据有趣三角形的定义分类计算即可； （2）：设等腰三角形腰为a，底为b,，根据等腰的周长为10，得出2a+b=10，根据是有趣三角形，得出a=2b，组成方程组，解方程组即可； （3）根据等腰直角三角形得出．∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，根据勾股定理得出DE2=2CD2=2CE2，然后证明△ADC∽△CDB，得出即可． 【小问1详解】 解：是有趣三角形，，， 分三种情况： 当AC2=2AB·BC， ∴；3+6＞6此时成立； 当AB2=2AC·BC， ∴； ∵，此时不能构成三角形，舍去； 当BC2=2AC·AB， ∴； ∵， 综合AC=6， 故答案为6； 【小问2详解】 解：设等腰三角形腰为a，底为b， ∵等腰的周长为10， ∴2a+b=10， ∵是有趣三角形， ∴a2=2ab， ∴a=2b， ∴， 解得， ∴等腰三角形的腰长为4； 【小问3详解】 证明：∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，DE2=2CD2=2CE2， ∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∠CEB=180°-∠CED=135°， ∴∠ADC=∠CEB=， ∴∠A+∠B=45°，∠B+∠BCE=∠CED=45°， ∴∠A=∠BCE， ∴△ADC∽△CDB， ∴， 即， ∴， ∴DE2=2CE2=2AD·BE， ∴由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形． 【点睛】本题考查新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键． 25. （1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则， ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或．     第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期5月单元练习试卷 八年级数学学科 一、选择题 1. 垃圾分类人人有责．下列垃圾分类标识是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 苏州市区今年共有25000名考生参加中考，为了了解这25000名考生的体育成绩，从中抽取了1000名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 25000名考生总体 C. 1000名考生的体育成绩是总体的一个样本 D. 样本容量1000名考生 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相垂直 C. 邻边垂直 D. 对角线互相平分 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 7. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9 若，则___________． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 11. 已知线段AB＝8cm，点C是AB的黄金分割点，且，那么线段AC的长为____________cm． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是_______． 13. 已知，的面积与的面积的比值是，分别是它们对应边上的中线，且，则______． 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数（）的图象经过OA的中点C，交于点D，连接．若的面积是1，则k的值是_________． 16. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为_________． 三、解答题 17. 用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 18. 为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为___________人；扇形统计图中，所对应的扇形圆心角度数为___________； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“：完全了解”的学生人数是多少？ 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根． （2）设方程的两根分别是，，若满足，求m的值． 20. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C． （1）求k2，n的值； （2）请直接写出不等式k1x+b＞的解集； （3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A'B、A'C，求△A'BC的面积． 22. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求长． 23. 第19届亚运会原定于2022年9月10日至25日在杭州举行，其吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款．某商场销售这种毛绒玩具，平均每天可售出50套，每套盈利60元．但由于受疫情影响，此届亚运会将延期至2023年举行，于是该商场决定采取降价措施，以尽快减少库存，经调查发现，每套毛绒玩具每降价1元，平均每天可多售出2套． （1）若每套毛绒玩具降价5元，则该商场平均每天可盈利多少元？ （2）若该商场计划平均每天盈利3500元，则每套毛绒玩具应降价多少元？ 24. 定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形． （1）若是有趣三角形，，，则______； （2）已知等腰的周长为10，若是有趣三角形，求的腰长； （3）如图，在中，，点，在边上，且是以为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形． 25. （1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $