奥数：第12讲 空间想象力小升初综合（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

小学六年级下册数学奥数：第12讲 空间想象力小升初综合

📚一、知识点总结

1. 正方体挖洞表面积：挖洞时，若只向内逐层挖掘，外表面积可能保持不变，但会新增洞壁的侧面积。
2. 多面体拓扑计数：利用欧拉公式及拼接规律，计算复杂多面体的面、棱、顶点数量。
3. 立体 + 数论推理：结合连续自然数的整除特性（如除以3的余数），判断几何体染色的可能性。
4. 方格相邻染色最值：在相邻区域不同色的约束下，求特定颜色区域的最大数量。
5. 长方体多面染色切块最值：计算染色长方体切分后，仅有一面染色的小正方体最大数量。
6. 立体构造动手思维：利用平面图形折叠覆盖立体表面的设计。

🧩二、经典例题

【例题 1】正方体挖洞与表面积变化

题目：一个棱长为 2 厘米的正方体，在上面正中间向下挖一个边长 1 厘米的正方体小洞；接着在小洞底面正中再向下挖一个边长 厘米的小洞；第三层再挖边长 厘米的小洞。求最后立体图形的表面积。

解析：

①原正方体表面积：先计算未挖洞时的总表面积。

②挖洞的影响：

每向下挖一个正方体小洞，上表面减少的面积与下表面新增的面积相等，因此外表面积保持不变。

每挖一层，会额外增加小洞内壁的侧面积（4 个侧面）。

③逐层累加侧面积：将三层小洞的侧面积相加，再加上原正方体表面积，得到最终总表面积。

解：

①计算原正方体的表面积

②计算各层小洞的侧面积

第一层（边长 1 厘米）：
侧面积：

第二层（边长厘米）：
侧面积：

第三层（边长厘米）：
侧面积：

③计算最终立体图形的总表面积

答案：

【例题 2】多面体拓扑计数

题目：由正方形、三角形纸片围成一个多面体，数出面数、棱数、顶点数，求面数 + 棱数 + 顶点数的和。

解：

①数面数

从展开图可以直接数出：

正方形面：共 12 个

三角形面：共 8 个

总面数：

②计算棱数

先算展开图中所有边的总数：

12 个正方形： 条边

8 个三角形： 条边

展开图总边数： 条

折叠成多面体时，每两条边会重合为一条棱，因此：
 

③计算顶点数

方法一：利用欧拉公式验证
对于简单多面体，有欧拉公式：
代入已知的面数和棱数：
解得：
 

方法二：边数法
多面体中，每条棱连接 2 个顶点，因此所有顶点的度数之和等于棱数的 2 倍：
这个多面体的每个顶点都是由 4 个面交汇而成（每个顶点处有 4 条棱），所以：