专题04正方形与三角形中位线及重心期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题04正方形与三角形中位线及重心期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰定义：有一组邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形，是特殊的矩形与菱形 2.熟记性质：兼备平行四边形、矩形、菱形全部性质；四边相等、四角为直角，对角线相等垂直平分且平分内角，兼具双重对称性 3.掌握判定：可从平行四边形、矩形、菱形三个角度判定正方形 4.熟知公式：灵活运用边长、周长、面积、对角线相关计算关系式 1.精准计算边长、角度、对角线、周长与面积相关数值 2.依据条件灵活选取判定方法，严谨完成几何推理证明 3.结合三角形知识，解决折叠、动点、图形拼接变式题型 4.清晰区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属与性质差异 1.基础判断计算题稳得分，规避概念混淆失误 2.证明步骤书写规范，逻辑严谨有据可依 3.从容应对各类常规题型，提升解题效率 4.融会多图形考点，顺利攻克综合压轴考题 题型01.正方形判定定理理解 题型02证明四边形是正方形 题型03.添条件使四边形是正方形 题型04.正方形性质理解 题型05.正方形性质求角度 题型06.正方形性质求线段长 题型07.正方形性质求面积 题型08.正方形中的折叠问题 题型09.求正方形重叠部分面积 题型10.正方形的性质证明 题型11.正方形性质与判定求角度 题型12.正方形性质与判定求线段长 题型13.正方形性质与判定求面积 题型14.正方形性质与判定证明 题型15.三角形中位线求解问题 题型16.三角形中位线证明问题 题型17.三角形中位线实际应用 题型18.重心的概念及性质 题型19.中点四边形 题型20.正方形中的动点问题 题型21.正方形中的最值问题 题型22.四边形的其他综合问题 知识点01:定义（精准直击） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心逻辑：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者所有性质，是最特殊的四边形。 知识点02:正方形五大全能性质（必考重点） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:性质对比表（快速区分三者，避免混淆） 对比维度 正方形 矩形 菱形 边 四条边相等，邻边垂直 对边相等，邻边不垂直 四条边相等，邻边垂直 角 四个角都是 90° 四个角都是 90° 对角相等，无直角 对角线 相等、垂直、互相平分，平分一组对角 相等、互相平分 垂直、互相平分，平分一组对角 对称轴 4 条 2 条 2 条 知识点04.正方形的判定（核心 知识点05:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 · 一个三角形有三条中位线。 · 中位线的两个端点都是边的中点。 2. 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4. 三条中位线的性质 三条中位线组成的新三角形，周长为原三角形的一半。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 . 知识点06:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点07:中点四边形 1、定义. 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形判定定理理解 1．下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用正方形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，因为矩形对角线互相平分，而此时对角线互相垂直，故一条对角线为另一条对角线的垂直平分线，则得到邻边相等，故对角线互相垂直的矩形是正方形，故不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，正确，根据菱形的对角线垂直且互相平分，此时对角线相等，则菱形被两条对角线分割成的四个直角三角形均是等腰直角三角形，继而得到菱形的一个内角为直角，因此对角线相等的菱形是正方形，故不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，因为对角线互相垂直且相等的四边形有无数个，故符合题意； 故选：D． 2．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 3．如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：A、，四边形是菱形，不一定是正方形，故不符合题意； B、，四边形是矩形，不一定是正方形，故不符合题意； C、，，四边形是正方形，故不符合题意； D、，，四边形不是正方形，故符合题意； 故选：C． 题型02证明四边形是正方形 4．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．若AD＝2，则当四边形ABCD的形状是____时，四边形AOBE的面积取得最大值是____． 【答案】 正方形 2 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；根据正方形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB． ∵OE＝CD， ∴OE＝AB． ∴平行四边形AEBO是矩形， ∴∠BOA＝90°． ∴AC⊥BD． ∴平行四边形ABCD是菱形； 当AD＝2时，四边形ABCD的形状是正方形， AB＝AD＝2，OE＝AB＝2， 即四边形AOBE的面积取得最大值是2． 故答案为：正方形，2． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定和性质，解本题的关键是掌握平行四边形的性质和菱形的判定． 5．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理逐一判断每个条件即可． 【详解】解：①∵该图形是平行四边形，且对角线互相垂直且相等， ∴该平行四边形既是对角线互相垂直的平行四边形（菱形），又是对角线相等的平行四边形（矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ②∵该图形是矩形，对角线互相垂直， ∴该四边形是正方形，符合题意； ③∵该图形是菱形，对角线相等， ∴该四边形是正方形，符合题意； ④∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再加上对角线相等，即可判定对角线相等的菱形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ⑤∵该图形是平行四边形，有一组邻边相等可得它是菱形，有一个角是直角可得它是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； 综上其中能判定四边形为正方形的有5个． 6．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证； （2）先求出，，在中，由勾股定理得到，在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又， ， ， 四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知， 在中，，，，则由勾股定理得， 在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、互余、直角三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟记特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 题型03.添条件使四边形是正方形 7．下列条件能判断正方形的是（   ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的性质和判定定理，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A、菱形本身的对角线互相垂直，因此对角线互相垂直的菱形仍是菱形，不能判定为正方形，该选项不符合题意； B、菱形是特殊的平行四边形，四边相等，对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，是正方形，该选项符合题意； C、矩形本身对角线互相平分，因此对角线互相平分的矩形仍是矩形，不能判定为正方形，该选项不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定为正方形，该选项不符合题意． 8．如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为_________．    【答案】 【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可． 【详解】∵分别是的中点， ∴ ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ 故， 故添加的条件是：． 【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键． 9．如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理，正方形的判定定理逐项判定解答即可． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且， ， ， ， 四边形是菱形， 当添加时，则， 故四边形是菱形， 故A错误，该选项不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B错误，该选项不符合题意； 当时， ， ， ， 菱形是正方形， 故C正确，该选项符合题意； 当E为的中点时，得到， 无法判定菱形是正方形， 故D错误，该选项不符合题意； 故选：C． 题型04.正方形性质理解 10．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．4个角都是直角 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质，先把正方形的性质和菱形的性质逐一写出来，再比较，即可作答． 【详解】解：正方形的性质：四边相等，对角线互相垂直，对角线互相平分，4个角都是直角； 菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直，对角线互相平分，4个角不一定是直角； 故选：D 11．已知是的最长边，将沿的中点旋转后得到，如果四边形是正方形，则下列对描述正确的是（　　） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．是等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定；由正方形的性质得，，即可求解；掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形． 故选：D． 12．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（    ） A．6 B．12 C．15 D．30 【答案】C 【分析】延长CD到G，使DG=BE，连接AG，易证所以AE=AG， ， 证，所以 GF=EF，设BE=DG=x，则EF=FG=x+2，在中，利用勾股定理得 解得求出x，最后求问题即可求解． 【详解】解：延长CD到G，使DG=BE，连接AG， 在正方形ABCD中，AB=AD， ， ， ， ， ， ， ， 又， (SAS)， ， 设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2， 在中，， ， 解得，x=3， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键. 题型05.正方形性质求角度 13．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，利用平角定义求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点在的延长线上， ， ， ， ， ． 14．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AE，AF．若，，则的度数为______． 【答案】67.5° 【分析】首先利用正方形的性质，结合等腰三角形及外角性质求出∠BFE＝22.5°，再根据SAS证得△ADE≌△CDE，得出AE＝CE＝EF，进而得到△AEF为等腰直角三角形，得出∠AFB＝67.5°． 【详解】解：∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠BDC＝∠DBC＝45°， ∵DE＝DC＝AD， ∴∠DEC＝∠DCE＝∠AED＝＝67.5°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠BCE＝90°−∠DCE＝90°−67.5°＝22.5°， ∵EF＝EC， ∴∠BFE＝∠BCE＝22.5°， ∵∠EBC是的一个外角， ∴∠BEF＝45°−22.5°＝22.5°， ∴∠BEF＋∠AED＝22.5°＋67.5°＝90°， ∴∠AEF＝180°−90°＝90°， 在△ADE和△EDC中， ， ∴△ADE≌△EDC（SAS）， ∴AE＝EC， ∴AE＝EF，即△AEF为等腰直角三角形， ∴∠AFE＝45°， ∴∠AFB＝∠AFE＋∠BFE＝45°＋22.5°＝67.5°， 故答案为：67.5°． 【点睛】本题考查正方形背景下求角度，涉及到正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、外角性质、互余应用、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，正方形中，将边折叠至，连接、，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作，由折叠可知，根据等腰三角形三线合一定理可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据正方形的四个角都是直角可得，根据同角的余角相等可证，等量代换可证结论成立； （2）证明，根据全等三角形的性质可证，设，则，由勾股定理可得，解方程求出，从而可得． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作， 由折叠可知， 平分， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ； （2）解：四边形是正方形，， ， 由折叠可知，， 在和中，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，． 题型06.正方形性质求线段长 16．如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 【答案】 【分析】①根据勾股定理即可求解； ②延长到点，使，连接，通过论证， ，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】①解：∵正方形中，， ∴， ∴， ②解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴解得：， ∴. 17．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 18．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在下图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质可得，，，证明，得出，设，，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∵点D在直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 19．点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点． (1)如图1，当点在线段上时，连接交于点，试判断的形状； (2)如图2，当点在线段上时，试探究线段，，的等量关系； (3)若，连接，取的中点，则当点从点运动到点时，点所经过的路径长为 ． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2) (3) 【分析】（1）根据点在线段上，利用三角形的全等判定可以得出问题； （2）过点作交于点，交于点，过点作于点，设，分别求得，，即可求解； （3）根据题意得出点的起始点，进而根据三角形的中位线的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： 连接，如图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， 由四边形内角和为， ， ， ， 且， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图所示，过点作交于点，交于点，过点作于点， ∴，是等腰直角三角形，四边形是矩形， 设 则 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，取中点，连接、， 当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合， ∴当点从点运动到点时，点所经过的路径长为的长， ∵， ∴， 则， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 题型07.正方形性质求面积 20．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质证明，而，则有平行线间的距离相等得到平行四边形的边上的高等于，即可得到． 【详解】解：如图 ∵正方形，等腰 ∴， ∴， ∵四边形是正方形，为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴平行四边形的边上的高等于， ∴． 21．如图，四个全等直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为10，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．2 B．2.5 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】由题意可得，设，则，由勾股定理可得，由题意可得，，即可得出，进而得出，由图形可得，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴， 由图形可得， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ． 22．在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交边于点，连接．      (1)如图1， ①若，求的度数； ②求的度数． (2)如图2，点在边上，，连接，求证：； (3)如图3，过作于，延长交的延长线于，若，求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)58 【分析】（1）①先证明，得出，得到； ②根据，，得出，从而得到； （2）过B作交的延长线于Q，证明，根据勾股定理得出，再证明，得到，根据，得到； （3）连接，，通过计算得出线段长度，根据勾股定理得出，再根据四边形是正方形，得出，得到，所以正方形的面积为58． 【详解】（1）解：①将边绕点逆时针旋转得到 ． 四边形是正方形， ． ； ② ． 又， ， ． （2）证明：如图，过作交的延长线于 ． ， ． 在中，根据勾股定理得，， ． 四边形是正方形， ， ， ， 又 ． ；    （3）解：如图，连接 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，根据勾股定理得，， ． 四边形是正方形， ， 正方形的面积为58．    【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角度计算等，掌握正方形的性质是解题的关键． 题型08.正方形中的折叠问题 23．如图，正方形沿BE翻折，延长交于G，正方形边长为12，E是中点，___________．    【答案】4 【分析】由折叠和正方形的性质可得，，，，进而证出，得出，设未知数，在中，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：∵是正方形， ∴， 由折叠得，，，， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， 即， 故答案为4． 【点睛】本题考查折叠轴，正方形的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握折叠轴的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的前提． 24．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 25．如图，正方形中，，E为边上一点，，连接 ，． 点 为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到 ，连接 ． (1)求，的长； (2)当点落在线段上，求的长； (3)连接，若为等腰三角形，求的值及． 【答案】(1)，； (2) (3)的值面积为或，面积为4． 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理解答即可； （2）利用折叠的性质得到，利用三角形的面积公式和正方形的性质得到正方形的面积，进而求得，再利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答∶①当CF=FD时，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到为等边三角形，则，利用折叠的性质解答即可；②当时利用等腰三角形的性质和正方形的性质得到为等边三角形，则， ，利用折叠的性质解答即可；③不存在的情形，综上即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形中，，E为边上一点， ， ， ， ， ； （2）当点F落在线段上，如图， 则，， ． ．E为边上一点， ， ， ， ， ； （3）①当CF=FD时，连接BF，如图， ，．将沿线段折叠，得到， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 过F作于N，交于M， 则， 四边形为矩形， ，， 为等腰三角形， ， 由折叠的性质得∶， ， 的面积； ②当时，如图， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 作于M，于N，如图所示∶ 则， 由折叠的性质得∶ ， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， 的面积； ③不存在的情形， 综上，若为等腰三角形，的值面积为或，面积为4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 题型09.求正方形重叠部分面积 26．如图，正方形的对角线、相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为，正方形的面积为，通过探索，我们发现：无论正方形绕点怎样转动，始终有______． 【答案】 【分析】由正方形性质可证△AOE≌△BOF（ASA）由S四边形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB即可． 【详解】解：∵正方形的对角线、相交于点， ∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°， 又∵点又是正方形的一个顶点， ∴∠A1OC1=90°， ∴∠AOE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°， ∴∠AOE =∠FOB， 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴S1=S四边形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=． 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积是解题关键． 27．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 28．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证即可得证； （2）设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长． 【详解】（1）证明：设、交于点，   ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， 四边形的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积的面积， 设的面积为， 则阴影部分的面积为：， 即， 解得， 设，， ， ，， ， 即， ． 题型10.正方形的性质证明 29．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 【答案】5 【分析】连接，根据证明得，再求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，． 30．如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 是斜边的中线， ， ， ，， ．故③正确； ∵ ∴， 若成立， ， ， ，， ， ， 在中，有， ， ， 显然， 假设不成立， ，故④错误， 故正确的有①②③． 31．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．      (1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有________________； (2)如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点，已知，，求的中线的长． 【答案】(1)菱形、正方形 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）结论：，利用勾股定理即可证明； （3）连接、，只要证明四边形是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线互相垂直，而平行四边形、矩形的对角线不一定互相垂直， ∴菱形、正方形一定是垂美四边形． （2）解：猜想：．理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、， ∵， ∴，即， ∵四边形和是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴，∴． 题型11.正方形性质与判定求角度 32．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 33．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 34．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 题型12.正方形性质与判定求线段长 35．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 36．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点， 则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3， 在Rt△BCM中，BM＝ ， 故DN+MN的最小值是5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键． 37．如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由推出，再结合是中点得到，又因、得到，依据判定定理即可证得． （2）先由、且，判定四边形为矩形，结合得到，进而判定四边形为正方形，即；再由、可知为等腰直角三角形，故，结合可判定为等腰直角三角形，即；已知，是中点得，在等腰中，由勾股定理求得，因此． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， 由得：， ∴四边形是正方形， ，是的中点， ． ∵，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ， ． 题型13.正方形性质与判定求面积 38．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点，，，是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得△PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案． 【详解】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交 则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°， ∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°， ∴∠PAF=∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积， 而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， ∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2． 故选C． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 39．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）正方形的边长相等，四个角相等，即，，根据条件还能证，故能证明． （2），，根据勾股定理能求出的长． 【详解】 （1）证明：， ， ， ． ，， ． （2）解：， ． ，，， ． 的面积为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 40．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 【答案】80 【分析】取边的中点M，连接,证明，得，，，进而可证明，，可得，根据勾股定理得，进而可得，即可求出四边形的面积． 【详解】解：取边的中点M，连接． ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∴在中，根据勾股定理得， ， ， ∵四边形是正方形， ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形三角形的判定等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 题型14.正方形性质与判定证明 41．如图，在四边形中，，点E、F分别在边上，与相交于点G，，线段的垂直平分线交于点H，且，若，则_________． 【答案】63 【分析】先证明四边形是正方形，可证得，可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 42．如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是， 故选A． 43．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和题意得，再根据矩形的判定证得四边形是矩形，由角平分线的定义得，再由等角对等边得，最后根据正方形的判定求证即可； （2）由角平分线的定义得，再由垂线的定义和矩形的性质得，根据等腰直角三角形的判定和勾股定理得，，即可求证； （3）由（2）得、是等腰直角三角形，，利用勾股定理求得，进而求得，再根据正方形的性质得，再根据等腰直角三角形的判定得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵平分， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的判定与性质是解题的关键． 题型15.三角形中位线求解问题 44．如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据中点的定义判定是的中位线，利用三角形中位线定理计算即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ； 点，点分别是，的中点， 是的中位线； . 45．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，的最小值为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据中位线的性质可得，即最小时，最小，当时，最小，此时，根据含30度的直角三角形性质结合勾股定理求出，根据菱形的性质即可得解． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，则的最小值为，此时， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ． 46．如图，在中，已知，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，过点E作的平行线； (2)在图2中，作的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】1）连接交于点O，作直线交于点F，根据点E是的中点，得到是的中位线，继而得到，故可判定； （2）连接交于点O，得到是的中线，根据点E是的中点，得到是的中线，设，交于点G，则点G是的重心，连接并延长交于点H，则为边上的中线，因为，根据等腰三角形的三线合一性质即可判定是的高． 【详解】（1）解：根据平行四边形的性质，三角形中位线的性质，画图如下： 则直线即为所求； （2）解：如图所示 即为所求 题型16.三角形中位线证明问题 47．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理可得，，然后得到，，结合证明出平行四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，设，表示出，然后根据矩形的面积公式表示出四边形的面积，然后根据配方法结合平方的非负性求解即可． 【详解】解：如图， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ，且， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 ∵，，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积． ∵ ∴ ∴四边形的最大面积是4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理，配方法的应用等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 48．如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和判定，三角形中位线的利用及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 由点、分别是边、的中点，可知是的中位线，根据中位线定理即可证明②，根据等腰三角形的性质可证①，由 D是中点，可证，再利用平行，可证明③，在中，不一定等于，即可判断④． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴， 则②符合题意， ∵， ∴， ∴， 则①符合题意， ∵D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则③符合题意， 由于不一定是等腰三角形，则不一定等于，则不一定等于， 则④不符合题意． 49．【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． (1)证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 (2)如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 (3)在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；②的长为2或1 【分析】（1）由点E是的中点得，从而，故，故，由点D是的中点得，又，故四边形是平行四边形，，，故，； （2）取点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点，连接，，为剪痕，把向下移，使点A和点C重合，将逆时针旋转，使点B和点C重合，将顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形； （3）①延长至点G，使，连接，，由点N是的中点得，从而可推得，故，，，又，，故，，故，又是等边三角形，故，，故，，故，故是等边三角形，故；②由题意知，，分两种情况讨论：当是的中位线时，，故；当不是的中位线时，取的中点H，连接，，，从而，，故是等边三角形，设，则，故，由得，故． 【详解】（1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接， ∵点E是的中点， ， 又，， ， ，， ， ∵点D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，； （2）解：作图如下图所示：（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点， 由（1）知，， ∵， ∴．， 把向下移，使点A和点C重合，将绕点R逆时针旋转，使点B和点C重合，将绕点S顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形，如图： （3）①证明：如图（2），延长至点G，使，连接，， ∵点N是的中点， ， 又， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ∵四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； ②的长为2或1， 理由：由题意知，，分两种情况讨论， 当是的中位线时，如图（3），此时， ； 当不是的中位线时，如图（4），取的中点H，连接， ，，又， ，， 是等边三角形， ， 设，则， ， ，解得， ， 综上所述，的长为2或1． 题型17.三角形中位线实际应用 50．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线，即， B选项符合题意． 51．如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】根据已知得出、、是的中位线，然后根据中位线的性质得，，，即可求解． 【详解】解：∵的周长为20米， ∴（米）， ∵，，分别为，，的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∴的周长（米）． 52．解决下列问题 (1)有一张三角形纸片，如图1，沿一条线进行裁剪，使裁剪的两部分拼成（不重叠无缝隙）一个平行四边形，说一说你是怎样裁剪和拼的？ (2)小明发现：在中，如图2，，点、分别在、上（不是的中点），．如果将其裁剪进行拼接，也可以得到一个平行四边形的四个顶点，请进行证明：； (3)在中，，，、分别是边、边的中点，连接，小明发现这张纸片沿着和剪开后即可拼成一个菱形，请你再另外寻找一条线段，沿着这条线段和线段剪开后，可以拼成（不重叠无缝隙）一个菱形，用尺规作图做出这条线段，说明做法，并简要画出拼接后的图形（非尺规作图）． 【答案】(1)作的中位线，沿将纸片剪开，并将纸片绕点旋转得到，即可拼成平行四边形纸片 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）作的中位线，沿将纸片剪开，并将纸片绕点旋转得到，即可拼成平行四边形纸片； （2）沿剪开，将放至下图位置，其中点与点重合，点与点重合，即，连接，接着证明四边形是平行四边形，得到，在中，利用三角形的三边关系得证； （3）以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则，沿和将纸片剪开，将绕点旋转，再将四边形绕点旋转，得四边形为所求菱形． 【详解】（1）解：如图所示，作的中位线，沿将纸片剪开，并将纸片绕点旋转得到，即可拼成平行四边形纸片． ∵是的中位线， ∴，， ∵将绕点D旋转得到， ∴，三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：如图所示，沿剪开，将放至下图位置，其中点与点重合，点与点重合，即，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，即， ∴． （3）解：下图和四边形为所求作， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则，沿和将纸片剪开，将绕点旋转得到，再将四边形绕点旋转，得到四边形， ∴，四边形与四边形全等， ∴，， ∵是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为所求菱形． 题型18.重心的概念及性质 53．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 54．如图，的中线、交于点G，如果，，那么四边形的面积为______． 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形的判定和性质、勾股定理求出，得到，连接，再根据三角形重心的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵的中线、交于点G，， ∴，， ∴， ∴． 连接， ∵的中线、交于点G， ∴，点G是的重心， ∴， ∴， ∴． 55．如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形重心的性质；根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点，与交于点G． ∴G点为的重心， ∴， 故选：B． 56．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 57．已知：如图，为的中位线，与交于点M，过点B作，交的延长线于点N，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设与相交于点，由为的中位线，可得是的中线，则，证明，得，即可证明结论； （2）由四边形是平行四边形，点是的三条中线的交点，可得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ∵为的中位线， ∴点、分别为、的中点， ∴，是的中线， ∴是的中线，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形，点是的三条中线的交点， ∴，点是的重心， ∴，， ∴． 题型19.中点四边形 58．若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 【答案】 互相垂直 【分析】根据三角形中位线定理得到中点四边形的边与原四边形对角线的位置关系，再结合矩形的内角特征推导原四边形对角线的关系即可. 【详解】解：设原四边形为，四边中点依次为，，，，顺次连接，，，得到四边形， 根据三角形中位线定理可得：，， 因为四边形是矩形， 所以，即， 因此， 即这个四边形的对角线互相垂直. 59．四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 60．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 题型20.正方形中的动点问题 61．如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，．则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．通过作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值就等于的长度，然后利用勾股定理求出． 【详解】解：作点关于的对称点，连接． 是的中点，正方形边长为， ，那么在的延长线上，且， ． 在直角三角形中，，． ． ， 根据两点之间线段最短，的最小值就是的长度， 的最小值是． 故答案为：． 62．如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，然后利用“角边角”证明和全等；由四边形是矩形，可得，而在直角中，，可判断，运用矩形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，进行线段的等量代换，得，判断出不一定是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而确定出与不一定全等；证明，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵在和中， ， ∴．故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵过点P分别作，的垂线， ∴四边形是矩形， ∴． 在直角中，， ∴．故③正确； 过点作， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵正方形， ∴，而， ∴是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定全等，故④错误； ⑤∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 当P是的中点时，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选B． 63．如图，在正方形中，P是边上的一动点（不与点D，C重合），，点D关于直线的对称点为E，连接，连接并延长交射线于点F，连接． (1)根据题意补全图形，并直接写出的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质得到、，根据正方形的性质得到、，据此求解的大小即可； （2）易证得，进而得到，根据得到，从而得到，从而得出结论； （3）连接，过点D作交于点M，根据正方形的性质结合垂线的性质得到，由得到，进而得到，证明，进而得到，利用得到结论即可． 【详解】（1）解：如图， 点D关于直线的对称点为E， 、， 四边形是正方形， 、， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知：、 在和中， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ； （3）， 证明：连接，过点D作交于点M， 四边形是正方形， 、， 、， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型21.正方形中的最值问题 64．如图，正方形中，，在三角形中，，动点分别在上运动，，求的最小值______． 【答案】 【分析】将平移，使点与点重合，点与点重合，连接，画射线，可得，，，得，即得点在射线上运动，可知当时，取最小值，此时的值最小，连接，可得，得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，将平移，使点与点重合，点与点重合，连接，画射线， 则，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值，此时的值最小， 如图，连接， ∵正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 65．如图，在边长为3的正方形中，将沿射线平移，得到，连接，．则的最小值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】首先证明B，A，T共线，求出，证明四边形是平行四边形，推出，推出，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作点D关于直线的对称点T，连接，， ∵四边形是正方形，边长为3， ∴，，， ∵， ∴， ∵D，T关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴B，A，T共线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，平移的性质等知识，解题关键是掌握正方形的性质求解． 66．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，，；② (2) 【分析】（1）①取中点作图，根据中位线的性质可判断．根据正方形的性质容易证明，进而可证明，因此； ②使用勾股定理可得，运用正方形的性质和勾股定理计算出和，进而求出； （2）分别取、、、的中点、、、，连接，，，，，根据中位线的性质可得，．由线段公理可得，当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为的长．同理①可得，是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：点、、如图所示，，，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：且； ②由①可知，， ∴， 由勾股定理可得，，，，， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接，，，，， 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，； ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①可得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴在直角中，， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题是四边形中点问题的综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型22.四边形的其他综合问题 67．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 68．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故①正确；利用证明，可判断②，由三角形的面积公式可得，，可得和的面积比为，故③正确；由直角三角形的性质可得，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确；    ∵， ∴，故②正确； ∴， 过点P作于H，于G，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴和的面积比为，故③正确； 过点C作交的延长线于N，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D．    【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的性质与适当作辅助线是解答此题的关键． 69．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， . ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2）证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04正方形与三角形中位线及重心期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰定义：有一组邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形，是特殊的矩形与菱形 2.熟记性质：兼备平行四边形、矩形、菱形全部性质；四边相等、四角为直角，对角线相等垂直平分且平分内角，兼具双重对称性 3.掌握判定：可从平行四边形、矩形、菱形三个角度判定正方形 4.熟知公式：灵活运用边长、周长、面积、对角线相关计算关系式 1.精准计算边长、角度、对角线、周长与面积相关数值 2.依据条件灵活选取判定方法，严谨完成几何推理证明 3.结合三角形知识，解决折叠、动点、图形拼接变式题型 4.清晰区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属与性质差异 1.基础判断计算题稳得分，规避概念混淆失误 2.证明步骤书写规范，逻辑严谨有据可依 3.从容应对各类常规题型，提升解题效率 4.融会多图形考点，顺利攻克综合压轴考题 题型01.正方形判定定理理解 题型02证明四边形是正方形 题型03.添条件使四边形是正方形 题型04.正方形性质理解 题型05.正方形性质求角度 题型06.正方形性质求线段长 题型07.正方形性质求面积 题型08.正方形中的折叠问题 题型09.求正方形重叠部分面积 题型10.正方形的性质证明 题型11.正方形性质与判定求角度 题型12.正方形性质与判定求线段长 题型13.正方形性质与判定求面积 题型14.正方形性质与判定证明 题型15.三角形中位线求解问题 题型16.三角形中位线证明问题 题型17.三角形中位线实际应用 题型18.重心的概念及性质 题型19.中点四边形 题型20.正方形中的动点问题 题型21.正方形中的最值问题 题型22.四边形的其他综合问题 知识点01:定义（精准直击） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心逻辑：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者所有性质，是最特殊的四边形。 知识点02:正方形五大全能性质（必考重点） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:性质对比表（快速区分三者，避免混淆） 对比维度 正方形 矩形 菱形 边 四条边相等，邻边垂直 对边相等，邻边不垂直 四条边相等，邻边垂直 角 四个角都是 90° 四个角都是 90° 对角相等，无直角 对角线 相等、垂直、互相平分，平分一组对角 相等、互相平分 垂直、互相平分，平分一组对角 对称轴 4 条 2 条 2 条 知识点04.正方形的判定（核心 知识点05:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 · 一个三角形有三条中位线。 · 中位线的两个端点都是边的中点。 2. 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4. 三条中位线的性质 三条中位线组成的新三角形，周长为原三角形的一半。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 . 知识点06:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点07:中点四边形 1、定义. 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形判定定理理解 1．下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 3．如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 题型02证明四边形是正方形 4．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．若AD＝2，则当四边形ABCD的形状是____时，四边形AOBE的面积取得最大值是____． 5．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 题型03.添条件使四边形是正方形 7．下列条件能判断正方形的是（   ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 8．如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为_________．    9．如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 题型04.正方形性质理解 10．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．4个角都是直角 11．已知是的最长边，将沿的中点旋转后得到，如果四边形是正方形，则下列对描述正确的是（　　） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．是等腰直角三角形 12．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（    ） A．6 B．12 C．15 D．30 题型05.正方形性质求角度 13．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AE，AF．若，，则的度数为______． 15．如图，正方形中，将边折叠至，连接、，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型06.正方形性质求线段长 16．如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 17．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 18．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在下图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（   ） A．2 B． C． D． 19．点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点． (1)如图1，当点在线段上时，连接交于点，试判断的形状； (2)如图2，当点在线段上时，试探究线段，，的等量关系； (3)若，连接，取的中点，则当点从点运动到点时，点所经过的路径长为 ． 题型07.正方形性质求面积 20．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 21．如图，四个全等直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为10，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．2 B．2.5 C．4.5 D．5 22．在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交边于点，连接．      (1)如图1， ①若，求的度数； ②求的度数． (2)如图2，点在边上，，连接，求证：； (3)如图3，过作于，延长交的延长线于，若，求正方形的面积． 题型08.正方形中的折叠问题 23．如图，正方形沿BE翻折，延长交于G，正方形边长为12，E是中点，___________．    24．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 25．如图，正方形中，，E为边上一点，，连接 ，． 点 为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到 ，连接 ． (1)求，的长； (2)当点落在线段上，求的长； (3)连接，若为等腰三角形，求的值及． 题型09.求正方形重叠部分面积 26．如图，正方形的对角线、相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为，正方形的面积为，通过探索，我们发现：无论正方形绕点怎样转动，始终有______． 27．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 28．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    题型10.正方形的性质证明 29．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 30．如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 31．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．      (1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有________________； (2)如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点，已知，，求的中线的长． 题型11.正方形性质与判定求角度 32．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 33．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 34．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 题型12.正方形性质与判定求线段长 35．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 36．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 37．如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 题型13.正方形性质与判定求面积 38．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点，，，是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（ ） A． B． C． D． 39．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积． 40．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 题型14.正方形性质与判定证明 41．如图，在四边形中，，点E、F分别在边上，与相交于点G，，线段的垂直平分线交于点H，且，若，则_________． 42．如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 43．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 题型15.三角形中位线求解问题 44．如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 45．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，的最小值为，则长为（    ） A． B． C． D． 46．如图，在中，已知，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，过点E作的平行线； (2)在图2中，作的高． 题型16.三角形中位线证明问题 47．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是________． 48．如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 49．【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． (1)证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 (2)如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 (3)在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 题型17.三角形中位线实际应用 50．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 51．如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 52．解决下列问题 (1)有一张三角形纸片，如图1，沿一条线进行裁剪，使裁剪的两部分拼成（不重叠无缝隙）一个平行四边形，说一说你是怎样裁剪和拼的？ (2)小明发现：在中，如图2，，点、分别在、上（不是的中点），．如果将其裁剪进行拼接，也可以得到一个平行四边形的四个顶点，请进行证明：； (3)在中，，，、分别是边、边的中点，连接，小明发现这张纸片沿着和剪开后即可拼成一个菱形，请你再另外寻找一条线段，沿着这条线段和线段剪开后，可以拼成（不重叠无缝隙）一个菱形，用尺规作图做出这条线段，说明做法，并简要画出拼接后的图形（非尺规作图）． 题型18.重心的概念及性质 53．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 54．如图，的中线、交于点G，如果，，那么四边形的面积为______． 55．如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 56．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 57．已知：如图，为的中位线，与交于点M，过点B作，交的延长线于点N，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 题型19.中点四边形 58．若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 59．四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 60．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】. （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 题型20.正方形中的动点问题 61．如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，．则的最小值是________． 62．如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 63．如图，在正方形中，P是边上的一动点（不与点D，C重合），，点D关于直线的对称点为E，连接，连接并延长交射线于点F，连接． (1)根据题意补全图形，并直接写出的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 题型21.正方形中的最值问题 64．如图，正方形中，，在三角形中，，动点分别在上运动，，求的最小值______． 65．如图，在边长为3的正方形中，将沿射线平移，得到，连接，．则的最小值为（   ） A． B． C． D．10 66．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 题型22.四边形的其他综合问题 67．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 68．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 69．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $