专题08反比例函数期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题08反比例函数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰反比例函数定义、表达式三种形式，区分正比例与反比例函数差异 2.熟记反比例函数图象双曲线特征，掌握图象分布象限规律 3.吃透 k 值几何意义、增减性、对称性核心基础知识点 4.掌握自变量取值范围、函数取值范围判定规则 1.具备根据条件列式、待定系数法求函数解析式的推导能力 2.熟练绘制、识别函数图象，依托图象分析函数变化规律 3.灵活运用 k 值性质、增减性比较函数值、自变量大小 4.建立数形结合思维，联动代数计算与几何图形解题 5.学会处理反比例与一次函数综合题型，梳理关联逻辑 1.吃透选择填空高频考点，快速判断函数类型、象限、k 值符号 2.规范解答题步骤，精准求解解析式、交点坐标、图形面积 3.攻克函数大小比较、取值范围、实际应用三类常考难题 4.规避取值范围、k 值正负、增减性易错失分点 5.熟练应对函数综合压轴小题，提升答题正确率与做题速度 题型01.用反比例函数描述数量关系 题型02.由定义判定是否是反比例函数 题型03.由反比例函数定义求参数 题型04.求反比例函数值 题型05.由反比例函数值求自变量 题型06.判断反比例函数的图象 题型07.反比例函数图象判断其解析式 题型08.反比例函数图象对称点求点坐标 题型09.判断反比例函数的增减性 题型10判断反比例函数图象所在象限 题型11.由双曲线分布象限求参数范围 题型12.由反比例函数增减性求参数 题型13.比较反比例函数值或自变量大小 题型14.求反比例函数解析式 题型15.由比例系数求特殊图形面积 题型16.由图形面积求比例系数 题型17.一次与反比例函数图象综合判断 题型18.一次与反比例函数交点问题 题型19.一次与反比例函数综合应用 题型20.反比例函数与几何综合 题型21.实际问题与反比例函数 题型22.一次与反比例函数实际应用 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式: (1)y= (2) y=kx−1 (3) xy=k 3.取值范围自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 题型01.用反比例函数描述数量关系 1．下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 2．已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 3．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 题型02.由定义判定是否是反比例函数 4．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 5．，y=kx-1，xy=k是______函数的三种表现形式．其中k是常数，k≠0． 6．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x+6 D． 题型03.由反比例函数定义求参数 7．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为___________． 9．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．已知反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，求m的值． 题型04.求反比例函数值 11．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 12．已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 13．下列各点在反比例函数图象上是(    ) A． B． C． D． 14．已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)当且时，直接写出的取值范围． 题型05.由反比例函数值求自变量 15．以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 16．若反比例函数的图象经过，则的值是________． 17．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 题型06.判断反比例函数的图象 18．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 19．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____（用“＜”连接）． 20．定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 题型07.反比例函数图象判断其解析式 21．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 22．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    23．（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式； （2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值． 题型08.反比例函数图象对称点求点坐标 24．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 25．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是_____． 26．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 题型09.判断反比例函数的增减性 27．在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 28．已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则___（填“”或“”或“”）． 29．如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 题型10判断反比例函数图象所在象限 30．反比例函数的图象位于（    ） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 31．已知反比例函数，当时，的取值范围是___________． 32．如图，正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图像不可能是（   ） A．   B．   C．   D．   题型11.由双曲线分布象限求参数范围 33．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 34．已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 35．若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 36．已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 题型12.由反比例函数增减性求参数 37．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 39．在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 题型13.比较反比例函数值或自变量大小 40．下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（    ） x 1 2 3 y a b A． B． C． D． 41．若点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为________（用不等号连接） 42．已知点，在反比例函数（k为常数，）的图象上，若，且，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定的正负 题型14.求反比例函数解析式 43．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 __________． 44．若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 45．如图，直线与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线上一点， ，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是___________________ ． 46．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且与一次函数（）的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点B的坐标及一次函数的解析式； (3)求这两个函数图象的交点与原点构成的三角形面积． 题型15.由比例系数求特殊图形面积 47．如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为______． 48．如图，设点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴，垂足分别是C、D．连接、，若交于点，且的面积是2011，则梯形的面积是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 49．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 50．反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 题型16.由图形面积求比例系数 51．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值为___________． 52．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 53．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为15，则的值为______． 54．如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 题型17.一次与反比例函数图象综合判断 55．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（    ） A． B． C． D． 56．函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 57．一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 题型18.一次与反比例函数交点问题 58．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 59．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 60．如图，一次函数与反比例函数交于C、D两点，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 61．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：当时，自变量的取值范围为____________________； (3)点为平面内一点，且使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标． 题型19.一次与反比例函数综合应用 62．如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为______ ． 63．若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 64．如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 题型20.反比例函数与几何综合. 65．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则（　　） A． B． C． D． 66．已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 67．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，点都在双曲线上，则的值为_____． 68．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 题型21.实际问题与反比例函数 69．在校园科技文化艺术节的自制小台灯项目中，小明用一节定值电压的锂电池给台灯供电，通过改变滑动变阻器的阻值来调节灯泡的亮度．已知电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流大小为________． 70．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：则以下结论错误的是（   ） 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 A．当度时， B．随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短 C．老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少0.2m D．估计当度时，f一定小于 71．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 ___________吨． 72．某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 题型22.一次与反比例函数实际应用 73．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 74．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 75．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 76．在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08反比例函数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰反比例函数定义、表达式三种形式，区分正比例与反比例函数差异 2.熟记反比例函数图象双曲线特征，掌握图象分布象限规律 3.吃透 k 值几何意义、增减性、对称性核心基础知识点 4.掌握自变量取值范围、函数取值范围判定规则 1.具备根据条件列式、待定系数法求函数解析式的推导能力 2.熟练绘制、识别函数图象，依托图象分析函数变化规律 3.灵活运用 k 值性质、增减性比较函数值、自变量大小 4.建立数形结合思维，联动代数计算与几何图形解题 5.学会处理反比例与一次函数综合题型，梳理关联逻辑 1.吃透选择填空高频考点，快速判断函数类型、象限、k 值符号 2.规范解答题步骤，精准求解解析式、交点坐标、图形面积 3.攻克函数大小比较、取值范围、实际应用三类常考难题 4.规避取值范围、k 值正负、增减性易错失分点 5.熟练应对函数综合压轴小题，提升答题正确率与做题速度 题型01.用反比例函数描述数量关系 题型02.由定义判定是否是反比例函数 题型03.由反比例函数定义求参数 题型04.求反比例函数值 题型05.由反比例函数值求自变量 题型06.判断反比例函数的图象 题型07.反比例函数图象判断其解析式 题型08.反比例函数图象对称点求点坐标 题型09.判断反比例函数的增减性 题型10判断反比例函数图象所在象限 题型11.由双曲线分布象限求参数范围 题型12.由反比例函数增减性求参数 题型13.比较反比例函数值或自变量大小 题型14.求反比例函数解析式 题型15.由比例系数求特殊图形面积 题型16.由图形面积求比例系数 题型17.一次与反比例函数图象综合判断 题型18.一次与反比例函数交点问题 题型19.一次与反比例函数综合应用 题型20.反比例函数与几何综合 题型21.实际问题与反比例函数 题型22.一次与反比例函数实际应用 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式: (1)y= (2) y=kx−1 (3) xy=k 3.取值范围自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 题型01.用反比例函数描述数量关系 1．下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 2．已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 3．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【答案】(1)①60；②，反 (2)240块 【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得与成反比例关系，再根据表格中的数据可得对应的关系式； （2）根据正方形面积计算公式可求出的值，再将其代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴这间教室有； ②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴与成反比例关系，由表格中的数据可得，即，与成反比例关系． （2）解：5分米米， 每块方砖面积． 又， 当时，． 答：需要240块． 题型02.由定义判定是否是反比例函数 4．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的一般形式，逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B选项符合的形式，是反比例函数，符合题意； C选项是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D选项不是反比例函数，不符合题意． 5．，y=kx-1，xy=k是______函数的三种表现形式．其中k是常数，k≠0． 【答案】反比例 【解析】略 6．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x+6 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义判断即可； 【详解】中，的次数是2，不符合题意，故A错误； 是正比例函数，故B不符合题意； y＝5x+6是一次函数，故C不符合题意； 是反比例函数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。准确分析判断是解题的关键． 题型03.由反比例函数定义求参数 7．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选：B． 8．已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 设反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据题意得：，解得． 故答案为． 9．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 10．已知反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，求m的值． 【答案】2 【分析】根据反比例函数的定义可知m2﹣5＝﹣1，又根据图象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵是反比例函数 ∴m2﹣5＝﹣1， 解得：m＝2 或m＝﹣2， ∵反比例函数的图象在第一、三象限， 又 2m+1＞0，解得：m＞， ∴m＝2． 【点睛】本题考查反比例函数的定义与图象性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函数的定义以及图象的性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解题的关键． 题型04.求反比例函数值 11．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，故点不在反比例函数图象上； B、，故点在反比例函数图象上； C、，故点不在反比例函数图象上； D、，故点不在反比例函数图象上． 12．已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入函数解析式求出常数，再代入点求解． 【详解】解：点在反比例函数y＝的图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 13．下列各点在反比例函数图象上是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上． 【详解】解：A、将代入中得：，故本选项符合题意； B、代入中得：，故本选项不符合题意； C、代入中得：，故本选项不符合题意； D、代入中得：，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题． 14．已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)当且时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当且时，或 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解； （2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由且即可求出图像位置，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴． （2）解：反比例函数的图像如图所示， 当且时，在第二象限：或在第四象限：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键． 题型05.由反比例函数值求自变量 15．以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出四点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：由题意得：， A.，不符合条件； B.，不符合条件； C.，符合条件； D. ，不符合条件； 故选C． 【点睛】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键． 16．若反比例函数的图象经过，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、解一元一次方程等，根据题意，将代入表达式得到方程，求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过， ，解得， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 题型06.判断反比例函数的图象 18．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 19．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____（用“＜”连接）． 【答案】k1＜k2＜k3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系． 【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0； y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3； 故答案为k1＜k2＜k3． 【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 20．定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据新定义运算，写出函数解析式，再根据函数解析式即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 即为反比例函数，当时，图象在第一象限；当时，图象在第二象限； 故选：． 题型07.反比例函数图象判断其解析式 21．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 22．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 23．（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式； （2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值． 【答案】（1）；（2）2． 【分析】（1）由点A在第二象限，可知，，得：，  因为m为整数，即可得：，．设过点A的反比例函数解析式为，即有，得：，即反比例函数解析式为； （2）由反比例函数图像在二、四象限，可知，即，由正比例函数 过一、三象限，可知，由此可得：，则整数的值为2． 【详解】解：（1）点A在第二象限， ∴， 解得：， ∵m为整数， ∴， ∴， 设过点A的反比例函数解析式为， ∴，解得：， 即反比例函数解析式为； （2）∵反比例函数图像在二、四象限， ∴，即， ∵正比例函数 过一、三象限， ∴， 解得：， ∴， ∴整数的值为2． 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，坐标与图形，一元一次不等式组的解法，根据函数所在象限判断出相应的比例系数的范围是解本题的关键． 题型08.反比例函数图象对称点求点坐标 24．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 25．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先根据函数图象的对称性可得点与点关于原点对称，则，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：由函数图象的对称性可知，点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 由函数图象可知，当时，或， 故答案为：或． 26．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； （2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 题型09.判断反比例函数的增减性 27．在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意利用反比例函数图象及性质可知随增大而减小，继而根据关系得到的关系． 【详解】解：∵函数的图象上有两点， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， 故选∶D． 28．已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则___（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数的增减性，结合，即可比较与的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ， 点，都在第四象限， ． 29．如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据题意确定反比例函数图像所在象限，并确定每个象限内图像的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图像在二、四象限，并且在每个象限内y随x的增大而增大， ， A、B两点在第四象限，C在第二象限， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是掌握反比例函数图像所在象限，并且在每个象限内的增减性． 题型10判断反比例函数图象所在象限 30．反比例函数的图象位于（    ） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的比例系数， ∴根据反比例函数的图象性质，当时，函数图象位于第二、第四象限． 31．已知反比例函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 根据反比例函数的图象与性质可知：的图象当时在第一象限，且y随x的增大而减小，即可得出y的范围． 【详解】解：当时，， 因为反比例函数的图象当时在第一象限，且y随x的增大而减小， 所以当时，的取值范围是； 故答案为：． 32．如图，正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图像不可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像和正比例函数的图像，解题的关键是了解其图像的性质，结合图像利用排除法逐一分析即可作出判断． 【详解】A．∵正比例函数位于二四象限， ∴，即， ∴， ∴反比例函数的图像经过二、四象限，故此选项不符合题意； B．∵反比例函数的图像位于一三象限， ∴，即， ∴， ∴正比例函数的图像位于一三现象，故此选项不符合题意； C．∵反比例函数的图像位于二四象限， ∴，即， 当时，得， 此时正比例函数的图像位于一三象限，故此选项不符合题意； D．∵反比例函数的图像位于一三象限， ∴，即， ∴， ∴正比例函数的图像位于一三现象，故此选项符合题意． 故选：D． 题型11.由双曲线分布象限求参数范围 33．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】当反比例函数图象分布在第二、第四象限时，其比例系数小于0，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内， ∴，解得． 34．已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，指数部分应为，且图象在第二、四象限时比例系数小于0． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得，或， 又∵图象在第二、四象限， ∴比例系数，即， ∴不符合，符合， 故答案为． 35．若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限． 根据反比例函数的性质得，解得，根据正比例函数的性质得，解得，所以，然后找出此范围内的整数即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， 正比例函数的图象经过第二、四象限， ，解得， ， 整数为4． 故选：C． 36．已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围； （2）用待定系数法即可求出的值． 【详解】（1）∵图象的每一个分支上，随增大而减小， ∴ 解得： （2）把代入 中， ∴， 解得：， 【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型12.由反比例函数增减性求参数 37．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 38．点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，一元一次不等式的解法，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．先利用反比例函数的增减性得出点，在同一象限，再得出或，求解即可． 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∵点，在反比例函数的图象上，且，， ∴点，在同一象限， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 39．在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小 ∴ ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 ∴ 又∵为整数 ∴可取1，2，3 ∴满足条件的整数的值之和为 故选：B． 题型13.比较反比例函数值或自变量大小 40．下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（    ） x 1 2 3 y a b A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件判断反比例函数中的符号，再利用反比例函数的性质比较的大小． 【详解】解：∵当时，，当时，，且， ∴，整理得，解得， ∵反比例函数中， ∴当时，，且在范围内，随的增大而增大， 又∵， ∴． 41．若点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为________（用不等号连接） 【答案】/ 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限与增减性，再根据各点横坐标判断点的位置，结合增减性比较函数值大小即可 【详解】解：对于反比例函数， ， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ， ∴点、都在第二象限，第二象限内值恒为正； 点在第四象限，第四象限内值恒为负，即， ∵， ∴，且都大于， ∴． 42．已知点，在反比例函数（k为常数，）的图象上，若，且，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定的正负 【答案】C 【分析】本题考查比较反比例函数图象的性质．根据题意得到，，则，进一步分析即可即可得到答案． 根据反比例函数性质，结合已知条件分析求解即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数上， ∴，； ∵， ， ∴， ∵，且， ∴， 故选：C 题型14.求反比例函数解析式 43．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 __________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵正方形   ∴ ∵点E在反比例函数图象上，且点E的纵坐标为3， ∴． 故答案为：． 44．若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 45．如图，直线与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线上一点， ，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是___________________ ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线平行时斜率满足的关系，坐标与图形性质，先确定出坐标，根据，利用两直线平行时斜率相等确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立表示出坐标，再利用线段中点坐标公式表示出坐标，代入反比例解析式中列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，熟练表示相关点的坐标是解题的关键． 【详解】解：对于直线， 令，得到， ， ， 直线解析式为， 与反比例解析式联立消去得：， 去分母得：， 解得：或（舍去）， ． ， 为中点， ， 将坐标代入反比例解析式得：， 解得：． 故答案为：． 46．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且与一次函数（）的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点B的坐标及一次函数的解析式； (3)求这两个函数图象的交点与原点构成的三角形面积． 【答案】(1) (2)，一次函数解析式为 (3) 【分析】（1） 由反比例函数经过点求解即可； （2） 先求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （3）求解一次函数与y轴交点为，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为. （2）解：∵点在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， 将、代入， 得 解得， ∴一次函数解析式为 . （3）解：如图， 令，得一次函数与y轴交点为， ∴三角形的面积为：. 题型15.由比例系数求特殊图形面积 47．如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，设直线与轴交于点，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设直线与轴交于点， ∵点、分别在反比例函数和第一象限的图象上， ∴ ∵直线轴 ∴ 故答案为：． 48．如图，设点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴，垂足分别是C、D．连接、，若交于点，且的面积是2011，则梯形的面积是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键．利用k的几何意义得到，进而求解即可． 【详解】∵点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 49．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 50．反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 题型16.由图形面积求比例系数 51．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可． 【详解】解：如图设与y轴交于点C， 由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 52．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【答案】C 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 53．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为15，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质求出的值即可． 【详解】解：设，，则， ∴对角线的中点D的坐标为， ∴把代入得， 整理得， ∵菱形的面积为15， ∴， ∴，解得：． 54．如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式得到，，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用去绝对值求解． 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴ 题型17.一次与反比例函数图象综合判断 55．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式得到其函数图象一定y轴的正半轴交于点，排除选项C，再根据中的k与的一次项系数互为相反数，结合图象解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图像分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵解析式， ∴的图象一定y轴的正半轴交于点， ∴C错误； 当时，反比例函数的图象分布在一三象限，此时，， ∴的图象分布在二、一、四象限， ∴A正确，B错误； 当时，反比例函数的图象分布在二、四象限，此时，， ∴的图象分布在二、一、三象限， ∴D错误； 故选：A． 56．函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和反比例函数的图象与性质，分两种情况讨论，分别分析当时和时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意即为正确答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故A、D错误，B正确； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故C错误， 故选：B． 57．一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质，首先假设一次函数的图像是正确的，根据一次函数图像确定、的取值范围，根据、的取值范围判断反比例函数图像是否正确． 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故A选项错误； B选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 反比例函数在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， 又， 一次函数的图像不成立， 故D选项错误． 故选：B． 题型18.一次与反比例函数交点问题 58．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点及不等式解集的结合，利用函数图象的位置关系确定不等式的解集，即一次函数图象在反比例函数图象上方(包括交点)时对应的的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 59．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数在第一象限， ∴的图象过一、三象限， 观察可知，不等式的解集为或. 60．如图，一次函数与反比例函数交于C、D两点，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、根与系数的关系等知识点，过作轴于，过作轴于，利用面积法得到，代入数值得到，再联立解析式根据根与系数的和得到，代入求值即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，则， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 联立得到， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，即 解得， 故选：D． 61．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：当时，自变量的取值范围为____________________； (3)点为平面内一点，且使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）先将点代入求出反比例函数解析式，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即可得解； （3）利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数可得，， 解得：， 反比例函数， 当时，， 解得：， ， 将点，代入一次函数可得， ，解得：， 一次函数； （2）解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：令，， ∴， ∵，， 设， 以为对角线：对角线中点重合，，， 解得，， ∴； 以为对角线：对角线中点重合，，， 解得，， ∴； 以为对角线：对角线中点重合，，， 解得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 题型19.一次与反比例函数综合应用 62．如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为______ ． 【答案】或 【分析】求出平移后的反比例函数的图象与直线的两个交点坐标，再根据图象求解即可． 【详解】解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B， 令， 解得：， ∴，， 观察图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点． 63．若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 64．如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 题型20.反比例函数与几何综合. 65．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，设，则点到的距离为，点的横坐标为，则纵坐标为，可求出，由，即可求解． 【详解】解：设，则点到的距离为， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴， 解得， 故选：C ． 66．已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 【答案】12 【分析】分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点，证明，得到，进而得到点的坐标为，再求出，即可得出结果． 【详解】解：分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点， 则，轴，轴， ∵， ∴，点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即， ∵轴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 67．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，点都在双曲线上，则的值为_____． 【答案】6 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明三角形全等，得出相等的边，假设，根据反比例函数解析数列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，且四边形为平行四边形， ∴， ∴， 假设，则，即， ∵点都在双曲线上， ∴， 解得， ∴， ∴的值为． 68．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集； （3）先求出点C坐标，然后分两种情况讨论，利用割补法表示三角形面积即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：； （2）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． （3）解：由题意设， 对于，当时，，解得， ∴， 当点在点下方时， ∴，解得， ∴； 当点在点上方时， ∴，解得， ∴ 综上：P点坐标为或． 题型21.实际问题与反比例函数 69．在校园科技文化艺术节的自制小台灯项目中，小明用一节定值电压的锂电池给台灯供电，通过改变滑动变阻器的阻值来调节灯泡的亮度．已知电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流大小为________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出电流与电阻的函数关系式，再把代入关系式中求出I的值即可． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，． 70．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：则以下结论错误的是（   ） 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 A．当度时， B．随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短 C．老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少0.2m D．估计当度时，f一定小于 【答案】C 【分析】本题考查了变量之间的关系； 根据表格可直接得出A、B说法正确；根据度和度时镜片与光斑的距离可知C说法错误；根据随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短可知D说法正确． 【详解】解：A.当度时，，正确； B.随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短，正确； C.因为度时，；度时， ∴老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少的说法错误； D.因为随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短，当度时， 所以估计当度时，f一定小于，正确； 故选：C． 71．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 ___________吨． 【答案】376 【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨． 【详解】解：设甲车每次运吨， 乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨， 乙车每次运（吨，丙车每次运吨， 甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等， 丁车每次运吨， ，，，都是整数， 是6的倍数，最小为6， 设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次， 甲车共运输了120吨， ， ， 根据题意得： ， 当最小时，取最大值， 时，最大为（吨， 这批建筑材料最多有376吨， 故答案为：376． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键． 72．某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 【答案】(1)； (2)分钟 【分析】（1）根据函数图象分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （2）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：， 解得：， ； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：，解得：， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ， 解得， 在一个循环内水温不低于的时间为（分钟） 题型22.一次与反比例函数实际应用 73．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 74．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 75．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 76．在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 【答案】（1）；（2）；；（3）需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是米 【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、，先求出直线的解析式，然后求出点、的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）把代入中，得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ∴， ∴； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为， 由， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：；． （3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、， 则， ∵直线平分第二、四象限角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $