专项12 图形与周长问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——图形与周长问题 10种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌ 基本图形周长计算公式 平面图形周长：指围绕平面图形一周的长度之和。 【平移法求周长】有两个相同的长方形，长是10厘米，宽是4厘米，如果把它们按下图重叠在一起，重叠后图形的周长是多少厘米? 【思维点拨】 如下图所示，通过平移把原来图形转化为一个正方形的周长。 【解答】10×4=40（厘米） 1.求下面图形的周长 2.下图是由3个边长为6厘米的正方形重叠而成的图形，求这个图形周长。 3.求下面图形的周长。 【整体法求周长】在长方形ABCD中，已知阴影部分是正方形，FB=3厘米，DE=5厘米。求长方形ABCD的周长。 【思维点拨】本题无法求出长方形的长与宽的长度，但是长于宽之和可以求出，即可以先求出整体：“长+宽”。因为FB=BC+EC,长+宽=DE+EC+BC=5+3=8厘米，再求出周长即可。 【解答】（5+3）×2=16（厘米） 1.已知圆的周长为24厘米且圆的面积等于长方形OABC的面积，求阴影部分的周长。 2.如图所示，在长方形ABCD中，AB=120厘米，截去一个正方形EBCF后，求剩下的长方形AEFD的周长。 3. 如下图,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH,中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2,求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。 【转换法求周长】下图是由三个半圆组合而成的图形，求阴影部分周长。（单位：cm） 【思维点拨】如果采用拆解法分别求出三条弧的长度后再相加，则计算量较大。可以采用转化法进行计算，因为两条小弧的直径之和等于大弧的直径，所以两条小弧的长度与大弧的长度相等。所以阴影部分周长可以转化为一个大圆的周长计算即可。 【解答】 C=πd=3.14×（6+4）=31.4（厘米） 1. 在下面四个相等的圆中，阴影部分周长（ ）。 A.相等 B.不相等 C.无法确定 2.四个相等的圆两两相切，已知每个圆的半径是2厘米，求阴影部分周长。 3.求下面图形阴影部分周长。 【拆解法求周长】求阴影部分周长。（单位:cm） 【思维点拨】本题可以把阴影部分周长利用拆解法（如下图所示）拆解为三部分再进行计算即可。 【解答】 小圆周长+大圆周长的四分之一或相当于1.5个小圆周长。 π×12×1.5=56.52（厘米） 1.已知半圆的半径长5分米，求阴影部分周长。 2.在直角扇形中，两个半圆的直径为4厘米，求阴影部分周长。 3.把一个直角三角形ABC绕点A旋转90°，已知三角形ABC的三条边的长度分别为6厘米、8厘米、10厘米。求三角形扫过的阴影部分的周长。 【组合法求周长】求下面图形的周长。（单位：cm） 【思维点拨】观察发现上图周长由三条线段和一条弧组成，所以其周长为三条线段长度加上圆周长的一半即可。 【解答】 4×3+3.14×4=24.56（厘米） 1.求下面图形阴影部分的周长。 2.求下面图形的周长。 【内外计算法】求下面圆环的周长（阴影部分周长） 【思维点拨】本题为圆环周长，观察发现其周长为外圆周长加上内圆周长。 【解答】 2×3.14×（5+8）=3.14×26=81.64（厘米） 1.求下面图形阴影部分周长。（单位：厘米） 2.在边长为4厘米的正三角形中，有三个相同的扇形，求阴影部分周长。 3.下面是汽车雨刮器所扫过的阴影，求阴影部分周长。 【拆解重组法求周长】为运输方便，把三根木料用绳子捆扎在一起，求绳子长度。（接头忽略不计） 【思维点拨】如图所示，绳子的长度可以划分为3条线段和3条弧，每一条弧所对应的圆心角为120°，所以3条弧组合为1个圆的周长；每条线段的长度相当于一条直径长度。 【解答】 2×3.14×6+（6×2）×3=73.68（厘米） 1.下面是7个半径为4分米的圆形木料，按下图方式用绳子捆扎在一起，求绳子的长度。（接头忽略不计） 2. 为运输方便，把四根木料按下图方式用绳子捆扎在一起，已知一个木料的直径为10厘米，求绳子长度。（接头忽略不计） 3.已知小正方形的边长为2厘米，求阴影部分周长。 【方程法求周长】下图是由9个正三角形组成的图形，其中最小的白色三角形的边长是1厘米，求这个组合图形的周长。 【思维点拨】可以设①号三角形的边长为a，则②③号三角形的边长为a+1，④号三角形边长为,a+2，⑤号三角形边长为a+3。又因为⑤号三角形边长等于①号三角形的边长的2倍，得到方程2a=a+3，解得a=3厘米。在分别求出个三角形边长及整个图形的周长。 【解答】 解：设①号三角形的边长为a，则⑤号三角形边长为a+3，得出方程： 2a=a+3，得a=3（厘米） 所以①③④⑤三角形边长分别为3、4、5、6厘米 组合图形的周长为3+3+4+4+5+5+6=30（厘米） 1.下图是由20个正三角形组成的图形，其中最小三角形的边长是1厘米，求这个六边形ABCDEF的周长。 2.10个相同的长方形拼成一个面积为30平方厘米的大长方形。求这个大长方形的周长。 【滚动法求弧长】如图所示，把一个长方形在直线上滚动2次，求A点经过的路径的长度。（单位：厘米） 【思维点拨】如下图所示，第1次滚动A点所经过的弧是以4厘米为半径的90°的弧，第2次是以5厘米为半径的90°的弧。 【解答】 2π（4+5）÷4=14.13（厘米） 1.把一个边长为1厘米的等边三角形在直线上滚动3次，求点A经过的路径的长度。 2.求下面螺线长度。（单位：厘米） 3.已知正方形ABCD的边长为1厘米，求弧DEFGH的长度。 【添辅助线法球周长】已知正方形边长为4厘米，求四条弧围成的阴影部分的周长。 【思维点拨】如下图所示，因为AF=BE=AB,所以三角形ABF为正三角形，所以∠FAB=60°，∠DAF=30°=∠EAB，所以∠EAF=30°，再求出弧EF的长度×4即可。 【解答】弧EF×4=2π×4÷12×4=π（厘米） 满分：100分 时间：60分钟 一、求下列图形阴影部分的周长。（单位：厘米） 二、求下面图形的周长。（单位：厘米） 三、已知三角形ABC的面积是30平方厘米，内部一点P到各边的距离为2厘米，求三角形ABC的周长。 【巩固提升】参考答案 1.求下面图形的周长 【思维点拨】运用平移法把阴影部分周长转化为长方形的周长求解即可。 【解答】（5+8）×2=26（厘米） 2.下图是由3个边长为6厘米的正方形重叠而成的图形，求这个图形周长。 【思维点拨】运用平移法把阴影部分周长转化为正方形的周长求解即可。 【解答】6×2×4=48（厘米） 3.求下面图形的周长。 【思维点拨】通过平移法转化为一个长方形周长加上2条5厘米的线段，即阴影部分周长。 【解答】（15+12）×2+5×2=64（厘米） 1.已知圆的周长为24厘米且圆的面积等于长方形OABC的面积，求阴影部分的周长。 【思维点拨】本题考查圆转化为长方形推导圆面积公式，长方形的长相当于圆周长一半，宽等于半径。所以阴影部分的周长为AB+BC+CD+弧DA长度。 【解答】BC+CD等于AB，即圆周长一半 所以阴影部分周长相当于圆周长+圆周长四分之一。 24+24÷4=30（厘米） 2.如图所示，在长方形ABCD中，AB=120厘米，截去一个正方形EBCF后，求剩下的长方形AEFD的周长。 【思维点拨】因为EBCF为正方形，所以EB=EF,阴影部分周长为（AE+EF）×2=（AE+EB）×2=120×2 【解答】120×2=240（厘米） 3. 如下图,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH,中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2,求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。 【思维点拨】四边形ABCD的面积=S（甲+乙+丙+丁）÷2+阴影部分面积；即32÷2+阴影部分面积=20，所以阴影部分面积为20-32÷2=4（平方厘米），所以正方形EFGH的面积为32+4=36（平方厘米）=6×6，所以正方形EFGH的边长为6厘米。因为甲、乙、丙、丁四个长方形周长为正方形EFGH周长的2倍，即6×4×2=48（厘米）。 【解答】 阴影小正方形面积=20-32÷2=4（平方厘米） 正方形EFGH的面积=32+4=36（平方厘米）=6×6 正方形EFGH的边长为6厘米 甲、乙、丙、丁四个长方形的周长之和=6×4×2=48（厘米） 1. 在下面四个相等的圆中，阴影部分周长（ ）。 A.相等 B.不相等 C.无法确定 【思维点拨】在4个相等的圆中，四个阴影部分的周长都可以转化为大圆的周长，所以阴影部分周长相等 【解答】A 2.四个相等的圆两两相切，已知每个圆的半径是2厘米，求阴影部分周长。 【思维点拨】如下图所示，阴影部分周长可以转化为1.5个圆周长。 【解答】2π×2×1.5=18.84（厘米） 3.求下面图形阴影部分周长。 【思维点拨】阴影部分周长相当于一个大圆的周长。 【解答】2×3.14×4=25.12（厘米） 1.已知半圆的半径长5分米，求阴影部分周长。 【思维点拨】如下图所示，阴影部分可以拆解为一条半径+圆周长一半+大圆周长的八分之一。 【解答】5×2+3.14×5+2×3.14×（5×2）÷8=10+15.7+7.85=33.55（厘米） 2.在直角扇形中，两个半圆的直径为4厘米，求阴影部分周长。 【思维点拨】阴影部分周长可以拆解为2条弧+1条大弧长。 【解答】3.14×4+3.14×4×2÷4=18.84（厘米） 3.把一个直角三角形ABC绕点A旋转90°，已知三角形ABC的三条边的长度分别为6厘米、8厘米、10厘米。求三角形扫过的阴影部分的周长。 【思维点拨】如下图所示，阴影部分周长可以拆解为2条长8厘米的线段加上1条大弧和1条小弧长。 【解答】8×2+2×3.14×6÷4+2×3.14×10÷4=16+9.42+15.7=41.12（厘米） 1.求下面图形阴影部分的周长。 【思维点拨】阴影部分周长由2条弧+2条线段长度=圆周长+10×2。 【解答】 3.14×6+8×2=34.84（厘米） 2.求下面图形的周长。 【思维点拨】第一幅的阴影部分周长等于一个大圆周长；第二幅图阴影部分周长为一个大圆周长+2条边长；第三幅图阴影部分周长等于正方形周长+圆周长。 【解答】 （1）3.14×4=12.56（厘米） （2）12.56+4×2=20.56（厘米） （3）12.56+4×4=28.56（厘米） 1.求下面图形阴影部分周长。（单位：厘米） 【思维点拨】阴影部分周长可以拆解为正方形周长和圆周长 【解答】 12.56+4×4=28.56（厘米） 2.在边长为4厘米的正三角形中，有三个相同的扇形，求阴影部分周长。 【思维点拨】阴影部分周长可拆解丙重新组合为大三角形周长+圆周长的一半 【解答】 4×3+3.14×4÷2=18.28（厘米） 3.下面是汽车雨刮器所扫过的阴影，求阴影部分周长。 【思维点拨】阴影部分由2条90°的弧长+2条长30厘米的线段长。 【解答】40-30=10（厘米） 2×3.14×（10+40）÷4+30×2 =78.5+60 =138.5（厘米） 1.下面是7个半径为4分米的圆形木料，按下图方式用绳子捆扎在一起，求绳子的长度。（接头忽略不计） 【思维点拨】绳子长度=6条直径+一个小圆周长 【解答】 4×2×6+2×3.14×4 =48+25.12 =73.12（厘米） 2.为运输方便，把四根木料按下图方式用绳子捆扎在一起，已知一个木料的直径为10厘米，求绳子长度。（接头忽略不计） 【思维点拨】绳子长度可以划分为4条直径+1个小圆周长之和。 【解答】 10×4+3.14×10 =40+31.4 =71.4（厘米） 3.已知小正方形的边长为2厘米，求阴影部分周长。 【思维点拨】月牙周长可以划分为2条大弧长+4条小弧长=大圆周长一半+一个小圆周长。 【解答】 2×3.14×4÷2+2×3.14×2 =12.56+12.56 =25.12（厘米） 1.下图是由20个正三角形组成的图形，其中最小三角形的边长是1厘米，求这个六边形ABCDEF的周长。 【思维点拨】最小三角形的边长是1厘米，则EF=4厘米，DE=2厘米，AB=（4+2）÷2=3厘米，在求出六边形周长即可。 【解答】 EF=4（厘米） DE=2（厘米） AB=（4+2）÷2=3（厘米） 所以六边形ABCDEF的周长为4+3+3+3+4+2=19（厘米） 2.10个相同的长方形拼成一个面积为30平方厘米的大长方形。求这个大长方形的周长。 【思维点拨】观察图形，通过大长方形的第一层和第二层可以得出小长方形的长、宽之比为4:3，所以大长方形的长、宽之比为（4×3）：（3+4+3）=6:5.在通过长方形的面积可以求出大长方形的长为6厘米，宽为5厘米，周长为22厘米。 【解答】 小长方形长：宽=4:3 大长方形长：宽=（4×3）：（3+4+3）=6:5 大长方形面积为30平方厘米，30=6×5 所以大长方形的长为6厘米，宽为5厘米 大长方形的周长为（6+5）×2=22（厘米） 1.把一个边长为1厘米的等边三角形在直线上滚动3次，求点A经过的路径的长度。 【思维点拨】正三角形滚动一次。点A经过的路径为边长为圆心角120°，半径为1厘米的弧，滚动2次为2条弧，滚动3次还是2条弧。所以滚动3次为一个周期，每个周期为2条弧。 【解答】 2×π×1÷3×2=（厘米） 2.求下面螺线长度。（单位：厘米） 【思维点拨】螺线长度由6条90°的弧周长，每条弧所对应的半径分别是1厘米、1厘米、2厘米、3厘米、5厘米、8厘米。通过计算可以求出6条弧的长度之和。 【解答】 2×π×（1+1+2+3+5+8）÷4=10π（厘米） 3.已知正方形ABCD的边长为1厘米，求弧DEFGH的长度。 【思维点拨】弧DEFGH的长度由4条弧组成，分别求出4条弧的长度，再把4条弧的长度相加即可。 【解答】 2×π×（1+2+3+4）÷4=5π（厘米） 【综合测试】参考答案 一、求下列图形阴影部分的周长。（单位：厘米） 【思维点拨】阴影部分周长可以划分为3个部分（即3条弧）。 【解答】 2×π×4÷4+π×4=6π=18.84（厘米） 【思维点拨】阴影部分有2条弧组成。 【解答】 2×π×4÷4=2π=6.28（厘米） 【思维点拨】阴影部分周长4条线段加上1条弧组成。 【解答】 3+8+3+（8-6）+π×6÷2=16+3π=25.42（厘米） 【思维点拨】扇环的周长由四部分组成，2条线段和2条弧组成。 【解答】 2+2+2×π×（3+5）÷4=4+4π=16.56（厘米） 【思维点拨】阴影部分周长可以转化为一个大圆周长。 【解答】 3.14×8=25.12（厘米） 【思维点拨】阴影部分周长由3条弧组成，可以转化为一个大圆周长 【解答】 3.14×（12+8）=62.8（厘米） 【思维点拨】阴影部分可以拆解为4条弧组成，每一条弧为元周长的一半，所以4条弧可以组合为2个大圆的周长。 【解答】 3.14×4×2=25.12（厘米） 【思维点拨】阴影部分周长由2条弧和一条线段组成。 【解答】 2×3.14×（6+4）+（6-4）=64.8（厘米） 【思维点拨】阴影部分周长由3条弧和2条线段组成，其中3条弧可以转化为一个大圆周长。 【解答】 3.14×12+12=49.68（厘米） 二、求下面图形的周长。（单位：厘米） 【思维点拨】图形周长为4条半径和1条圆周长的一半的弧组成。 【解答】 4×4+3.14×4=28.56（厘米） 【思维点拨】图形由2条弧加上2条线段组成，2条弧可以组成为一个圆周长。 3.14×20+80×2=222.8（厘米） 【思维点拨】风车周长由4条弧和4条线段组成，4条弧合并为一个圆周长。 【解答】 3.14×（4×2）+4×4=25.12+16=41.12（厘米） 三、已知三角形ABC的面积是30平方厘米，内部一点P到各边的距离为2厘米，求三角形ABC的周长。 【思维点拨】如下图所示，把三角形ABC分割为3个等高的三角形。运用整体思想求出三角形ABC周长。 【解答】 a×2÷2+b×2÷2+c×2÷2=30 则a+b+c=30 2 学科网（北京）股份有限公司 $$