江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高一下学期第二次素质检测数学试题

启东市第一中学2025-2026年度高二学期第二次素质检测 高一数学试卷 (考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：陈海华审题人：龚飞) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知非零向量a=(,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设复数z满足=(1-)=1+i,则z的虚部为() A.-1 B.1 C.i D.-i 3 3.已知m6=则cos20=(） 1 B. n话 4.已知平面向量a,五，满足|a=1,|b上2，a-2b=3,则a.b=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.如图，为了测量河对岸的塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D,测得∠BCD=, ∠BDC=B,CD长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为Y,则塔高AB=()米 A. a.sin(a+B)tany a·s1ny B. sin B sin(a+B)tan y a.sin(a+B) D. a.sin Btany C. sin B tan y sin(a+B) 6.将函数f(x)=c0s(ox- 。<0的图象向左平移号个单位长度后得到函数8)的图象，且函数3W是奇 3 函数，则ω的最大值是() A、S B、S C、1 12 6 6 7在aMBC中，B=二，BC边上的高等于BC,则cos4等于()） 4 3 A.3v10 B.0 c、0 D.-3v0 10 10 10 10 8.如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SC=AC=2√2，AB=BC=2,二面角S-AC-B的正切值是√2， 则三棱锥S-ABC外接球的表面积是() A.12π B.4π C.4W3π 43 D. 3公 第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数21,22，则下列命题正确的有() A.若2+号=0，则21=22=0 B.若31=iz2,则|31z2 C.若，=，则5P D.若12月2，则子=号 10已知函数f田=c0g2or+V5i 2 —sin ox-(o>0),则()】 Af)-mar+名 B.fw)在区间(0，元)上单调递增 20 C.若f)的图象关于直线x=-匹对称，则®的最小值是2 3 D若)在区间Q,)上有且只有一个景大值，则如的取值范国是兮专 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，动点E在线段AC上，F,M分别是棱AD,CD的中点，则 D 下列结论中正确的是() A.M∥AC B B.当E为AC1中点时，BE⊥M :D: M C.存在点E,使得平面BEF∥平面CC,D,D ..... D.点E到平面ABC的距离为I 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆锥的底面半径为√2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为一 1B如图，在平行四边形ABCD中，4B=3,∠BAD-子，B是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等 D F 分点，若A正.BF=-2,则AD=一· 14.设锐角△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若V3(a cos B+b cos A)=2 csinC,b=1, 则c的取值范围为 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分) 己知复数：=m-i(m∈R)，且z1+3)为纯虚数(a是z的共轭复数)， )求m的值： (②复数马-“：在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围 16.（本小题15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点D是棱AB的中点 C ①)求证：AC⊥BC: (2)求证：AC1∥平面CDB 17.(本小题15分) bsinC 己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且， sin 4+sin B-sinc=ab+c. )求A: (2)若b+2c=2√5sinB+4√3sinC,求△ABC周长的最大值. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 如图，在△ABC中，点P,Q分别在边AB,BC上，点P为AB的中点且CP,AQ交于点D. Q若西=亦，证明：AD-号+项： (②)若B0=1BC,AD=a40,求a的值； 3)若△ABC是边长为2的正三角形，点Q是与B,C不重合的动点，求BD.CD的取值范围 A 19.（本小题17分) 如图，在四棱锥M-ABCD中，AD∥BC,AC⊥CD,BC=2AD,△MAD是边长为6的等边三角 形，平面MAD⊥平面ABCD,点E为AD的中点，点N在棱MD上，直线MBI∥平面ACN. I)证明：ME⊥平面ABCD: ②求的值： ND 3)设二面角M-AC-D的平面角为&，直线CN与平面ABCD所成的角为6，若tano的取值范围是 [V3,3√3]，求tam0的取值范围. M B 第4项，共4页启东市第一中学2025-2026年度高二学期第 高一数学试卷答案和解析 1.【答案】c 【解析】解：非零向量ā=(，m,b=(m,1),a∥b, 则m2=m,解得=0或1， 当m=0时，不满足a为非零向量，舍去， 综上所述，m=1, 故“=1”是“a/∥b”成立的充要条件. 故选：C 结合向量平行的性质，即可求解. 本题主要考查向量共线的性质，属于基础题. 2.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了复数的运算，涉及了复数的定义的理解，属于基础题， 先利用复数的运算法则求出复数z,然后利用复数的定义进行判断即可. 【解答】 解：因为(1-i)=1+i, 所以z= +i0+2=23=i, 1-i0-i01+i)2 故z的虚部为1. 故选：B. 3.【答案】A 【解折】解：由题意可得cos20=1-2sn0=1-2×原分=8 故选：A 利用余弦的倍角公式化简即可求解。 本题考查了倍角公式的应用，属于基础题. 4.【答案】D 第1页，共12页 次素质检测 【解析】解：因为a-2b=3, 所以|ā-2五P=9,即-4a.6+4b2=9, 即1-4a.b+4×4=9, 所以ab=2. 故选：D 根据题意将ā-2b=3两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案. 本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题. 5.【答案】D 【解析】解：因为∠BCD=a,∠BDC=B,CD长a米，可得∠CBD=π-(@+B), 所以sin∠CBD=sin[π-(a+B]=sin(a+), BC CD 在△BCD中，由正弦定理可得： sin∠BDC sin∠CBD 所以BC=sinB sin(a+β) a, 在RIAABC中，AB=CB-tay=a-sin ptan(米) sin(a+B) 故选：D. 由题意及正弦定理可得BC的值，再在Rt△ABC中，可得AB的值. 本题考查正弦定理及直角三角形的性质的应用，属于基础题. 6.【答案】D 【解析】解：将函数f(x)=cos(ox- 如<0的图家向左平移号个单位长度后得到函数 gtw)=coar+型孕的图象， 因为函数g(x)是奇函数， 所以c0(-)=0,即0-T=+kπ，k∈Z, 231 232 5 故0=二+2k,k∈Z, 3 因为0<0， 所以e=号 故选：D. 第2页，共12页 结合三角函数图象的变换先求出8(x),结合奇函数的性质即可求解。 本题主要考查了三角函数图象的变换及奇函数性质的应用，属于基础题. 7.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查余弦定理的应用，属于中档题 由腿意得a=csn-5。,则a35。,然后用余弦定理求b,再由余弦定理求c0s4 42 2 【解答】 解：设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c, 由题意可得a=csin-Y5c,则a=3W5。 3 42 2 在AABC中，由余弦定理可得b=d+c2-V2ac=9c+c2-302-c, 2 2 则b= -C 2 由余弦定理，可得 B+c2-d_2 2+c2_9c 5 cosA= 2 =-vio 2bc 2xV10 xc 10 故选C. 8.【答案】A 【解析】解：设点E为AC的中点，连接EB,ES,由于SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SE,AC⊥BE, 所以∠SEB为二面角S-AC-B的平面角： 由于二面角S-AC-B的正切值是√2， 所以an∠S8B=V5,故cos∠S8B=5： 3: 在△SAC中，SE=V6, 在△ABE中，BE=√2， 在△SBE中，由余弦定理SB=√SE2+BE2-2SE·BE·C0S∠SEB=2; 所以BS=AB=BC=2, 由于SA=SC=AC=2√2， 所以BS、BA、BC两两垂直，将三棱锥体补成正方体， 第3页，共12页 如图所示： D1 C A D C B 正方体的棱长为2，则正方体的对角线长为25， 故外接球的半径R=√， 则外接球的表面积为4π(5)2=12π. 故选：A 首先利用二面角的正弦值求出二面角的余弦值，进一步判定BS=BA=BC=2,且BS、BA、BC两两垂直， 由此将三棱锥补形成正方体，进一步求出正方体的外接球半径，进一步求得外接球的表面积. 本题考查的知识要点：二面角的应用，余弦定理和补形法的应用，球的半径和球的表面积公式，主要考查 学生的运算能力和数学思维能力，属中档题. 9.【答案】BC 【解析】解：取21=1,22=i,显然满足+3=0，但21≠0,2≠0，故A错误： 因为3=江，所以3曰z2月日‖22曰22，故B正确： 因为21=2，所以2=名名z，故C正确： 取21=1,22=i,满足1曰22，但≠，故D错误. 故选：BC 取特殊值2，=1,2，=i判断A、D;应用复数乘法的几何意义及共轭复数的性质判断B、C. 本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，复数的概念，属于基础题 10.【答案】AC 【解析】解：f)=cos+ 3 sin cx=sim(ax+,A正确： 22 sin an、11 2 cos an3 22 2 61 0<x<π，x 20’6<x+6 士石<，二f@在区间O,上不单调，B错误， 20 第4页，共12页 :f)的图象关于直线x=-石对称， 3 o+=k元+ 3 6 +2’六0=-3k-1,k∈Z, 又0>0，k< 3,当k=-1时，0取得最小值，最小值是2，c正确： :0<x<元，：z<x+2<0z+E 6 6 6 :f()在区间(0，π)上有且只有一个最大值， r名受写D带说 .7 2 故选：AC 庙余弦三倍角公式及辅助角公式可判断A,由O<<C求得x+的范围，可判断B,过对称轴代 6 ,可判断C,由0<x<π，求得0x+石的范围，再结合正弦函数性质可判断D 本题主要考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题. 11.【答案】ABD D 【解析】解：对于选项A;在正方体ABCD-ABCD中，因为AA,CC,平行 且相等， A 6 则ACCA为平行四边形，故A,C,∥AC, D C 又因为F,M分别是棱AD,CD的中点，则FM∥AC,故FM∥AC,,故选 项A正确： 对于选项B:由题设易知△A,BC1是边长为√2的等边三角形， 所以E为A,C,中点时，有BE⊥AC1,即BE⊥FM,故选项B正确 对于选项C:在平面ABCD内，BF,CD必交于一点，又BFC平面BEF,CDC平面CC,DD, 所以平面BEF,平面CC,D,D必交于一条直线，故选项C不正确： 对于选项D:由AC∥AC1,AC1￠平面ABC,ACC平面ABC, 则A,C,∥平面ABC, 动点E在线段A,C1上，结合已知点E到平面ABC的距离为1，故选项D正确. 故选：ABD. 第5页，共12页 由题设得AC,∥AC、FM∥AC、△ABC,是边长为√2的等边三角形，且BF,CD必交于一点，即可判 断A、B、C;由线面平行的判定证A,C,∥平面ABC,再由已知判断D. 本题考查立体几何综合问题，考查逻辑推理能力，属于中档题， 12.【答案】6π 【解析】解：设圆锥的母线为1， 因为底面半径r=√2，且侧面展开图是一个半圆， 所以2πr=πl,可得1=2r=2√2， 则圆锥的表面积S=πr2+πl=(√2)π+√2×2√2π=6π 故答案为：6π. 根据圆锥的侧面积列式求得圆锥母线长为1=2√2，然后代入圆锥表面积公式计算即可. 本题考查圆锥表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题. 13.【答案】2 【解析】解：因为E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点， 所以6=孤+丽-6+号而，=C+-A0-号而， 因为AB=3∠BAD=于，所以B=9西AD-ABAD1cos∠BAD-AD1 则亚B原-+0(aD-号-60-号证+分0-0西-6A0-西+号40。 3 3 3 又因为店B取-2，所以子3AD-号9+0=-2 2 化简得|ADP+2|AD|-8=0,解得引AD=2(负值舍去)，即AD=2. 故答案为：2 根据平面向量基本定理和向量的数量积进行求解即可. 本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于中档题. 【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理，余弦定理以及正弦函数的性质，属于中档题. 根据己知及余弦定理化简可得C=云， ,结合正弦定理与正弦函数的性质可得c的取值范围。 第6页，共12页 【解答】 解：由(acos B+bcos=2csmC及余弦定理得V5a.口+c-B+bB+C-心)=2smC, 2ac 2bc ÷v5c=2csnC,÷sinc-y5 2 又△MBC为锐角三角形，：C=交 31 b 由正弦定理得 sin C sin B .c=bsinc sin B 2sin B π 0<B< 2 由 ,得二<B< 2-B< 6 2 0< 3 2 siBs1 3 <C= <3, 2sin B c的取值范围为 ,V3), 15.【答案】m=3{aa>3} 【解析】解：)复数z=-i, 依题意，：=m+i,则z1+3)=0m+i)-Q+30=m-3+(3m+1, -3=0 由题意得 3m+1≠0'所以m=3. a-i(a-i)3+i)3a+1,a-3; (2)由四得：=3-i,复数3=3-i3-03+01010 3a+1 >0 由复数云，=二在复平面对应的点在第一象限，得 10 a-3 ,解得a>3, >0 10 所以a的取值范围是{aa>3}. ①)利用共轭复数意义及复数的乘法运算计算，再利用纯虚数的意义求得实数的值； (2)利用复数的除法求二2，再结合复数的几何意义求解. 本题主要考查了复数运算，复数基本概念及复数几何意义，属于基础题. 第7页，共12页 16.