内蒙古赤峰曾军良实验学校2026届高三下学期5月考前适应性训练模拟数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷聚焦核心素养，覆盖函数、几何、统计等模块，解答题综合考查数列与导数应用、立体几何证明及统计分析，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、圆、数列等基础概念|注重数学眼光下的抽象与几何直观| |多项选择|3/18|三角函数图像、双曲线性质、导数极值|考查数学思维的推理与批判性分析| |填空题|3/15|向量运算、函数求值、立体几何外接球|体现数学语言的简洁表达与空间观念| |解答题|5/77|数列综合、立体几何证明与线面角、双曲线方程与面积、导数切线与恒成立、统计直方图与分布列|分层设计，综合应用数学思维与语言解决实际问题|

赤峰曾军良实验学校高三年级考前适应性训练模拟试题 数 学 2026.5 本试卷共4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2． 选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3． 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题无效. 4． 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5． 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 计算（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 数据，，，，，，，的上四分位数（75％分位数）为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，均为等差数列，且，，（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题本题共3小题，每小题满分6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递减 D.若，且，则 10. 已知双曲线:的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（ ） A. 的方程为 B. C.的渐近线方程为 D.当时，的面积为3 11. 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D.为定值 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡中的横线上. 12. 若向量，，，则 . 13. 已知，则 . 14. 已知长方体的一条棱长为，体积为，则其外接球表面积的最小值为 . 四、解答题，本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题13分） 设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，记为数列的前项和，求. 16. （本小题15分） 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 17. （本小题15分） 已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积. 18. （本小题17分） 设函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. （本小题17分） 在一次全国马拉松比赛的志愿者选拔工作中，某高校承办了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分分，现随机抽取了名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分别直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到）； （2）已知抽取名候选人中，男生和女生各人，男生希望参加赤峰赛区志愿者服务的有人，女生希望参加赤峰赛区志愿者服务的有人，补全下面列联表，依据小概率值独立性检验，能否认为参加赤峰赛区志愿者服务的候选人与性别有关？ 参加志愿者服务 性 别 合计 男生 女生 希望去赤峰赛区 不希望去赤峰赛区 合计 （3）某场地服务需要名志愿者，有名男生和名女生通过该项志愿者的选拔，需要通过抽签的方式决定最终人选，现将张写有“中签”和张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为，求的分布列及均值. 参考数据及公式：； ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $赤峰曾军良实验学校高三年级520考前适应性训练模拟试题 数学 2026.5 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形 码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚， 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分， 1计算2() A.-1-i B.1+i C.-1+i D.1-i 【答案】D 【分析】利用复数运算法则计算即可得 【详解】 3-i_3-i0(2-i边_6-3i-2i-1-1-i. 2+i(2+i)(2-i) 5 2.已知集合U={x∈N|x<5},M=1,2},则CuM=() A.{3,4} B.{0,3,4} C.3,4,5} D.{0,3,4,5} 【答案】A 【解析】U={1,2,3,4,M=1,2}.故选A 3.数据4.8,5.1,7.3,7.4,7.8,8.4,8.8,9.3的上四分位数(75%分位数)为（) A.7.5 B.8.6 C.7.8 D.8.4 【答案】B 【分析】利用百分位数定义计算即可求解 【详解】因为数据个数为8，第75百分位数的位置为8×75%=6 第1页/共11页 因为6为整数，所以第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数84+88=86. 2 故选：B. 4.已知圆Ox2+v=4直线y=x+2与圆0恰有一个公共点，则k的值为() [A]-1 [B]0 [C]1 [D]2 【解析】因为直线一叶2=0与圆O恰有一个公共点，所以直线与圆O相切， 法-（几何法）圆0x2+y2-4的圆心为00,0)，半径为2，所以圆心到直线的距离止0-0+2-2，解得0， Vk2+(-1)2 故选B 法二（代数法） 由2+y=4可得，（41x+40,因为直线与圆0恰有一个公共点，则16k2-0,解得 ly=kx+2 =0.故选B. 5.已知{a},,}均为等差数列，且4+b=3,4+b=5,0s+b6=) A.2028 B.2027 C.2026 D.2025 【解析】选A.由于{a},{b}均为等差数列，则{a+b,}为等差数列，因此4+b=3,4+b=5, 所以{a,+b,}的公差为1，故a6+b6=3+2025=2028. x2 6.已知双曲线 3 4 3=1(仍>0)的焦点与椭圆：+)=1的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距 2516 离等于() A.42 B.5 C.3 D.5 【答案】D 【解析】由题意得4+b2=25-16,.b2=5,.b=√5，因此该双曲线的一条渐近线方程为y= 2 即V5x-2y=0.又双曲线的焦点为(3,0)和(-3,0)，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离 ds、 35 =√5.故选D. V5+4 7.在AMBC中，C=亚 AB=3,AC+BC=5,则△MBC的面积为() A.5 B.2N5 C.35 D.45 【答案】A 【分析】根据余弦定理可求解ab=4,由面积公式即可求解. 第2页/共11页 【详解】在AC中，C=号B-G=丽，AC+BC=b+a=5, 由余弦定理可得c2=ad+b2-2 ab cos=6+b}-2b-b,解得b=4, 3 所以，1 s=absin"= 3 故选：A 8.已知&∈ 0. √5 sina=tama,则cos2a=() 4 85 c、3 5 D.- 5 【答案】C 【解析】由V5sina=tanu,得V5sina= sina 又∈ 0 则sina>0,所以cosu= 5 所以 cosa 2 5 cos2a=2cos'a-1=- 故选C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 日已知)-2cos(a十@0，子p<0的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( ) -12 6 A.0=4 B.0=-π 6 C承故在区（仔习上草司笼减 130 s1na一cosa= 6 答案BCD 第3页/供11页 解析白题图可如？x〔哥 26 则T- 2 又w>0,所以2r-兀，则0=2，A错误； 2w21 利=2cot+os 因为点后可在话辰利的面上， 所以由五点作图法可知4×+0= 6 2 所以=一石，B正确 的=2ma-周 者品引.则-=后习 新以属数利=2m:习E区侣司上单玩造黄，C正康： 是周与2习 即simn2a= 6 所以(sina-cosa)2=sina+cos2a-2 sin acos a =1-sim2a=1-1=5, 66 超为a匠引 所以sin心cosa,即sina-cosc心0， 所以sina-cosa=V30,D正确 6 10已知双曲线E:式-=1(@心0b>0的离心率为，，左、右焦点分别为-V7,0,乃V70以，过R 的直线与E的右支相交于P,Q两点，则下列结论错误的有() A.B的方程为兰-上=1 43 B.Pg≤3 C.E的渐近线方程为x±√3y=0 第4页/共11页 D.当EE=2OP时，△PFF的面积为3 【答案】BC 【分析】由已知条件可以知道c=√万，离心率是e=5,所以a=2.6=3进而可以得到双曲线的标准方程对 2 选项逐一分析即可 【详解】对于选项A由已知条件可以知道c:V万，离心率是e5,所以a=2 2 B=7-4=3所以双曲线的标准方程为父-二1.故A正确， 43 对于选项B当9垂直于x轴时，将x=V万，代入双曲线方程兰-二=1可得y=士 43 2 此时PQ=3.当P2不垂直于x轴时，PQ>3,所以Pg≥3.故选项B错误. b 对于选项℃双曲线的方程为。广1其渐近线方程为y=±七 已知a=2.6=V5,则断近线方程为y=±5。 2x即xt2V3, 3y=0.故选项C错误。 对于选项D,因为耳引=2OP,所以∠RPE=90° 设P=m,PF=n,根据双曲线的定义P-P=2a=4即m-n=4. 又因为m2+2=(2c)2=28,可以解得mm=6. 所以△PR马的面积S=】1=3故选项D正确 故选：BC 11.已知aeR,函数f(x)=ar-x+1有两个极值点，x2,则() A.a可能是负数 B.5+x3=0 C.曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x+1 D.f()+f()为定值 【答案】BCD 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD;根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由f(x)=a-x+1,则f'(x)=3a2-1, 当a≤0时，∫'(x)<0,则f(x)在R上单调递减，没有极值，故A错误， 当a>0时，令了（四）=0，得x=土a 则：+七3=0，故B正确， 第5页/供11页 当x∈(-o,)U(5,+o)时，f'(x)>0,当x∈(5，b)时，f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞，)和(x,+∞)上单调递增，在区间(5，x)上单调递减， 所以x是f(x)的极大值点，x2是∫(x)的极小值点， 而3-1=0,3a-1=0,则a=3=3' 1 1 所以f(5)+f()=a-k+1+a-x2+1= 3+1+2-3+】 =化+5)+2=2为定值，放D正确： 对于C,由f(x)=-x+1,则f(0)=1,而f'(0)=-1, 则曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=-x+1,故C正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12.若向量a=(2,-1,b=（1,y)a⊥b,则1b= 【答案】√5 13.己知fx)=ex-f'(0)x,则f(2)= 解析由=e-0x得fw=e-f0,则f@=e-f0.得f0=2 鼓0-e子，因此=e-1 14.己知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为 [解析]设长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,2,则长方体的体积仁2ab-16,解得b=8.设长方体的外接球 半径为R,则2R=Va2+b2+4,即4R2=+b2+4≥2ab+4=20,即R2V5,当且仅当=b-22时取等号，所以Rmm=√5 所以其外接球表面积的最小值为4π×（√⑤？=20元 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设数列{a}是首项为1的等比数列，已知4,3a,9%成等差数列. (1)求{a}的通项公式； (2)若数列，}满足，=”，记为数列，}的前n项和，求 3 【解析】(1)因为{a}是首项为1的等比数列且4,34，，9%成等差数列， 所以6a2=4+9a3,所以6a9=4+9a4, 即时-6g+1-0,解得q号所以a=白 第6页/供11页 (2)由(1)b=0=” 33” 时+是@ 3”+37,② n_1 3”3+ 所以工0-字2 16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF∥AB,其中AD=2,AB=AF=2EF =1,P是棱DF的中点、 A二 D (1)求证：BF∥平面APC: (2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值： 【解析】(I)证明：连接BD交AC于点O, 因为P,O分别为DF,DB的中点， 所以BF∥PO, A B 又POC平面APC,BFN平面APC, 则BF∥平面APC (2)以A为原点，AB,AD,AF所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),D(0,2,0),C1,2,0),F0,0,1), 0,月 第7页/供11页 所以P= A=(1,2,0, 设平面APC的法向量为n=(x,y,2), nAP=0, 由 +空=0， 得 AC=0, x+2y=0, 令x=2,得n=(2,-1,2),且DF=(0,-2,1), 所以cos〈DFn〉= DFm1=45, 1D刚u15 直线DF与平面APC夫角的正弦值为小5 15 配.已知双曲线C:冬1心0，>0与双曲线>1的浙近线相同，经过点2,3》 62 (1)求双曲线C的方程； (2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F,F,直线1经过，倾斜角为，1与双曲线C交于A,B两点， 求△FAB的面积. 解1)设所求双曲线c的方程为？=元， 62 代入点2,3)得222-，即1=1 62 2' ·双曲线C的方程为2-1 6221 即x2_=1 3 (2)由(1)知，F1(-2,0),F(2,0), 由题意得直线AB的方程为y=一(x-2), 即x+y-2=0. 设A(x1,y）,B(2,y), x+y-2=0, 得2x2+4x-7=0, 满足0且1十x2=-2,2=-7, 2 由弦长公式得AB=V1+2x1-x =+(-1DxV(-2)1-4x〔] =1V2X31V2=6, 第8页/供11页 点F1(-2,0)到直线AB:x十y一2=0的距离 d=-2+0-2=22 V2 所以5r48Ad×6×22=62 2 18.设函数f)=,X-hn(1+x),8)=n(1+x)）-br. 1+x (1)求函数x)在(1,1)处的切线方程； (2)是否存在实数b,使得关于x的不等式gx)<0在(0，十∞)上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不 存在，说明理由. 【解析】 Q)=,1-1=-x (1+x)21+x(1+x)21 则/=-4又)2h2, 所以浙茶我方为，-园小--少.单=一青+子： 可知：g的)的定义域为（一山，十∞），g⊙一 若关于x的不等式gx)<0在(0，十∞)上恒成立，且g(0)=0, 则g'(0)=1-b≤0，解得b≥1， 若b≥1，当x∈0，+∞)时，g'6)=,1-b<1-b≤0， 1+x 可知gw)在(0，十∞)上为减函数，则gx)<g(O)=0在(0，十∞)上恒成立， 综上，b的取值范围是[1，十∞). 19.在一次全国马拉松比赛的志愿者选拔工作中，某高校承办了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100 分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第 四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.己知图中从左到右前三个组的频率成等 差数列，第一组和第五组的频率相同。 +频率 组距 0.045------ 6 0.0201 a 0455565758595分数 (1)求α，b的值，并估计这80名候选者面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中 第9页/共11页 位数（中位数精确到0.1） (2)已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加赤峰赛区志愿服务的有10人，女生希望 参加赤峰赛区志愿服务的有20人，补全下面2×2列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为 参加赤峰赛区志愿者服务的候选人与性别有关？ 性别 参加志愿者服务 合计 男生 女生 希望去赤峰赛区 10 20 不希望去赤峰赛区 合计 40 40 (3)某场地服务需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通过该项志愿服务的选拔，需要通过抽签的方式决 定最终的人选，现将5张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男 生中签的人数为X,求X的分布列及均值()， 参考数据及公式： n (ad-bc)2 X-(atb)(c+d (ate)(b+d' n=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 解(1)由题意知 20b=10a+0.45,(2a+b+0.065)×10=1, 解得a=0.005,b=0.025, 所以平均值为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5， 中位数为65+0,2=625≈69.4 0.0459 (2)补全2×2列联表： 性别 参加志愿者服务 合计 男生 女生 希望去宁波赛区 10 20 30 不希望去宁波赛区 30 20 50 合计 40 40 80 零假设为：参加赤峰赛区志愿者服务的候选人与性别无关，根据列联表中的数据，经计算得到x?= 第10页/共11页 80×(10×20-20×30) -≈5.333>3.841=x005, 40×40×30×50 所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为参加赤峰赛区志愿者服务的候选人 与性别有关. (3)X的所有可能取值为2,3,4， pX=2=c3C3_3,pK=3=C3C3_4 C97 C71 PCr--cici! C971 所以X的分布列为 X 2 3 4 2 4 1 7 7 7 所以B0=2×2+3×4+4×1_20 > 7 77 第11页/共11页