内蒙古赤峰第四中学2026届高三下学期5月模拟测试数学试卷

**基本信息** 高三数学模拟卷通过酒驾酒精含量计算、蒙日圆等真实情境与文化素材，分层考查函数、几何、概率等核心知识，综合题凸显逻辑推理与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|抛物线焦点、复数虚部、频率分布直方图|单选夯实基础，多选如蒙日圆题融合数学史，考查直观想象| |填空题|3/15|数列前n项和、圆锥与球相切|球与圆锥相切题考查空间观念，体现几何直观| |解答题|5/77|概率分布列、解三角形、椭圆与双曲线、函数证明与数列|15题概率应用体现数据意识，19题函数与数列比较凸显推理能力，综合考查数学思维|

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上； 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2.复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 4.函数的图像为（ ） A. B. C. D. 5.如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A.众数=平均数=中位数 B.众数>中位数>平均数 C.众数>平均数>中位数 D.中位数>平均数>众数 6.中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于/，但小于/；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于/，某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为/，若停止喝酒后，血液酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于/）. 参考数据：，. A. B. C. D. 7.已知正四面体的棱长为，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 8.已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ） A. B. C. D. 10.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为. 点、为椭圆：的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为、，且其中存在两点、，使得，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.椭圆的离心率为，则的范围为 D. 11.已知函数，，，且，则（ ） A.函数的最小正周期为 B.函数的图像关于点中心对称 C.函数的值域为 D.函数在单调递增 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列的前项和为，，且，，则 13. 已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积 为 14. 已知函数，，若函数的对称中心横坐标不小于，则函数的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（13分） 在一次招聘中，应聘者要进行、、三项测试，至少通过两项测试即可被录用，已知甲、乙、丙三人通过、、每个项目测试的概率都是，且每个项目通过与否相互独立. （1）求甲没有被录用的概率； （2）设甲，乙，丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 16（15分） 如图，在平面四边形中，，，. （1）若的面积为，求； （2）若，求. 17（15分） 如图，在四棱台中，四边形为棱形，，，，，且. （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，为中点，求点到平面的距离. 18（17分） 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦，（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线：交于、两点. （ⅰ）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ⅱ）求四边形面积的取值范围. 19（17分） 已知函数. （1）证明：当时，； （2）若恒对一切成立，求实数的取值范围； （3）已知数列满足：，，数列满足：，，试比较与的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $高三 ·数学· 叁专答亲及解析 一、选择题 |eF≤mx ,此时e>0恒成立，但可能有mx<0,此时不 1.B【解析】y2=一2x是一个抛物线开口向左的抛物线， lm≤1 2p=-2,所以子=-合，所以焦点坐标为(-合0）小 满足恒成立.故选B项. 二、选择题 故选B项. 9.ABC【解析】设等比数列(an)的公比为g,由a,=4a 2.C【解析】z=(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i)5=32i,所以 -4a2,得a1g=4a1g2-4a19,则g2-4g+4=0,所以9 虚部为32.故选C项. =2,A项正确；又因S=a1十a2十a=7,则a1十2a1十 3.D【解析】实数x,y,z满足x>y>z,分析：x一y>0, y一z>0,(x一y)(y-z)>0,A项错误；x>y,但是x正 4a,=7,进而a1=1,所以as=a1g=16,B项正确； 负不确定，B项错误；x>y,但是x,y正负不确定，C项 loga(十log2as十log2ac=log2(a4asa6）=log2a= 错误x一>y一>0，所以士<)D项正确，放 1og:16=1og22=12,C项正确；+1+1+1= a az as a 选D项. 1+合+子+日=，D项箱讽放选ABC项 4A【解折】f)=(千)·snz为偶函数，排除B,D 10.ABD【解析】由过直线ax一y十4=0上任一点P可 项，并且在x>0时，最开始部分，函数值为负.故选A项. 作椭圆C的两条切线，可知点P在椭圆C的外部，所 5.B【解析】平均数受极端值影响，中位数，众数不受极 以1PR1+1PR,1>2a,A项正确；椭圆C:若+y=1 端值影响，所以由图象可得选项.故选B项。 6.B【解析】设至少需要n小时，则有2.4(1-20%)"< (a>1)对应的紫日圆方程为x2+y2=a2十1，由已知可 0.2-(传》广<位ae言<-g12=心g22 得圆x2+y=a2+1与直线ax-y十4=0有2个交 点，设圆心(0,0)到直线ax一y十4=0的距离为d,则d >2g2g3→>10.8.放选B项 1-31g2 √a+行<+，则a2>3.由题意可知直线az- 1.c【解标】(o):=(号oi++}心)°= y叶4=0与椭圆系十y=1没有交点，将ax一y十4=0 子oi+品o+6o心+oi.0i+oi. 与系+y=1联立，得(1+a)x2+8ax+15a2=0设 ò+g成.oi=子+站+六+日+日+言=品，则 有实根，所以△=4a5-60a2<0,则有a2<15,综上 =年故选c项， 3a压，B项正确心=景-。-1-，由B 8.B【解析】若f(x)≥0对一切x∈R恒成立，则 但 |e'-mx≤0 知3<a<V压，则e∈（号，1-），c项错误：线 x2+m-1≤0 恒成立。若 段PP2为蒙日圆的一条弦，则IPP2」= + →e之mx，→ 2v公+1-正-2√公+1-a,所以1RP= m≥1 [a2+-]令=+1e,丽+1，则 名，则g)=1。,gx在(-0,1)递增，在1，+。) IBB2=4(-）,易知y=4(-9)递增，所以 递诚，8()在x=1处取得极大值也是最大值，则品≥ 古所以。一女 1R,R∈(0,15，)，D项正确.放选 ABD项 1 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap ·数学· 参考答案及解析 1.BCD【解析】f(x+受)=sim'(x+受)+cos'(z+ 四、解答题 15.解：(1)设“甲被录用”为事件A, 受)=cosz+sin'x=(x),受为函数五(x)的-个 则Pa=(合)°+cG(合)°·=， 周期，且受<π，A项错误；82（艺-x)+g2(x)= 所以甲设有被录用的概率为1一P(A)=合 (5分) sin'(受-z-cos(分-z+sinz-cosz=cosz (2)由(1)，三人被录用与否相互独立，且概率相同，均 sinx+sinz-cos'x=0,所以函数g:(x)关于点（于， 为2，所以X~B(3,)X的可能取值为01,2,3， (7分) 0)中心对称，B项正确：f.(x+受)=f(x)→T P(X=o)=(2)°=言，P(X=1=C·合·(2) ()=2nsin-1 xcos -2ncos xsin =，PX=2=·(合)°合=是，P(X=3)= 2 in(sinn-2z-cos2-z),xe[0,音]，f(e) (合)》'= ≤0x[异受]x)≥0，fx)在[0，晋]递减， X的分布列为： 在[景受]递增，所以1(x=人（晋）=2点， 3 .(am=.0)=f(受）=1，所以xe[0,受]时， 8888 f✉)的值城为[（合）”，]小，c项正确：6(）= (11分) 期望为：E(X)=3×号=3 2= (13分) 2nsin2-1 xcos x+2ncosia-1 xsin x=2nsin xcos x. (sinx十co)≥0在0，受恒成立，所以函数 16.解：(1)AN=合AB·BC·sin∠ABC=5, 解得BC=2, (2分) 8(x)在0，受]单调递增，D项正确.故选BCD项。 三、填空题 由∠ABC=号，BC=AB=2,可知∠BAC=晋，3分) 12.2【解折】at1+2S,S1=0→51-S,十 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB2十BC-2AB· BCos号=12，解得AC=25, (5分) 2Sn5n+1=0→ -+2=0→-京=2又 Sn Sati 在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC+AD2- ==1数列{发}为等差数列，京=2m-1→8。 2AC·ADcos,解得AD2-6AD-4=0,所以AD= 1 =2m-1 3+√13. (8分) 13.9√3π【解析】设圆锥的高为h,则h=3R.在圆锥轴截 (2)若∠ADC=号，则A,B,C,D四点共圆， 面中，可得圆锥母线长1=3十√3R,则由勾股定理，32 又∠BAC=∠CAD,则BC=CD=4, (12分) +(3R)2=(3+√3R)2,解得R=√5.因此圆锥体积V= 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB十BC-2AB· 号·(3R)·(9m)=9V3元 BCcs号，解得AC=27. (15分) 14.22【解析】由三次函数性质可知，f(x)的对称中心横 17.(1)证明：连接B,D,BD,并分别取B1D1,BD中点S, 坐标为品>c,即6>3ac,则c=1时：a=1,6有3一10 T,连接ST. 共8种情况；a=2,b有6一10共5种情况；a=3,b有 9,10共2种情况；共15种.c=2时：a=1,b有6一10 共5种情况；c=3时：a=1,b有9,10共2种情况.综 上，共有22个f(x). ·2。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap ·数学· 参考答案及解析 1.BCD【解析】f(x+受)=sim'(z+)+cos'(z+ 四、解答题 15.解：(1)设“甲被录用”为事件A, 受)=cosz+sin'x=(x),登为函数五(x)的-个 则Pa=(合)°+cG(合)°·=， 周期，且受<π，A项错误；82（受-x)+g2(x)= 所以甲设有被录用的概率为1一P(A)=合 (5分) sin'(受-z-cos(分-z+sinx-cosz=cosz (2)由(1)，三人被录用与否相互独立，且概率相同，均 sin'x+sinz-cos'x=0,所以函数g:(z)关于点（于， 为2，所以X~B(3,)X的可能取值为01,2,3， (7分) 0)中心对称，B项正确：f.(x+受)=f(x)→T P(X=o)=(2)°=言，P(X=1=C·合·(2)° ()=2nsin-1 xcos -2ncos xsin =PX=2)=c(合)合=是，P(X=3)= 2 min(sin-2z-cos2-z),xe[0,音]，f(x) (合)'= ≤0x[异受]x)≥0，fx)在[0，晋]递减， X的分布列为： 在[景，受]递增，所以(x=人()=2点， 3 .(am=.0)=f(受）=1，所以xe[0,受]时， 8888 f✉)的值城为[（合）”，]小，c项正确：()= (11分) 期望为：E(X)=3×号=3 2= (13分) 2nsin2-1 zcos x+2ncos-1 xsin x=2nsin zcos x. (sinx十co)≥0在0，受恒成立，所以函数 16.解：(1SAc=合AB·BC·sin∠ABC=,， 解得BC=2, (2分) 8(x)在0，受]单调递增，D项正确.故选BCD项。 由∠ABC=,BC=AB=2,可知∠BAC=吾，(3分) 3 三、填空题 12.2【解折】at1+2S,S1=0→51-S,十 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB2十BC-2AB· BCos号=12，解得AC=25, (5分) 2Sn5n+1=0→ -+2=0→-京=2又发 Sn Sati 在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC+AD2- ==1,数列{发}为等差数列，京=2m-1→8， 2AC·ADcos,解得AD2-6AD-4=0,所以AD= 1 =2m-1 3+√3. (8分) 13.9√3π【解析】设圆锥的高为h,则h=3R.在圆锥轴截 (2)若∠ADC=号，则A,B,C,D四点共圆， 面中，可得圆锥母线长1=3十√3R,则由勾股定理，32 又∠BAC=∠CAD,则BC=CD=4, (12分) +(3R)2=(3+√3R)2,解得R=√5.因此圆锥体积V= 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB十BC-2AB· 号·(3R)·(9m)=9V3元 BCcs号，解得AC=27. (15分) 14.22【解析】由三次函数性质可知，f(x)的对称中心横 17.(1)证明：连接B,D,BD,并分别取B1D1,BD中点S, 坐标为品>c,即6>3ac,则c=1时：a=1,6有3一10 T,连接ST. A 共8种情况；a=2,b有6一10共5种情况；a=3,b有 B 9,10共2种情况；共15种.c=2时：a=1,b有6一10 共5种情况；c=3时：a=1,b有9,10共2种情况.综 上，共有22个f(x). ·2。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 高三 ·数学· 四梭台ABCD-A,BCD→BD1∥BD, 若四边形AMBO为平行四边形，则AB与MO互相 又B:B=DD→BD⊥ST, (2分) 平分， 四边形ABCD为菱形→BD⊥AC,AC∩ST=T,AC, -6E22t\ STC面AA1C,C→BD⊥面AA,CC→BD⊥AA:. 所以M(2x,2),即M2干32牛3) (9分) (5分) 代入号-=1中得24-8=(+3， 又A1A⊥AC,Acn BD=T→AA,⊥平面ABCD. 整理得，1+142-15=0→1=士1， (6分) (2)解：A,C=AT=1,A,C:∥AC→四边形AAC,T 所以存在四边形AMBO为平行四边形， 为平行四边形， 此时直线AB:x=士y一√2. (10分) 又AA:⊥平面ABCD,C1T⊥面ABCD. (8分) (将直线0M:y=-宁z代人x2-3y=3中得(3- 又TB⊥TC,所以以T为原点，TB,TC,TC:分别为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.不妨设C(0,0,m), )x=9→x=±33元(0≤2<3)3 (11分) m>0,B(3,0,0),C(0,1,0), 因为点M(x,y为)到直线AB的距离d,= 则有CB=(W5,-1,0),CC=(0,-1,m). 1-x-21_1(+3)x+321 设面BCCB,的法向量为m1=(x,y,z), √+I 3+1 则有V5x一y=0,-y十mz=0→m1=(m,W3m,W3),n2 点N(一x,一为)到直线AB的距离d:= =10,0),由已知可得1cosm,)1=质- 1-x十21_1(+3)x-3V21 √F+I 32+1 , (11分) 因为[(2+3)x+3√2]·[(+3)-3V2]= (12分) 96+32-18=9.4+12+3>0, 3-2 3-2 又A0,-1,0-M(停，-合0)-M流-(-，是， 所以d,+d4=12(r+3)zl (13分) 3+I 0)→a=ml-=②， 又因为IABI=√P+I· 23·+I= 2+3 7 2W3(+1) 所以点M到平面8C,B的距离为牙 (15分) (15分) 2+3 18.解：1)因为卫，(-1，写)，R(1,写)关于y轴对称， 所以四边形AMBN面积S=宁1ABI·(d十d)= 所以必在C上， (2分) 28,要=25√1+石， 3-2 又3+>3+品-1， (3分) 因为2∈[0,3)，所以S∈[2，十∞). (17分) 所以P(1,1)不在C上，所以P2(0,1)在C上，所以 10.(1)证明：当>0时，2-若<nx<, 6=1a=月，所以C:号+y=1. (5分) 设u(x)=x一sinx(x>0),则(x)=1一cosx≥0， (2)(i)设A(x1,y),B(x,2),D(x,%),M(,为)， 所以u(x)在(0，十∞)递增，所以u(x)>(0)=0, N(-x,一为)，直线AB:x=y-√2， (2分) 将直线AB代人x2+3y2=3中得(2+3)y2-2√2ty- 设A()=sinz-z+若(>0，则W()=cosx-1+ 1=0, 所以为+%=名渠号+4=4[r++ 苔，k"()=-sinz+>0, 一1 所以h'(x)在(0，十∞)递增，所以h'(x)>h'(0)=0, 3)]=12(2+1)>0, (7分) 所以h(x)在(0，十∞)递增，所以h(x)>h(0)=0, 2e -3V2 所以为=牛3o=平3， 所以>0时，江一言<如K (4分) 3· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp ·数学· 参考答案及解析 (2)解：设p(x)=tanx-z-ax,x∈(0，受）， 所以p(x)<0,所以(x)在(0,0)递诚， 所以p(x)<(0)=0,不合题意. 则pa)=o3z一1-3ax2=arz-3a2. 综上≤行 (10分) ①当a≤0时，p(x>0,所以p(x)在(0，受)递增，所 (3)解：因为0<6，<1，设6.=sine[a,∈(o,受)门，则 以p(x)>p(0)=0. (6分) ②当a>0时，p'(x)=tan2x-3ar2=(tanx-√3ax)· b1=si血at1=号-c0s8=sin号→a1=受， (tanx+√3ax), 因为6=竖=sin吾，所以a=吾，所以6，=6in,= 设g(x)=tanx-√3ax,x∈(0，)，则g(x)= 1 sin (12分) cosx-V3a. 1)当V3a≤1，即0<a≤号时，g(x)>1-√3a≥0，所 设c=am产[p.∈(0，受)门，则c1=anp1= 以g(x)在(0，受）递增， -1-15oe2=tam会→pt,=受， Cn sin pa 所以g(x)>g(0)=0, 因为61=1=an牙， 所以p(x)>0,所以p(x)在(0，受)递增，所以(x) 所以p=子，所以c,=tanp,=tan2不， (14分) >p(0)=0. (8分) 由(2)知当a=号时，anx-x-子2>0，即amx-z 2)当a>号时，令g(x)<0→c0sx> >了2，由(1)知amx-x>号2>2(x-sin0,所以 (3a)-÷→0<x<g其中cos8=(3a)÷,0∈(0， am2品-2系>号(2品)）八>2(2系-sin2高)， )], (9分) 所以器-26，-6，<0，即2器-2b<6 (17分) 所以g(x)在(0,8)递减，所以g(x)<g(0)=0, ·4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF