精品解析： 甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

平凉一中2027届高一级第二学期第一次阶段性考试 数学试题答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 无法判断 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 若，则与的方向相反 C. 若，则 D. 向量与向量的长度相等 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 设，则关于函数的性质中，下列说法正确的是（ ） A. 的周期是 B. 一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 的一条对称轴可以是 11. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（ ） A. 为的垂心 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量．若，则______________． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知向量满足 （1）求与的夹角； （2）求向量在向量上的投影向量． 16. 如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． （1）用，表示； （2）若，，求的值． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 18 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上值域； （3）若，求的值. 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求实数的值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平凉一中2027届高一级第二学期第一次阶段性考试 数学试题答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 2. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦边角关系及差角正弦公式可得，即可得. 【详解】由题设及正弦边角关系有，即， 由，故，即三角形为等腰三角形. 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 若，则与的方向相反 C. 若，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用共线向量和相等向量的定义，即可求解；对于B，根据条件得到与的方向相同或与中有零向量，即可求解；对于C，取，即可求解；对于D，利用相反向量的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，单位向量是指模等于的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反， 当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以选项A错误， 对于选项B，若，则与的方向相同或与中有零向量，所以选项B错误， 对于选项C，当时，对于任意向量和，都有且， 但与不一定平行．因零向量与任意向量都平行，所以选项C错误， 对于选项D，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的， 因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项D正确， 故选：D. 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据时，的图象判断CD错误；再判断是奇函数，根据对称性判断A错误，B正确，即得结果. 【详解】函数中，定义域为. 当时，，根据对数函数的图象可知，CD错误； 又，故是奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确. 故选：B. 5. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 7. 已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合指数和对数函数的单调性求出a，再由单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 则，所以， 又，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 8. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求出参数值. 【详解】由A，B，C三点共线，得，则，即 所以或. 故选：BC 10. 设，则关于函数的性质中，下列说法正确的是（ ） A. 的周期是 B. 的一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 的一条对称轴可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量夹角公式和三角函数的辅助角公式化简函数，再结合周期计算、对称轴与对称中心的判断以及单调性的分析判断各选项. 【详解】， 对于A，最小正周期为，A正确； 对于BD，，BD正确； 对于C，，，函数在上单调递减， 因此的一个单调递减区间可以是，C错误. 故选：ABD 11. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（ ） A. 为的垂心 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数量积的运算律可整理得到，同理，，知A正确； 推导得到，由此可证得B正确； 由数量积的定义和B的结论可求得，同理得，，作比可得到结果，知C错误； 利用三角形面积公式和B的结论表示出，同理得到，作比后代入C中推导的结论可得，由此证得D正确. 【详解】对于A，，，即， 同理可证得：，，是的垂心，A正确； 对于B，延长交于两点， 由A可知：，，，， ，又，，B正确； 对于C，由B可得：， 同理可得：，， ， ，C错误； 对于D，由B可得：， 同理可得：，， ， 由C可得：， 又，，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量．若，则______________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式化简得，利用辅助角公式求出，由正弦定理得，根据正切函数的性质求得，，最后利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得， 因为，化简可得，所以， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，则，所以可得，即， 所以， 则， 因为锐角，所以，， 则，又在单调递增， 则，令，所以， 所以， 由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，取到最小值，当或时，最大值， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足 （1）求与的夹角； （2）求向量在向量上投影向量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【小问1详解】 由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量为. 16. 如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． （1）用，表示； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据共线的性质即可求解. 【小问1详解】 在中，由， 又，所以 所以 【小问2详解】 因为，又， 所以，， 所以 又D，E，F三点共线，且A在线外， 所以有：，即 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）法一：由正弦定理得，，代入面积并利用三角恒等变换公式得，然后利用正弦函数的性质求解最大值. 法二：利用余弦定理得，利用基本不等式求出，再利用面积公式求出最大值. 【小问1详解】 由正弦定理及得，， 因为，所以，则， 则，又，所以. 【小问2详解】 （法一）在中，， 由正弦定理得， ， 所以的面积为 . 因为，所以，所以当时，， 所以的面积的最大值为. （法二）在中，，由余弦定理得， 所以，因（当且仅当时，等号成立）， 所以，所以， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以的面积的最大值为. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再根据余弦函数的单调性求解即可； （2）根据余弦函数的性质求解即可； （3）由题设化简可得，结合平方关系求得，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， 令， 解得， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 即函数在上的值域为. 【小问3详解】 因为，所以， ，即， 所以， 所以 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求实数值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，由三角函数周期计算公式可得答案. （2）要使最小，则均为零点，据此可得答案. （3）由题可得，讨论、及时函数的单调性，结合零点存在性定理可得零点情况，由单调性可完成证明. 【小问1详解】 由题意得，， ∵的最小正周期为， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， 由得，，故或， ∴或， 要使最小，则均零点. 若，则大于的7个从小到大排列的零点依次为：， 得，此时，； 若，则大于的从小到大排列的7个零点为：， 得，此时，， ∵，∴的最小值为. 【小问3详解】 由（1）得，定义域为， ①当时，，在上单调递增， ∴函数在上单调递增， ∵， ∴使得，故在上有且只有一个零点． ②当时，，在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴，故在上不存在零点. ③当时，在上单调递增，， ∵，∴，故在上不存在零点. 综上，有且只有一个零点，且. ∵，∴， ∴， ∵在上单调递减，在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$