精品解析：北京市铁路第二中学2025----2026学年第二学期八年级数学期中考试试卷

北京市铁路第二中学2025-2026学年第二学期 初二数学期中考试试卷 （试卷满分110分考试时长100分钟） 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. 3，3，3 D. 4，5，6 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 一个菱形的两条对角线的长度分别是6 cm和8 cm，这个菱形的面积是（ ） A. 12 cm2 B. 14 cm2 C. 24 cm2 D. 48 cm2 5. 如果点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 7. 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点（不与顶点重合），与相交于点．下面四个结论中， ①如果，则； ②如果，则； ③如果为的垂直平分线，则； ④如果与相互垂直且平分，则； 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10. 写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式______． 11. 若是整数，则正整数的最小值是___________． 12. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 13. 在中，的平分线将分成和两条线段，则的周长为____． 14. 如图，已知的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______． 16. 如图1，四边形是菱形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形的面积为______． 三、解答题（共60分，第17题10分，第18题6分，第19题5分，第20题6分，第21、22题各7分，第23、24题各6分，第25题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，，垂足分别为E，F．求证：． 19. 已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； 分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； 画射线． 射线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 由作法可知． ∴四边形是___________．（___________）（填推理的依据） ∴平分（___________）（填推理的依据）． 20. 如图①，现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图②所示．若云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米．救人时云梯伸长至最长，在完成从13米高处救人后，还要从15米高处救人，这时消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离约为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：）． 21. 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出一次函数的图象； （3）结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； 22. 学校组织初二年级学生去参加社会实践活动，学生分别乘坐甲车、乙车，从学校同时出发，沿同一路线前往目的地．在行驶过程中，甲车先匀速行驶1小时后，提高速度继续匀速行驶，当甲车超过乙车40千米后停下来等候乙车，两车相遇后，甲车和乙车一起按乙车原来的速度匀速行驶到达目的地．如图是甲、乙两车行驶的全过程中经过的路程y（千米）与出发的时间x（小时）之间函数关系图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的路程为______千米； （2）乙车行驶的速度为______千米／时，甲车等候乙车的时间为______小时； （3）甲、乙两车出发________小时，第一次相遇； （4）甲、乙两车出发________小时，相距20千米． 23. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 24. 如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题： （1）直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）根据函数图象，写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 25. 如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． （1）求证：； （2）过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 附加题（共10分，第1题3分，第2题7分） 26. 已知，反之，． 又如，． 参考以上方法解决下列问题： （1）将写成完全平方的形式为 ； （2）若一个正方形的面积为，则它的边长为 ； （3）的算术平方根为 ． 27. 对于平面直角坐标系中的线段与点R，给出如下定义：若，则称点R为线段的“等长点”．如图，已知点，． （1）在点，，中，线段的“等长点”为 ； （2）若直线上存在线段的“等长点”，求b的取值范围； （3）连接AB， ①若第一象限内的点R是线段的“等长点”，且△ABR是直角三角形，则点R的坐标为 ； ②矩形CDEF中，DE＝2，，，若矩形CDEF上存在线段的“等长点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市铁路第二中学2025-2026学年第二学期 初二数学期中考试试卷 （试卷满分110分考试时长100分钟） 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. 3，3，3 D. 4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】A、，可以构成直角三角形，则此项符合题意； B、，不可以构成三角形，则此项不符题意； C、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意； D、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 4. 一个菱形的两条对角线的长度分别是6 cm和8 cm，这个菱形的面积是（ ） A. 12 cm2 B. 14 cm2 C. 24 cm2 D. 48 cm2 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式即可得． 【详解】解：∵这个菱形的两条对角线的长度分别是6cm和8cm， ∴它的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的面积，熟记公式是解题关键． 5. 如果点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】∵， ∴， 又∵点和都在直线上，且， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大，，随的增大而减小”是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 7. 