甘肃酒泉市部分学校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章一第3章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数一7+2i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知tana=2,则tan2a= A号 B号 c-号 n-是 3.已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4√3，b=12,B=60°，则A= A.30 B.45 C.150° D.30°或150 4.“m=3”是“复数(m2一2m一3)十(m十1)i(m∈R)为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AB=a,AD=b,G是CD上靠近点D的三等分点， 则O心= A.a+ib C.a+ n-+2b 【高一数学第1页（共4页）】 6.已知钝角△ABC的三边长分别为a,a+1,a+4,则实数a的取值范围是 A.(3,6) B(26-3.3+2√6) C.(3,26) D.(3.3+2√6) 7.已知a=2cos248°-1，b=cos47°cos48°-sin47”sin48°，c=tan15°-tan75°+√3tan75°tan15°，则 A.b>c>a B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a 8.已知圆O的半径为2，弦AB=23,C是圆0上的一个动点，则O元·(CA+C)的取值范围是 A.[-4,0] B.[-12,-4] C.[-4,4] D.[0,8] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若|a|>|bl,则a>b B.若a=b,则a∥b C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若a=b,b=c,则a=c 10.已知复数31,22，名为名1的共轭复数，则下列结论一定成立的是 A.1十为实数 B.a|=| C.若引x1|=|z2|,则名=士2 D.z2|=|2l 1l.已知a,Be(0,受)，且sina=cos(a十)sinB,则以下结论正确的是 A.tan(a十β)=2tanB Rana有最大值号 Cana有最大值号 Dana有最小值号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12复数行的虚部是 13.cos吾cos27cos- 14.如图，某湖泊沿岸有A,B,C,D四个镇，已知A镇与D镇之间的距离为3km,A镇与C镇之间的距离 为6km,测得∠DAC=120°，∠BCD=90°，∠BDC=30°，则A,B两镇之间的距离为 km. B镇 潮泊 D镇 A镇 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数：=言+1+识. (1)求： (2)若a+g=3+(b-2)i(a,b∈R),求|a十bil 16.(本小题满分15分) 已知向量a=(3,-1),1b川=2√10 (1)求与a垂直的单位向量的坐标： (2)若a∥b,求b的坐标： (3)若(5a十b)⊥b,求a与b的夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2 sin xcos x十2cos2x-1. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2若aE(侵爱)且fa）-号.求cos2a的值 18.(本小题满分17分) 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特 点现需在半径R=4,面积为经的扇形纸张内剪一个矩形ABCD,如图所示.C是扇形弧上的动点， D在线段OQ上，A,B均在线段OP上， (1)求圆心角∠POQ的大小（用弧度表示）： (2)设∠P0C=0,且cos(∠POQ-)=号，求BC的长： (3)求矩形ABCD面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a十b=√2+3ab (1)求C: (2)若a=1,b>a2+c2,sin(A-B)=√2sin(C-B),求△ABC的周长： (3)若nB=4sinA,D为边AB上一点，且△ABC的面积为装cD,求品的值 高一数学参考答案、提示及评分细则 1.B复数-7十2i在复平面内对应的点为（一7,2），位于第二象限.故选B. 2tan a2X2 4 2C因为ana=2,所以an2aan。-产之-一寺，放选C 3.A因为a=4√3，b=12,B=60°，所以由正弦定理可得sinA=asin B43X3 b =合所以A=0或150.因为6>0， 12 所以B>A,所以A=30°.故选A. 4.C由题意知，当m=3时，m2-2m一3=0，复数之=4i,是纯虚数，充分性成立；当复数(m2一2m一3)十(m+1)i为纯虚 [m-2m-3=0, 数时，有 解得m=3,必要性成立，则“m=3”是“复数(m2-2m一3)+(m十1)i(m∈R)为纯虚数”的充 m+1≠0， 要条件.故选C 5.D心=D心-D0=号D心-D成=号A成-之(AB-A)=-名AB+A市=-日a+2b.故选n (a+a+1>a+4, 6.D根据三角形三边长关系及余弦定理可知 解得3<a<3十2√6，即实数a的取值范围是 a2+(a+1)2<(a+4)2, (3,3+2√6).故选D. 7.Ca=2co3489-1=cos96<0,6=cos47c0s48°-sim47sm48=cos(47+48)=cos95°<0，l千itan75n6 tan(-60)=-√5，则tan15°-tan75°=-√5(1+tan75°tan15),故c=tan15°-tan75°+√5tan75°tan15°= -√5(1+tan75°tan15)+3tan75°·tan15°=-3，显然-√3<-1<cos96<cos95°，即c<a<b.故选C. 8.B取AB的中点D,则CA+CB=2CD,1Oi1=√2-(3)了=1，所以O元.(CA+C)=2O元· CD=2O元.(Oi-O元)=2O元.Oi-2O衣=4cos∠C0D-8,因为cos∠C0D∈[-1,1]，所以 O元.(CA+CB)∈[-12，-4].故选B 9.BD向量不能比较大小，A错误；a=b表示向量大小相等，方向相同，所以a∥b,B正确；若b=0,则 不能推出a∥c,C错误；根据平面向量相等的定义，D正确.故选BD, 10.ABD设复数名=a十bi,2=c十di,a,b,c,d∈R,则名=a一bi,则名1+=2a,为实数，故A正确：||= √a十（一b)2,名|=√a十b,则|名引=|之1|，故B正确：若|名1|=|2，不妨取之1=3十4i,2=4十3i,则=土岁不 成立，故C错误；总名=(c+di)(a-bi)=ac+bd+(ad-bc)i,则|总|=√(ac十bd)+(ad-bc)= √(a+b)(c+d),22名=(c+di)(a+i)=ac-bd+(bc+ad)i,则|2名|=√(ac-bd)2+(ad+bc)2= √(a+b)(c2+),则|2|=z2名|，故D正确.故选ABD. 1l.AC对于A,因为sina=sin(a十B-B)=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB,又sina=cos(a+B)sinB,所以 sin(a十B)cosB-2cos(a十B)sinB,则tan(a十B)=2tanB,故A正确；对于BCD,令tanB-t,则tan(a十B)=2tanB=2t, _tan(a+B)-tan B 因为a,8∈(0，交)，所以tanB>0,则t>0,所以tama=tan[(a+B)一]=干tam(a+9)tanp1+2P 1 2+7 一=是，当且仅当2=，即1=号，m号，ama十》=尼时取等号，所以am6有最大值浮放C正确， 22… 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 BD错误.故选AC 12-2因为2》名0得器=50-1一么所以的患部是-2 5 2π 子sincos 1 8π sin牙 sin sin7 gsin sin牙 8 14.5/5 在△ACD中，由余弦定理得CD=AD+AC-2AD·ACcos120=32+62-2X3X6×(-号)=63，则CD CD AD 3/7,在R△BCD中，BC-CDan30°=√I,在△ACD中，由正弦定理得n∠DAC-sina2ACD,所以sin∠ACD= P·Sn120°件故s∠ACB=cos(90+∠ACD)三m∠ACDT在△ABC中，A=6+21=2X6☒ 万×(-得）=5，所以AB=5v, 1.解：：-+1+=2-01+D+2i-号+i+2 3 …4分 所以=号1 …6分 (2)由a+=3+(b-2)i(a,6∈R),得a(号-号)+（号+号i）=3+(6-2i, …8分 即号(a+1D+号1-ai=3+6-2i. 受a+10=3, 所以 10分 21-a)=62, 解得a=1,b=2,… 12分 故|a+bil=|1+2i=√5. 13分 3m-n=0, 16.解：(1)设与a垂直的单位向量的坐标为(m,n),所以 …3分 √m2+=1, m=10 10 10’ m=- 10 解得 或 n=30 310 1n= 10 10 即与a垂直的单位向策的生标为(，3)或(-巴，3)月 …5分 101 10 10 (2)因为a∥b,设b=a=(3队，-入)，则|b=√/(3以)2+(-A)2=√10|x=2√0，…7分 解得入=士2. 8分 因此b=(6,-2)或b=(-6,2).… 10分 (3)因为(5a+b)⊥b,所以(5a+b)·b=5a·b+6=5a·b+(2√/0)2=0， 12分 解得Qb=-8,…13分 设a与6份夹角为8，所以m0T计后干×8而 -8 2 51 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 即a与b的夹角的余弦值为一2 15分 17.解：(1)由题意知f(x)=2 sin rcos十2cosx-1=sin2z+2.1+c0s2-1 2 =sin2x+cos2x=/2sin(2x+于)， …3分 所以f(x)的最小正周期T=经=元… …5分 令-吾+2kx<2x+至≤受+2km,k∈Z, …7分 解得-否+k<≤受十6，k∈.即f(x)的单周递增区间为[一爱+kx,否十kx](k∈Z).…8分 (2)由题意知fa)=2sn(2a+子)=49，所以sm(2a+冬）=告， 又ae(答，)，所以2a+∈（受，），所以cos(2a+)=-√1-（告）=-是， 10分 所以cos2a=cos[(2a+子)-子]=os(2a+平)os平+sin(2a+子)sin开 =是×+告×号 15分 18.解：(1)设扇形的圆心角∠POQ=a, 由扇形的面积S=7R=号X16a-,解得a=子， 所以∠POQ=a=5. …3分 (2)(1)知，∠P0Q-吾，则cos(∠POQ-0)=cos(号-0）=号， 由受-0e(0,受），得sim(3-0）-√1-os(受-0)=3， …5分 因此血0=m晋-（停-）]=sm哥m(吾-）-s吾m(受-0）-×告含x是-3， 所以BC=OC·sim0=4X4B-3_8/3-6 10 5 …9分 (3)设∠POC=0, 在Rt△OBC中，BC=OC·sin0=4sin0,OB=OC·cos0=4cos0,… 11分 在Rt△OAD中，OA= AD 4sin 0 43sin 0 an∠POQ tan等 3 AB-OB-OA=4co0s0-43sin 0 3 13分 因此矩形ABCD的面积S=AB·BC=(4os04Bsim）·4sin0=16os0sin)-16V5im0 3 3 =8m20+85ws20-85-165m(20+吾）-8g 3 3 15分 由0e(o,晋)，得20+晋∈(，)， 则当20+吾=受，即0=吾时，矩形ABCD的面积取得最大值8y 3 17分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 19.解：(1)由a十b=√C2+3ab,两边平方整理得2=a2十b2一ab,…1分 由余弦定理得c0sC=Q2十伊-c2= 2ab 2，. …2分 又C∈(0，)，所以C=受 …3分 (2由>2十c知cosB=+位<0，则B为钝角. 2ac …4分 由C-号，得sn(-2B)-厄sm(各-B), 所以2sim(号-B)cos(号-B)=Esm(号-B), 又受<B<,所以-<晋-B<-吾，则sm(答-B)<0, 所以os(受-B)-号， …6分 则肾-B=一子故B=登A=x音登受 …7分 理s4=b6=smC,得b=”=6 由正弦定理a 4 sinA√6- =2+3, 4 c=asin C 1X 2_32+6 sin A 2 …9分 6-2 4 故△ABC的周长为3+5+32+6 2 10分 (3)d×号-装cD,得cD= 9· 11分 设架-0<<1，则Ad-XA成， CD-CA+AD-CA+AAB-CA+A(CB-CA)=(1-ACA+ACB, 12分 所以C市=1-xG+a2+2x1-aa6X2, E. 13分 则g=(1-08+心+1-x0a6, 整理得91-》（么）广+9以+[9以1-》-刀台=0， 14分 由sinB=4sinA,知2=snB=4, a sin A 15分 所以1172-252λ+116=0， 解得入号或入9含去) 16分 3 =2. 17分 3 【高一数学参考答案第4页（共4页）】