【答案】证明见解析； 证明见解析： 【解析】证明：I)由CC⊥底面ABC,且ACC底面ABC,所以CC,⊥AC, 又因为AC⊥BC,BC⌒CC,=C,且BC,CC1C平面BCCB, 所以AC⊥平面BCC,B,, 因为BC1C平面BCCB, 所以AC⊥BC: (2)连接BC1,设CB,与CB的交点为E,连结DE, C B A 、E C B D 因为D是AB的中点，E是BC的中点， 所以DE∥AC1, 因为DEC平面CDB,,且AC1丈平面CDB, 所以AC,∥平面CDB I)通过证得CC,⊥AC,且AC⊥BC,证得AC⊥平面BCC,B,进而证得AC⊥BC,; (2)设CB,与C,B的交点为E,连结DE,由三角形的中位线定理得DE∥AC1,结合线面平行的判定定理， 即可证得AC,∥平面CDB, 本题考查线面垂直的判定定理的应用及中位线的性质的应用，线面平行的判定性质的应用，属于中档题. 17【答案】解：Q因为， bsinC =a-b+c, sin A+sin B-sinC bc 由正弦定理得 =a-b+c, a+b-c 整理得b2+c2-a2=bc, 第8页，共12页 b2+c2-a21 所以c0sA= 2bc 2 由A为三角形的内角，得A=3: (2)设△ABC外接圆的半径为R, 由正弦定理得=b sin4"sin B"sinc=2R, 因为b+2c=2W3sinB+4W3sinC, 所以2 R sin B+4 Rsin C=2W3sinB+4W3sinC, 可得2R-23)(sinB+2simC)=0, 因为B,C均为三角形内角，故sinA>0,sinB>0, 得R=√， 所以a、b =25, sinA sin B sinC 则a=3,b=2√3sinB,c=2√3sinC, 所以b+c=2W3 sinB+2W3 sinC =23sin B+23sin(2-B) 3 =6si(B+, 6 :B∈0,2西)，当B=7时，b+c取到最大为6， 3 3 所以△ABC周长的最大值为3+6=9. 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】因为点P为AB的中点， 所以亚-Ci+丽， 因为CD=2DP,所以CD=2cP=}C+CB, 3 所似而而-aā画-a=扣+西0叭 【解析】解：)证明：因为点P为AB的中点， 所以cp-C+C画)， 第9页，共12页 因为c=2Dm,所以D-亚-}@+西. 所以而-而--+西-ā-ā亚， 3 (2)设CD=cCP,由BD=BO+QD=BP+PD, 得BC+(a-1)A0=1BA+(c-1)C乎， 21 C+(a-(BC-+(-D(BA-), ●】 BC+-a)BA=(1-c)BC+BA, 2 =1-c 因为BC,BA不共线，所以 3 解得a= 3 1-a=2 59 (3)因为△ABC是边长为2的正三角形，点P为AB的中点， 所以BC=2,CP=V5,∠BCP= 6 设CD=tCP(0<t<),则 BD.CD-(BC+CD).CD=BC.CD+CD=2xIc0s+)=3 6 因为0<1<1，所-330--3<0， 24 所以BD.CD的取值范围是[-子)， ①)由平面向量的线性运算计算即可证明； (2)由向量的线性运算和平面向量基本定理计算即可求得； (3)由向量的数量积运算结合二次函数的值域求法即可求得. 本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于中档题. 19【答案】证明见详解；2：5,3西) 5,11 【解析】解：)证明：如图，连接ME, 因为△MAD为等边三角形，且E是AD的中点， 所以ME⊥AD, 又平面MAD⊥平面ABCD,ME∈平面MAD, 平面MADO平面ABCD=AD, 所以ME⊥平面ABCD (2)连接BD交AC于点O,连接ON, 第10页，共12页 -= 因为MB∥平面ACN,MB∈平面MBD,平面MBDO平面ACN=ON, 所以MB∥OW,则N_BO ND OD 因为BC∥AD,BC=2AD, 所以B0-BC=2, OD AD 故0-2 ND 3)如图，取AC的中点F, 因为ME⊥平面ABCD,EF,ACC平面ABCD,所以ME⊥AC,MB⊥EF. 又E,F分别是AD,AC的中点，所以EF∥CD, 由AC⊥CD,得AC⊥EF, 因为EFOME=E,EF,MEC平面MEF, 所以AC⊥平面EF, 因为MFC平面EF,则AC⊥MF, 所以∠MFE是二面角M-AC-D的平面角，即∠MFE= 因为△MAD是边长为6的等边三角形，所以ME=3√5. 设EF=m,则CD=2m,tma-证-35eN5,3,得meL,3引， EF m 过N作NH∥ME交AD于H,连接CH,由ME⊥平面ABCD, 得NH⊥平面ABCD, 所以∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即∠NCH=6. 由C=2,得NH=Mm=N5,DH=aD=l, ND 3 在RtADC中，cos∠ADC=CD_u AD 3 在ACDH中，由余弦定理可得CH=√CD+DH-2CD.DH.cos /HDC, /8m2+3 CH4+1-2x2mx 所以tan0= NH 3 CH √8m2+3 因为∈1,3]， 第11页，共12页 所以tanB= ；e53 V8m2+3 511 所以an6的取值范围为5,3西] 5,11 )根据题意，可得ME⊥AD,利用面面垂直的性质定理得证； (2)连接BD交AC于点O,连接ON,由线面平行的性质定理得到MB∥ON,再由线段成比例可得结果： (③)由线面垂直的性质定理和判定定理得到∠M配=a,设EF=m,得到m∈l,3].过N作H∥ME交AD 于H,连接CH,得到∠NCH=O,由余弦定理和三角函数值求出tanθ的表达式，根据函数的单调性可得 结果 本题考查线面垂直的判定，以及空间角的计算，属于中档题. 第12页，共12页