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴到原点的距离是． ∴点所表示的数是 ． 故选：C． 8. 在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点（不与顶点重合），与相交于点．下面四个结论中， ①如果，则； ②如果，则； ③如果为的垂直平分线，则； ④如果与相互垂直且平分，则； 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质．对于①③画出图形，显然不成立；对于②，作于点，作于点，证明，即可得到②正确；对于④，证明四边形是正方形，推出，即可证明④正确． 【详解】解：如图，①如果，显然不存在，①不正确； ②如果， 如图，作于点，作于点， ∵正方形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴，②正确； ③如果为的垂直平分线，如图， 过正方形的中心作边的垂线，分成四个全等的小正方形， 显然，③不正确； ④如果与相互垂直且平分，如图，连接，，，， ∴四边形是菱形， 由②得， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 10. 写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式______． 【答案】答案不唯一，如 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数图像的特点是解题关键． 由一次函数图像经过的象限可得，，只需要写出一个符合条件的答案即可． 【详解】解：∵一次函数图像过第二、三、四象限， ∴，， ∴此题答案不唯一，如． 故答案为：答案不唯一，如． 11. 若是整数，则正整数的最小值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 12. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 【答案】 6 【解析】 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴. 13. 在中，的平分线将分成和两条线段，则的周长为____． 【答案】14或16 【解析】 【分析】的平分线分成和两条线段，设的平分线交于点，需分两种情况讨论，或，利用平行四边形对边平行的性质可证为等腰三角形，得到，进而计算平行四边形的周长. 【详解】解：设的平分线交于点， 四边形是平行四边形， ， ， 又 ， ， ， ， 当时， ， 的周长 ； 当时， ， 的周长 ， 综上，的周长为或. 14. 如图，已知的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，阴影部分面积半圆半圆直角三角形面积半圆，求出即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 则 ． 15. 如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、，由平行四边形的性质可得点是的中点，从而判断是的中位线，则．由直角三角形的性质可得，结合，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵在中，点为斜边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值． 16. 如图1，四边形是菱形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查动点函数图象，菱形的性质，勾股定理，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，结合运动轨迹及运动图象得出，当时，y有最小值，此时点P和点E重合，得到，勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象可得，， 当时，y有最小值，此时点P和点E重合， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故答案为：． 三、解答题（共60分，第17题10分，第18题6分，第19题5分，第20题6分，第21、22题各7分，第23、24题各6分，第25题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的对边平行得到，得到，再根据垂直的定义得到，则，推出四边形为矩形，再利用矩形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 19. 已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； 分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； 画射线． 射线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 由作法可知． ∴四边形是___________．（___________）（填推理的依据） ∴平分（___________）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析； （2）菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角． 【解析】 【分析】本题考查作图，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． （1）按照题目描述的作法作图即可； （2）根据菱形的判定和性质补全证明过程即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 【小问2详解】 证明：连接，． 由作法可知． ∴四边形是菱形．（四条边相等的四边形是菱形） ∴平分（菱形的每一条对角线平分一组对角）． 故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角． 20. 如图①，现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图②所示．若云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米．救人时云梯伸长至最长，在完成从13米高处救人后，还要从15米高处救人，这时消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离约为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：）． 【答案】2.18米 【解析】 【分析】根据勾股定理求出米，米，即可求出的值． 【详解】解：由已知米，米，米 ∴米 ∵ ∴ ∴米 ∵米，米 ∴米 同理：米． ∴（米） 答：消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离约为2.18米． 21. 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出一次函数的图象； （3）结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）由一次函数的图象与正比例函数的图象平行，可得，由一次函数的图象过点可得即可； （2）图象如图所示：描点（0，2）与（2，-4）连线得图像如图； （3）①先求直线与x轴的交点（，0），当时，直线位于x轴下方， 可得； ②先求x=0，；x=2，即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ， 又∵一次函数的图象过点． 根据题意得：， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）图象如图所示： 取x=0，y=2，描点（0，2）与（2，-4）， 连线得图像如图， （3）①当时，=，直线与x轴的交点（，0）， 当时，直线位于x轴下方，自变量的取值范围在交点的右侧， ∴； 故答案为； ②当时，取x=0，，取x=2，， ∴， 故答案． 【点睛】本题考查平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围，掌握平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围是解题关键． 22. 学校组织初二年级学生去参加社会实践活动，学生分别乘坐甲车、乙车，从学校同时出发，沿同一路线前往目的地．在行驶过程中，甲车先匀速行驶1小时后，提高速度继续匀速行驶，当甲车超过乙车40千米后停下来等候乙车，两车相遇后，甲车和乙车一起按乙车原来的速度匀速行驶到达目的地．如图是甲、乙两车行驶的全过程中经过的路程y（千米）与出发的时间x（小时）之间函数关系图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的路程为______千米； （2）乙车行驶的速度为______千米／时，甲车等候乙车的时间为______小时； （3）甲、乙两车出发________小时，第一次相遇； （4）甲、乙两车出发________小时，相距20千米． 【答案】（1）560；（2）80，0.5；（3）2；（4）1， 3，4.25. 【解析】 【分析】(1)根据函数图象中的数据可以写出甲行驶的路程； (2)根据函数图象中的数据可以求得乙车行驶的速度和甲等候乙车的时间； (3)根据函数图象中的数据可以计算出甲、乙两车第一次相遇的时间； (4)根据题意可以计算出两车相距20千米时行驶的时间. 【详解】(1)由图象可得， 甲行驶的路程为560千米， 故答案为： 560； (2) 乙车行驶的速度为：5607=80千米/时， 甲车等候乙车的时间为：4080=0.5小时， 故答案为：80，0.5； (3) a=32080=4， c=320+40=360， 当时，甲车的速度是: (360-60)  (4-1) =100千米/时， 设甲、乙两车c小时时，两车第一次相遇，80c=60+100 (c-1)， 解得，c=2， 故答案为：2；  (4) 当甲、乙两车行驶t小时时，相距20千米， 当时，80t-60t=20，得t=1， 当时，，解得t=1（舍去），t=3， 当时，360-80t=20，解得t=4.25， 综上，当甲、乙两车行驶1小时、3小时或4.25小时，两车相距20千米， 故答案为：1，3，4.25. 【点睛】此题考查一次函数的应用，正确理解函数图象的意义，根据图象提供的信息正确计算是解题的关键. 23. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证； （）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题： （1）直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）根据函数图象，写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】（1），图象见解析 （2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （3）或6.2 【解析】 【分析】（1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值． 【小问1详解】 解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，． y与x的函数图象如图所示， 【小问2详解】 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 【小问3详解】 令，； 令，． ∴当时x的值为或6.2． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 25. 如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． （1）求证：； （2）过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①见解析 ②；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意， ，，由，得到即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②延长到，使，连接，则， 由（1）得 ，可证 ，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：①依题意补全图形，如图： ②与之间的数量关系是， 证明：延长到，使，连接， ， ， 又∵由（1）得， ， ∵以为圆心，长为半径作弧，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 附加题（共10分，第1题3分，第2题7分） 26. 已知，反之，． 又如，． 参考以上方法解决下列问题： （1）将写成完全平方的形式为 ； （2）若一个正方形的面积为，则它的边长为 ； （3）的算术平方根为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）参考题目的方法即可求解； （2）参考题目的方法可得，再根据正方形的边长是正方形的面积的算术平方根即可求解； （3）参考题目的方法可得，根据算术平方根的定义以及二次根式的性质化简即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵一个正方形的面积为，即， ∴它的边长为； 【小问3详解】 解： ， ∴， 即的算术平方根为． 27. 对于平面直角坐标系中的线段与点R，给出如下定义：若，则称点R为线段的“等长点”．如图，已知点，． （1）在点，，中，线段的“等长点”为 ； （2）若直线上存在线段的“等长点”，求b的取值范围； （3）连接AB， ①若第一象限内的点R是线段的“等长点”，且△ABR是直角三角形，则点R的坐标为 ； ②矩形CDEF中，DE＝2，，，若矩形CDEF上存在线段的“等长点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据线段的“等长点”的定义分别求出,即可求得答案； （2）通过构造极限位置，求出极限位置的b值，即可求出b的取值范围； （3）①根据定义，即可得出，再结合条件是直角三角形，即可得出,再构造全等三角形即可求出坐标；②设线段的“等长点”为M，分类讨论线段EF的位置，在直线y=1上方和下方，分别考虑何时,求出t的极限值，即可得出t的取值范围． 【详解】解：（1）,,, ∵, ∴线段的“等长点”为，； （2）如图，过点B作直线的垂线，垂足为H． 不妨设直线与轴交于点M，与轴交于点N， 则易得，， ∴， ∴， 当时，， i)若，则， ii）若，则， 结合函数图象，可得； （3）①点R是线段的“等长点”， ∴, 又∵△ABR是直角三角形， ∴ 过点R作PR⊥y轴于点P，如图， 由图可知：, ∵,, ∴, 在和中， ∵, ∴, ∴ , ∴点R的坐标为； ②设线段的“等长点”为M， 则, 当线段EF在直线y=1下方时， 两个极限位置如图： 分析得 ； 当线段EF在直线y=1上方时， 若矩形在y轴右侧，两个极限位置如图： 分析得； 若矩形在y轴左侧，两个极限位置如图： 分析得； 综上所述： 【点睛】本题考查一次函数与新定义问题，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键是理解题目中新定义的概念，结合题目条件进行正确的分析和运算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $