命题大赛：内蒙古2026届高三年级高考模拟测试卷（数学）（人教A版）

**基本信息** 内蒙古2026届高三数学模拟卷以原创题和文化情境为特色，覆盖集合、数列、概率等核心知识，通过梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、充分必要条件、向量、数列、排列组合|第1题原创集合题，第5题研学分配考查计数原理，基础与能力结合| |多选题|3/18|复数、二项式定理、等差数列性质|第11题多角度考查等差数列前n项和最值，体现思维层次性| |填空题|3/15|解三角形、几何体体积、高斯函数|第14题结合高斯函数考查创新应用，渗透数学文化| |解答题|6/77|解三角形、导数、立体几何、概率统计（投壶文化）、椭圆|第18题以投壶传统游戏为情境考查概率计算，第19题椭圆综合数列与切线方程，契合高考命题趋势，强化数学语言表达与综合应用|

内蒙古2026届高三年级高考模拟测试卷（数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．（原创）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 5．某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．240 B．360 C．600 D．320 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（        ） A．3 B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知复数，则（    ） A．的实部为1 B． C． D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 10．的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（    ） A．展开式共项 B．展开式中常数项为 C．展开式中所有项的二项式系数之和为 D．展开式中所有项的系数之和为 11．记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（   ） A．若且，则时，的最小值为21 B．若当且仅当时，取得最小值，则 C．若取最小值时，k有两个不同解，则 D．若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．在锐角中，已知，，，则的面积等于______ 13．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 14．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________ ①           ②当时， ③          ④不等式的解集为 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 16．（本小题15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 17．（本小题15分）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径. (1)若是弦的中点，且平面，求的值； (2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的正弦值. 18．（本小题17分）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 19．（本小题17分）已知椭圆，左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，为坐标原点.    (1)求椭圆的方程； (2)按如下方式依次生成直线：过作直线交椭圆于，，其中在轴上方，为弦的中点.对任意正整数，过作直线，使.记直线的斜率为，且. （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）已知从椭圆外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为.过，分别作椭圆的切线，两切线交于点，设为的重心，记，求数列的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 求对数函数在区间内的值域,解不等式,交集的概念及运算 0.85 2 单选题 5 判断命题的充分不必要条件,判断命题的必要不充分条件,基本不等式求积的最大值 0.82 3 单选题 5 坐标计算向量的模,向量垂直的坐标表示 0.85 4 单选题 5 两个等差数列的前n项和之比问题 0.65 5 单选题 5 分组分配问题 0.68 6 单选题 5 用和、差角的余弦公式化简、求值,二倍角的余弦公式 0.75 7 单选题 5 根据极值求参数 0.65 8 单选题 5 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题,求双曲线的离心率或离心率的取值范围 0.45 9 多选题 6 求复数的模,判断复数对应的点所在的象限,求复数的实部与虚部,复数代数形式的乘法运算 0.76 10 多选题 6 求指定项的二项式系数,二项式的系数和,求指定项的系数,二项展开式各项的系数和 0.7 11 多选题 6 等比数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和的最值,求等差数列前n项和 0.45 12 填空题 5 三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 0.7 13 填空题 5 柱体体积的有关计算,组合体的构成,求组合体的体积 0.65 14 填空题 5 函数新定义,解不含参数的一元二次不等式,求函数值 0.4 15 解答题 13 用和、差角的正弦公式化简、求值,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 0.75 16 解答题 15 函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数研究函数的零点,求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 0.52 17 解答题 15 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置,由线面角的大小求值,求异面直线所成的角 0.62 18 解答题 17 计算古典概型问题的概率,独立重复试验的概率问题,服从二项分布的随机变量概率最大问题 0.65 19 解答题 17 根据离心率求椭圆的标准方程,写出等比数列的通项公式,椭圆中三角形（四边形）的面积,根据a、b、c求椭圆标准方程,由递推关系证明等比数列 0.38 Sheet2 Sheet3 $ 内蒙古2026届高三年级高考模拟测试卷（数学） 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B D B A A C D BD ACD BC 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．（原创）【答案】C 【知识点】解不等式、求对数函数的值域、交集的概念及运算 【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题意，得，所以. 2．【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本不等式求积的最大值、判断命题的充分不必要条件 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 3．【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求出及模长即可． 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故， 所以. 4．【答案】B 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出，进而可得出为15的正约数，由此可得出正整数的可能取值． 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14. 5．【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下三个研学活动各有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 6．【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】将分别用表示，结合二倍角、两角和差余弦公式可化简整理得到结果. 【详解】. 7．【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 8．【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由题设结合双曲线的定义可得，，再根据结合勾股定理及等面积法可得，，进而求得，进而求解离心率即可. 【详解】由于的中点记为，的中点记为， 则，即， 由于，则，即， 则，即①， 而，则，即②， 由①②，解得（因，另外一解舍去）， 则双曲线的离心率为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．【答案】BD 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限、求复数的模 【分析】利用复数的乘法求出复数，利用复数的实部，复数的模，共轭复数，复数在复平面内的点的定义一一求解. 【详解】，，则的实部为，故选项A错误； ，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选项D正确. 10．【答案】ACD 【知识点】二项式的系数和、求指定项的二项式系数、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】先由两项二项式系数相等可得，根据二项式定理可判断AC，再通过通项公式可判断B，用赋值法判断选项D可得. 【详解】因为的展开式中，第项与第项的二项式系数相等， 所以，即，得. 所以二项式展开式的项数为，故A正确； 对于B，由通项公式. 令，得，所以常数项为 ，故B错误. 所以二项式展开式中所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，则展开式中所有项的系数之和为 ，故D正确； 11．【答案】BC 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合二次函数的性质、等比数列的性质逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为. A：， 因为，所以， ， 因为， 所以由， 的最小值为，所以本选项说法不正确； B：令， 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 当时，取得最小值， 所以数列是首项为负，单调递增的等差数列，且有，， 则有， ，故有，因此本选项说法正确； C：因为取最小值时，k有两个不同解，不妨设，， 所以数列先单调递减，再单调递增，因此有，且， 所以，所以， 所以一定，使得成立，所以本选项说法正确； D：假设数列中存在三项成等比数列，这三项设为， 所以有，因为以1为首项，以为公差， 所以 ， 因为，且互不相等， 所以有 ，这与互不相等矛盾，所以假设不成立，因此本选项说法不正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【详解】由余弦定理得，解得或， 因为最大边为，所以，即，即，故舍，此时． 13．【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、组合体的构成、求组合体的体积 【分析】先将该几何体补成一个正三棱柱，再根据几何体与补形后的正三棱柱的体积的关系求出该几何体的体积. 【详解】因为在几何体中，侧棱，，均垂直于底面， 已知，，， 所以构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为6的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式， 所以该几何体的体积是. 14．【答案】①②④ 【知识点】求函数值、函数新定义、解不含参数的一元二次不等式 【分析】应用函数的新定义计算判断①，②，计算特殊值判断③，结合一元二次不等式计算求解判断④. 【详解】，故①正确； 时，所以时，，故②正确； 当时，此时，故③错误； 令则化为，解得，所以， 当时，，当时，，所以， 所以不等式的解集为，故④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）【答案】(1)；(2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由利用两角和与差的公式化简得到求解； （2）结合，由的面积为，求得，再利用余弦定理求解. 【详解】（1）因为，（2分） 所以， 整理得． 又，所以．（4分） 又因为，所以．（6分） （2）由（1）知， 由的面积为，得，（8分） 解得．（9分） 由余弦定理，得， 解得，（12分） 所以的周长为．（13分） 16．（本小题15分）【答案】(1)；(2) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求，再求，，然后根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据题意可知存在，使，参变分离得，令函数，再利用导数结合交点个数求参数范围即可． 【详解】（1）解：由题意，，则， .（3分） ∴曲线在点处的切线方程为， 即；（5分） （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点.（8分） ， 由，得.（9分） 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则.（12分） ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是．（15分） 17．（本小题15分）【答案】(1)；(2). 【知识点】求异面直线所成的角、由线面角的大小求值、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，从而得解； （2）根据题意，是在平面上的射影，从而，且，作圆柱的母线，则连接，则或其补角为异面直线与所成的角，余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 平面平面，（2分） 所以，又是弦的中点， 所以为的中点，（4分） ；（5分） （2）依题意，在中，， 所以， 因为平面 是在平面上的射影，从而， 则， （8分） 作圆柱的母线，则连接，则四边形是矩形， 或其补角为异面直线与所成的角，（10分） 在中，， ，（13分） 所以，（14分） 所以异面直线与所成的角的正弦值为.（15分） 18．（本小题17分）【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算； （2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算； （3）利用二项分布的概率最值计算. 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为.（2分） （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为，（4分） 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为，（6分） 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为.（8分） （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则，（10分） 则，（11分） 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即，（13分） 解得，因，则，（16分） 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大.（17分） 19．（本小题17分）【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】由递推关系证明等比数列、椭圆中三角形（四边形）的面积、写出等比数列的通项公式、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由焦点三角形的周长、椭圆的定义得，再由离心率、椭圆参数的关系求参数值，即可得； （2）（i）设直线，，弦中点，联立椭圆并应用韦达定理、中点公式得，，进而求，利用垂直关系得，根据等比数列的定义即可证； （ii）由，设并求得为、，进而得、，根据已知及点线距离公式得化简即可得. 【详解】（1）由的周长为， 则，（1分） 又，故，（3分） 则椭圆方程为；（4分） （2）（i）由（1），设直线，联立椭圆得， 所以，（6分） 若，弦中点， 所以，，（7分） 所以，，则， 因为，所以，而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列；（10分）    （ii）由（i）， 设为过的椭圆的切线的交点，则切点弦方程为，（11分） 直线为，即， 综上，，则，即，（12分） 为的重心，则，即，（13分） 由两个三角形同底，面积比等于底边上的高之比， 即点到直线的距离之比，（14分） 而，（15分），（16分） 所以，而，则.（17分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $