甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高一第二学期第二次阶段性考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学阶段性学情，以立体几何、向量与三角函数为核心，通过《九章算术》阳马、小球相切等文化与科学情境，结合新定义运算，考查空间想象、逻辑推理与数学运算，适配月考能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量运算、立体几何位置关系、复数|单选基础巩固（如三角函数求值），多选综合应用（翻折后三棱锥性质）| |填空题|3题/15分|向量线性表示、三角恒等变换、阳马外接球|融入传统文化（《九章算术》阳马）| |解答题|5题/77分|立体几何证明与体积、解三角形面积、新定义运算|分层设计，19题新定义运算考查创新思维，18题多问证明体现逻辑推理|

平凉一中2028届第二学期第二次阶段性考试试题(卷) 高一数学 命题教师：马 亮 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3．已知，，，（   ） A． B． C． D． 4．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知且，则＝（   ） A． B． C． D． 6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为 10．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则在上的投影向量为 11．如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，是的中点， 若，则实数的值是__________. 13．已知，则_______． 14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. 16．（15分）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 17．（15分）设. （1）求的单调区间； （2）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 18．(17分）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 19．（17分）对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若向量，，求的值； （2）若向量，满足，且，求的取值范围； （3）若，，且，，求的值. 25-26学年度第二学期第二阶段性考试˙数学 学科网（北京）股份有限公司 $