专题04 反比例函数全章9大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 反比例函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、反比例函数的定义 题型二、求反比例函数解析式 题型三、反比例函数的图像 题型四、比较反比例函数值或自变量的大小 题型五、判断反比例函数图象所在象限 题型六、k的几何意义 题型七、反比例函数与几何综合 题型八、反比例函数与一次函数的综合 题型九、反比例函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与基本形式 1．精准掌握反比例函数的定义：形如 （ 为常数， 的函数； 2．熟练识别三种等价形式： ； 3．明确自变量 、函数值 的取值范围。 以基础选择题、填空题为主，考查反比例函数的识别、的非零性判断，为低难度送分题，属于必拿分考点。 待定系数法求反比例函数解析式 1. 熟练掌握“设（设出）、列（代入已知点坐标列方程）、解（求解）、代（写出解析式）”四步流程； 2. 能根据图像上的点、函数图像、实际情境等不同条件，快速求出函数解析式。 选择、填空、解答题均有考查，常与点的坐标、函数图像、实际问题结合，是解答题的基础必备技能，也是后续综合题的前提。 反比例函数的图像与性质 1. 掌握双曲线的象限分布与的符号的对应关系（时在一、三象限；时在二、四象限）； 2. 深刻理解同一分支上的增减性（时，同一分支内随增大而减小；时，同一分支内随增大而增大）； 3. 了解反比例函数的对称性（中心对称：关于原点对称；轴对称：关于直线、对称）。 高频核心考点，选择、填空题必考，常结合象限判断、增减性分析、对称性命题，易错点为忽略“同一分支”的前提条件，属于中等难度考点。 反比例函数中的几何意义 1. 熟练掌握核心结论：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为；过双曲线上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为； 2. 能实现双向互推：由的值求图形面积，由图形面积反求的值。 选择、填空题的核心高频考点，考查形式以由点坐标求面积、由面积求值为主，是期末考的必拿分模块，区分度低。 反比例函数的函数值大小比较 1. 掌握两种比较逻辑： ① 同分支（同一象限）：利用增减性判断； ② 跨分支（不同象限）：利用函数值的正负性直接判断； 2. 能结合函数图像，快速判断不同点的函数值大小关系。 选择题高频考点，常给出不同分支的点的横坐标，比较纵坐标的大小，易错点为混淆跨分支与同分支的比较逻辑，属于中等难度考点。 反比例函数与一次函数的综合应用 1. 能求解反比例函数与一次函数图像的交点坐标； 2. 能结合图像，判断不同区间内两个函数值的大小关系； 3. 能解决综合题中的图形面积计算、参数求解等问题。 解答题的高频考点，常作为中档或压轴题出现，考查数形结合思想与综合分析能力，难度中等偏上，是试卷的区分度考点。 反比例函数的实际应用 1. 能根据工程、行程、面积等实际情境，建立反比例函数模型； 2. 能利用反比例函数的性质，解决实际问题中的最值、取值范围等问题。 偶见于解答题，考查建模能力与应用意识，难度中等，属于拓展性考点。 知识点1 反比例函数的概念 1.成反比例 如果变量与变量的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成反比例，用数学表达式表示为或者，其中是一个不等于0的常数. 2.反比例函数基本概念 (1)概念：一般地，形如（是常数，）的函数叫作反比例函数.非零常数称为比例系数.反比例函数由比例系数的值确定 【特别提醒】反比例函数的表达式也可写成或（是常数，）的形式. (2)自变量x的取值范围：不等于零的一切实数. (3)函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 知识点2 用待定系数法求反比例函数的表达式 1.求反比例函数表达式的一般方法是待定系数法 在反比例函数（是常数，）中，只有一个待定系数，因此只要给出一对、的对应值，就可以求出待定系数的值，从而确定反比例函数的表达式. 2.用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 （1）设→设反比例函数的表达式为（） （2）列→把已知与的一对对应值同时代入（），得到关于的方程 （3）解→解方程，求出的值 （4）代→将求出的的值代入所设表达式中，即可得到所求反比例函数的表达式 知识点3 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 知识点4 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 知识点4 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一、反比例函数的定义 解｜题｜技｜巧 反比例概念题，紧抓两条件 （1）函数 为反比例函数必须要满足两个条件： ①比例系数 不为 0 ；②自变量的次数为 -1． （2）函数 为反比例函数，必须满足两个条件： ①比例系数 不为 0 ；②自变量的次数为1 ． 例1．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·上海闵行·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为，如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为______. 【变式2】（2026八年级下·上海·阶段检测）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， (1)求关于的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值 题型二、求反比例函数解析式 例2 （23-24八年级上·上海金山·期中）已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是______． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）反比例函数的图象过点，则这个函数的解析式为____． 【变式2】（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【变式3】（2025八年级上·上海杨浦·期末）已知y与2x﹣3成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y关于x的函数解析式． 题型三、反比例函数的图像 解｜题｜技｜巧 判定与反比例函数有关的图象共存问题的方法 (1)在同一平面直角坐标系中，判断反比例函数图象与一次函数图象的位置，一般分k＞0和k＜0两种情况进行讨论，由比例系数的符号确定图象位置; (2)可以先由一个图象在平面直角坐标系中的位置，确定比例系数的取值范围，再判断另一个函数图象是否正确; (3)直接看由两个函数的图象位置推导出的比例系数的取值范围是否一致，从而找出正确选项. 例3 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 题型四、比较反比例函数值或自变量的大小 解｜题｜技｜巧 点 ， 在反比例函数图象的同一分支上的方法： - 当 时， 随 的增大而减小： - - - 当 时， 随 的增大而增大： - - 点 ， 在反比例函数图象的不在同一分支上的方法： - 当 时，若 ，则必有 ； - 当 时，若 ，则必有 。 例4 （2026八年级下·上海·阶段检测）已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知点，，都在反比例函数的图象上，则用“”将，，按从大到小的顺序排列为____________． 【变式2】（2025八年级上·上海松江·期末）已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 【变式3】（2025八年级上·上海崇明·期末）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 题型五、判断反比例函数图象所在象限 例5 （2025八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【变式1】（2026八年级下·上海·期中）已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．该函数的图象与y轴有交点 C．该函数图象与x轴的交点为（1，0） D．当时，y的取值范围是 【变式2】（2025八年级上·上海闵行·期末）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型六、k的几何意义 解｜题｜技｜巧 矩形：过双曲线上任意一点分别作轴、轴的垂线,所得矩形的面积为 三角形：过双曲线 上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 例6 （23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为______． 【变式1】（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型七、反比例函数与几何综合 例7 （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【变式1】（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）在平面直角坐标系中，矩形与矩形的位置如图所示，点、在轴上，点、在轴上，反比例函数的图象经过点，若，则空白部分的面积的值为_____． 【变式2】（2026八年级下·上海·阶段检测）如图，点，分别在反比例函数，的图象上，且轴，点在轴的正半轴上，连接，，则的面积为___________． 【变式3】（2025八年级上·上海杨浦·期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 题型八、反比例函数与一次函数的综合 例8 （2026八年级下·上海·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． (1)求的值； (2)的面积． 【变式1】（2025八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【变式2】（2025八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【变式3】（2025八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 题型九、反比例函数的实际应用 例9 （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【变式1】（2026八年级下·上海·阶段检测）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【变式2】（2025八年级上·上海松江·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026八年级下·上海·阶段检测）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 4．（2025八年级上·上海杨浦·期末）若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是_____． 5．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 6．（2025八年级上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 _____． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2026八年级下·上海·期中）如图，菱形的顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数的图象经过顶点B，则k的值为__． 3．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 4．（2025八年级上·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，过的图象上点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B、D两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为、、、，若，则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 4．（2025八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、反比例函数的定义 题型二、求反比例函数解析式 题型三、反比例函数的图像 题型四、比较反比例函数值或自变量的大小 题型五、判断反比例函数图象所在象限 题型六、k的几何意义 题型七、反比例函数与几何综合 题型八、反比例函数与一次函数的综合 题型九、反比例函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与基本形式 1．精准掌握反比例函数的定义：形如 （ 为常数， 的函数； 2．熟练识别三种等价形式： ； 3．明确自变量 、函数值 的取值范围。 以基础选择题、填空题为主，考查反比例函数的识别、的非零性判断，为低难度送分题，属于必拿分考点。 待定系数法求反比例函数解析式 1. 熟练掌握“设（设出）、列（代入已知点坐标列方程）、解（求解）、代（写出解析式）”四步流程； 2. 能根据图像上的点、函数图像、实际情境等不同条件，快速求出函数解析式。 选择、填空、解答题均有考查，常与点的坐标、函数图像、实际问题结合，是解答题的基础必备技能，也是后续综合题的前提。 反比例函数的图像与性质 1. 掌握双曲线的象限分布与的符号的对应关系（时在一、三象限；时在二、四象限）； 2. 深刻理解同一分支上的增减性（时，同一分支内随增大而减小；时，同一分支内随增大而增大）； 3. 了解反比例函数的对称性（中心对称：关于原点对称；轴对称：关于直线、对称）。 高频核心考点，选择、填空题必考，常结合象限判断、增减性分析、对称性命题，易错点为忽略“同一分支”的前提条件，属于中等难度考点。 反比例函数中的几何意义 1. 熟练掌握核心结论：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为；过双曲线上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为； 2. 能实现双向互推：由的值求图形面积，由图形面积反求的值。 选择、填空题的核心高频考点，考查形式以由点坐标求面积、由面积求值为主，是期末考的必拿分模块，区分度低。 反比例函数的函数值大小比较 1. 掌握两种比较逻辑： ① 同分支（同一象限）：利用增减性判断； ② 跨分支（不同象限）：利用函数值的正负性直接判断； 2. 能结合函数图像，快速判断不同点的函数值大小关系。 选择题高频考点，常给出不同分支的点的横坐标，比较纵坐标的大小，易错点为混淆跨分支与同分支的比较逻辑，属于中等难度考点。 反比例函数与一次函数的综合应用 1. 能求解反比例函数与一次函数图像的交点坐标； 2. 能结合图像，判断不同区间内两个函数值的大小关系； 3. 能解决综合题中的图形面积计算、参数求解等问题。 解答题的高频考点，常作为中档或压轴题出现，考查数形结合思想与综合分析能力，难度中等偏上，是试卷的区分度考点。 反比例函数的实际应用 1. 能根据工程、行程、面积等实际情境，建立反比例函数模型； 2. 能利用反比例函数的性质，解决实际问题中的最值、取值范围等问题。 偶见于解答题，考查建模能力与应用意识，难度中等，属于拓展性考点。 知识点1 反比例函数的概念 1.成反比例 如果变量与变量的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成反比例，用数学表达式表示为或者，其中是一个不等于0的常数. 2.反比例函数基本概念 (1)概念：一般地，形如（是常数，）的函数叫作反比例函数.非零常数称为比例系数.反比例函数由比例系数的值确定 【特别提醒】反比例函数的表达式也可写成或（是常数，）的形式. (2)自变量x的取值范围：不等于零的一切实数. (3)函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 知识点2 用待定系数法求反比例函数的表达式 1.求反比例函数表达式的一般方法是待定系数法 在反比例函数（是常数，）中，只有一个待定系数，因此只要给出一对、的对应值，就可以求出待定系数的值，从而确定反比例函数的表达式. 2.用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 （1）设→设反比例函数的表达式为（） （2）列→把已知与的一对对应值同时代入（），得到关于的方程 （3）解→解方程，求出的值 （4）代→将求出的的值代入所设表达式中，即可得到所求反比例函数的表达式 知识点3 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 知识点4 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 知识点4 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一、反比例函数的定义 解｜题｜技｜巧 反比例概念题，紧抓两条件 （1）函数 为反比例函数必须要满足两个条件： ①比例系数 不为 0 ；②自变量的次数为 -1． （2）函数 为反比例函数，必须满足两个条件： ①比例系数 不为 0 ；②自变量的次数为1 ． 例1．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 反比例函数的一般形式为（k为常数，），选项C为正比例函数，不符合反比例函数定义． 【详解】解：反比例函数形式为（）， A：，是反比例函数； B：，是反比例函数； C：，是正比例函数，不是反比例函数； D：，是反比例函数； 故选：C． 【变式1】（2025八年级上·上海闵行·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为，如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为______. 【答案】400 【分析】把代入计算即可. 【详解】把代入，得 度. 故答案为400度. 【点睛】本题考查了求反比例函数值，将正确代入是解答本题的关键. 【变式2】（2026八年级下·上海·阶段检测）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， (1)求关于的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与成反比例，可设，与成正比例，可把看成一个整体，设，利用待定系数法即可求解； （2）把代入解析式解答即可． 【详解】（1）解：设，，则， 当时，；当时， 可得， 解得：． ； （2）解： 题型二、求反比例函数解析式 例2 （23-24八年级上·上海金山·期中）已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，根据反比例函数的定义，设函数关系式为，再代入已知点求常数k即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， ∵函数图象经过点， ∴，解得， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）反比例函数的图象过点，则这个函数的解析式为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，设出函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·上海杨浦·期末）已知y与2x﹣3成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y关于x的函数解析式． 【答案】y＝ 【分析】根据题意可以设出y＝（k≠0），把“x＝2，y＝4”代入，进行求解即可得出函数解析式． 【详解】解：依题意可设y＝（k≠0）， ∵当x＝2时，y＝4， ∴4＝， ∴k＝4， ∴函数解析式为y＝． 答：y关于x的函数解析式是y＝． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，注意设函数解析式时，系数k不为零． 题型三、反比例函数的图像 解｜题｜技｜巧 判定与反比例函数有关的图象共存问题的方法 (1)在同一平面直角坐标系中，判断反比例函数图象与一次函数图象的位置，一般分k＞0和k＜0两种情况进行讨论，由比例系数的符号确定图象位置; (2)可以先由一个图象在平面直角坐标系中的位置，确定比例系数的取值范围，再判断另一个函数图象是否正确; (3)直接看由两个函数的图象位置推导出的比例系数的取值范围是否一致，从而找出正确选项. 例3 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大， ∴，图象过一、三象限， ∴反比例函数在一三象限， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴点在它的图象上，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，该选项说法正确，不符合题意； 、反比例函数的图象关于直线对称，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 题型四、比较反比例函数值或自变量的大小 解｜题｜技｜巧 点 ， 在反比例函数图象的同一分支上的方法： - 当 时， 随 的增大而减小： - - - 当 时， 随 的增大而增大： - - 点 ， 在反比例函数图象的不在同一分支上的方法： - 当 时，若 ，则必有 ； - 当 时，若 ，则必有 。 例4 （2026八年级下·上海·阶段检测）已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 【变式1】（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知点，，都在反比例函数的图象上，则用“”将，，按从大到小的顺序排列为____________． 【答案】 【分析】根据题意得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故． 【变式2】（2025八年级上·上海松江·期末）已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴函数图象的两个分支位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·上海崇明·期末）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由反比例函数解析式可得函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 题型五、判断反比例函数图象所在象限 例5 （2025八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 【变式1】（2026八年级下·上海·期中）已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．该函数的图象与y轴有交点 C．该函数图象与x轴的交点为（1，0） D．当时，y的取值范围是 【答案】C 【分析】函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的，根据两个函数的图像，可排除A，B，C选项，将y=0代入函数可得到函数与x轴交点坐标为（1,0），故C选项正确． 【详解】解：函数与函数的图象如下图所示： 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的， A、由图象可知函数，当时，y随x的增大而减小，选项说法错误，与题意不符； B、函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与y轴无交点，选项说法错误，与题意不符； C、将y=0代入函数中得，，解得，故函数与x轴交点坐标为（1,0），选项说法正确，与题意相符； D、当时， ，有图像可知当时，y的取值范围是，故选项说法错误，与题意不符； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，以及函数图象的平移，函数与数轴的交点求法，能够画出图象，并掌握数形结合的方法是解决本题的关键． 【变式2】（2025八年级上·上海闵行·期末）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴双曲线在第二、四象限，函数y＝kx的图象经过第二、四象限， ∴B选项满足题意 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 题型六、k的几何意义 解｜题｜技｜巧 矩形：过双曲线上任意一点分别作轴、轴的垂线,所得矩形的面积为 三角形：过双曲线 上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 例6 （23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得到的面积为即可求解． 【详解】解：∵点A是函数在第一象限内的图像上一点，轴于点B， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式1】（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】连接，根据图象先证明与的面积相等，再根据题意分别计算出与的面积即可得的面积． 【详解】解：连接，设与y轴交于点D，如图，    ∵反比例函数与函数的图象为中心对称图形， ∴O为的中点， ∴， ∵由题意得A点在上，B点在上， ∴，； ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算． 【变式3】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 题型七、反比例函数与几何综合 例7 （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标；再根据关于直线对称的性质，通过构造辅助线证明全等三角形，推导出点的坐标；最后构造正方形，用正方形面积减去周边直角三角形的面积，即可算出的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 【变式1】（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）在平面直角坐标系中，矩形与矩形的位置如图所示，点、在轴上，点、在轴上，反比例函数的图象经过点，若，则空白部分的面积的值为_____． 【答案】6 【分析】该题考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数中值的几何意义得出，再求出，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，四边形与是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式2】（2026八年级下·上海·阶段检测）如图，点，分别在反比例函数，的图象上，且轴，点在轴的正半轴上，连接，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据点坐标求出点坐标是解题的关键．设点坐标为，由轴可得点的纵坐标为，则，于是可得，即点坐标为，则，进而可得，由此即可求出的面积． 【详解】解：设点坐标为， 轴， 点的纵坐标为，则： ， ， 点坐标为， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·上海杨浦·期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【答案】(1)8 (2) (3)6 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）点的坐标为，则，由即可建立函数解析式； （3）根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）解：如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 点的坐标为， ， ， （3）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 题型八、反比例函数与一次函数的综合 例8 （2026八年级下·上海·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． (1)求的值； (2)的面积． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）先由点求出，进而求出、的坐标，再将点的坐标代入，即可得的值； （2）根据求解． 【详解】（1）解：直线交轴于点， ∴， ∴直线， ∵点，在上， ∴，， ∴， ∴，， ∵点在上， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 【变式1】（2025八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； （3）解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 【变式2】（2025八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 【变式3】（2025八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或； (3)或或或 【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， 点A的纵坐标为3， 反比例函数经过点， 当时，， ∴， ， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：； （2）解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． 题型九、反比例函数的实际应用 例9 （2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 【变式1】（2026八年级下·上海·阶段检测）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 【变式2】（2025八年级上·上海松江·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】(1)； (2)； (3)小时． 【分析】（）根据图象利用待定系数法即可求出函数解析式； （）由（）得，根据图象即可求出恒定温度； （）根据各时间段的函数解析式算出时的值，相减即可； 此题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用． 【详解】（1）设直线的函数解析式为：， 根据图象经过点， ∴，解得：， ∴直线 ∴与时间的函数关系式为； （2）由（）得与时间的函数关系式为；， 则当时，， ∴恒定温度为：； （3）设小时内函数解析式为：， 根据图象经过点 ∴，解得：， ∴函数解析式为：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴不低于时间共小时， 即相对有利于水果生长的时间共17.5小时． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026八年级下·上海·阶段检测）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】对于反比例函数（，为常数），当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得：． 4．（2025八年级上·上海杨浦·期末）若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质来解答． 先根据反比例函数中判断出函数图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：， 函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ，， ， ， ， 点位于第四象限， ， ， 故答案为：． 5．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键．用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其图象所在的象限即可． 【详解】解：将点代入得，解得：， 因为，所以的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 6．（2025八年级上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 _____． 【答案】 【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴A3所在的正方形的边长为1， ∴A3（1，1）， 设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1）， ∴m（m+1）＝1， 解得m＝（负数舍去）， ∴A2的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，正方形的性质，一元二次方程的计算，准确计算是解题的关键． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】把点代入和可求出、的值，即可得到正比例函数和反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， ，， 正比例函数为，反比例函数为：， 如图，过点作轴交于点， 点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ， ， 点的纵坐标为， 可得， 解得， ， ． ． 2．（2026八年级下·上海·期中）如图，菱形的顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数的图象经过顶点B，则k的值为__． 【答案】32 【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值． 【详解】∵C（3，4）， ∴OC==5， ∴CB=OC=5， 则点B的横坐标为3+5=8， 故B的坐标为：（8，4）， 将点B的坐标代入y=得， 4=， 解得：k=32． 故答案为32． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标． 3．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：． 4．（2025八年级上·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据题意过点作轴于，设，则，进而，代入反比例函数解析式，求出，进而可求出的坐标，同样方法依次求出，的坐标，找出规律，继而求出本题答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ，，，，都是一边在轴上的等边三角形， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，过的图象上点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B、D两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为、、、，若，则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，在中，令得，进而得出，，，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ， ，， ， ， ． 故选B． 3．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两直线的交点及反比例函数的待定系数法.解题的关键是掌握求直线与坐标轴交点的方法及联立方程组求交点坐标． （1）先分别求出两条直线与轴的交点坐标，再联立两条直线的方程组求出交点的坐标，先令求出与轴交点，再联立方程组求出两直线交点； （2）设反比例函数解析式为，将点的坐标代入求出的值，从而得到反比例函数解析式． 【详解】（1）解：对于直线， 令, 得， 解得， ， 对于直线， 令, 得， 解得， ， 联立两直线方程：， 解得，， ； （2）解：设反比例函数解析式为， 反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式为． 4．（2025八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的定义等等： （1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点G为x轴坐标轴上一点，先求出点B的纵坐标，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再证明，得到，据此可得答案； （3）设出点C坐标，利用勾股定理求出，再分， 三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ， ∴， 设直线的表达式为， 把代入中得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解；设点G为x轴坐标轴上一点， ∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为4，， 在中，当时，， ∴， ∵； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； （3）解：∵点是的中点，点的坐标为， ∴点P的纵坐标为2， 在中，当时，， ∴； 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，则 解得， ∴点C的坐标为； 当时，则， 解得（舍去）或， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $