江苏省启东中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

高一数学试卷第 页（共 7页）1 江苏省启东中学 2024~2025学年度第二学期第二次月考 高一数学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. cos15 sin 75 sin15 cos75      A． 12 B． 3 2 C． 12 D． 3 2  【答案】B（改编：人教版必修 1第 219页例 4（1）） 2. 已知复数 z与 iz 8)2( 2  都是纯虚数，则 z A. 2或 2 B. i2 或 i2 C. i2 D. i2 【答案】D（改编：人教版必修 2复习参考题 7第 95页第 4题） 3. 已知圆锥的表面积为 8 ，且它的侧面展开图是一个圆心角为 3 2的扇形，则这个圆锥的体积为 A. 3 5 B. 2 C. 3 8 D. 3 【答案】C（改编：人教版必修 2复习参考题 7第 95页第 4题） 4. 在 ABC△ 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c，，．已知 2a  ， 30A  ，若满足条件的 ABC△ 有两个， 则 b的取值范围是 A． (0 4)， B． (2 4)， C． 4 3(2 )3， D． (2 ) ， 【答案】B（改编：人教版必修 2第 47页例 8） 5. 设 a，b是两条异面直线，，是两个平面，若 a ， b ，则 A. a B. b C.  // D. 与相交 【答案】D（改编：人教版必修 2复习参考题 8第 171页第 16题） 6. 已知  πsin 2 2 cos 4   ，则 sincos 3sin   A． 23 B． 2 3 C． 2 7 D． 3 7 【答案】A（改编：人教版必修 1习题 5.2第 186页第 15题） 7. 从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为 正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是 A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 高一数学试卷第 页（共 7页）2 【答案】D（改编：人教版必修 2习题 7.1第 73页第 4题） 8. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为 a，若侧面 AA1B1B水平放置时，液面 高为 3，若底面 ABC水平放置时，液面高为 3，则 a A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D（改编：人教版必修 2习题 8.3第 120页第 3题） 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9. 在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽 样，抽取了男职员 4人，女职员 3人，其中男职员的平均数为 56，女职员的平均数为 42. 则 A．总样本的平均数为 49 B．总样本的平均数为 50 C．总样本的方差小于 48 D．总样本的方差不小于 48 【答案】BD（改编：人教版必修 2第 212页例 6） 10. 在正四棱锥 M-ABCD中，侧棱与底面边长相等，P，Q分别是 AB和 MC的中点，则 A. PQ //MA B. PQ //平面 MAD C. PQMD D. PQ平面 MBD 【答案】BC（改编：人教版必修 2习题 8.5第 143页第 5题） 11. 在斜三角形 ABC中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c，，．若 sin cosA B ，则 A． ABC△ 为锐角三角形 B．若 1a  ，则 tanb B C． 2 tan tanB C 的最小值为 3 D． 51 cos cos cos 4A B C   ≤ 【答案】BCD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 12. 以棱长为 2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为 . 【答案】 34 （改编：人教版必修 2习题 8.3第 119页第 1题） 13. 写出一个使得 oooo 12cos12sintan)12cos12(sin  成立的的度数为 ． 【答案】 123 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资 高一数学试卷第 页（共 7页）3 源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性．小明作出它的部分平面图（三个全 等的正六边形），若 AL xAB yAF     ，则 x y  ；若 2AB   ，则 AL ID    ． 【答案】7 2 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）某市 2025年 4月 30天的空气质量指数经过统计，并进行适当分组后（每组为左闭右开的区 间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中 a的值； （2）求样本数据的 60％分位数； （2）计算该地 2025年 4月 30天的空气质量指数的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）． （改编：人教版必修 2第 197页练习第 1题、第 202页例 3） 【解】(1) 因为   1005.0020.0025.0030.0012.010  a ， 解得 008.0a . …………3分 （2）因为 6.05.030.012.008.0  ， 6.075.025.030.012.008.0  ， 所以估计样本数据的 60％分位数一定在[70,80)内. …………5分 由 74 5.075.0 5.06.01070    . 所以样本数据的 60％分位数为 74分. …………8分 （3）样本平均数 05.0952.08525.0753.06512.05508.045 x 05.0902.08025.0703.06012.05008.0405  A B C D E F G H I J KM L 高一数学试卷第 页（共 7页）4 2.705.4165.171862.35  . 所以可估计该市空气质量指数的平均值为 70.2. …………13分 16.（15分）已知向量 ( 1)m ，a ， ( 1 2)  ，b ， (3 1) ，c ． （1）求 b 与 c 的夹角； （2）若 a b，求 ( 2 ) a b c 的值； （3）若 (4 ) ∥a c b ，求实数 m的值． 【解】（1）设 b 与 c 的夹角为，则 2 2 105 )1(231cos     ， …… 3分 因为 0 ，所以 4 3 . ……5分 （2）因为 a b，所以 2 0m    a b ，所以 2m  ． …… 8分 所以 2 (4 3)  ，a b ， 所以 ( 2 ) 4 3 ( 3) ( 1) 15        a b c ． …… 10分 （3） 4 (4 3 3)m   ，a c ． …… 12分 因为 (4 ) ∥a c b ，所以 (4 3) 2 3 ( 1)m      ， 解得 9 8m   ． ……15分 17.（15分）已知锐角 ， 满足 10sin 10  ， 3cos2 5  ． （1）求 sin( )  的值； （2）求  的值． 【解】（1）由 10sin 10  ， 为锐角， 所以 2 210 3 10cos 1 sin 1 ( ) 10 10       ． …… 2分 因为 3cos2 5  ，所以 2 32cos 1 5   ，即 2 4cos 5  ， …… 4分 因为  为锐角，所以 2 5cos 5  ， 所以 2 22 5 5sin 1 cos 1 ( ) 5 5       ． …… 6分 所以 sin( ) sin cos cos sin        10 2 5 3 10 5 2 10 5 10 5 10      ． …… 9分 （2）由（1）知， sin 1tan cos 3     ， sin 1tan cos 2     ． ……11分 高一数学试卷第 页（共 7页）5 所以 1 1 tan tan 3 2tan( ) 1 1 tan tan 1 11 3 2             ． ……13分 因为 ， 都是锐角，所以 0 π    ， 所以 π4    ． ……15分 18．（17分）已知函数 2 1( ) 3 sin cos cos 2 f x x x x   ． （1）若 为锐角， 6( )2 3f   ，求 cos 的值； （2）在 ABC△ 中，若 ( ) 1f A  ， 13BC  ，D是 BC的中点，且 3AD  ，求 ABC△ 的面积； （3）若关于 x的不等式 π(2 ) ( ) 2 03f x mf x   ≥ 在  π π12 2 ， 上恒成立，求实数 m的取值范围． 【解】因为 2 31 13sin cos cos sin 2 cos22 2 2 x x x x x    ， 即  π( ) sin 2 6f x x  ． …… 2 分 （1）所以   6π( ) sin2 6 3f     ． 因为 为锐角，所以 π π π 6 6 3    ，所以    2 3π πcos 1 sin6 6 3      ． 所以 π πcos cos ( ) 6 6        π π π πcos( )cos sin( )sin6 6 6 6     3 3 6 3 61 3 2 3 2 6      ． …… 5 分 （2）在 ABC△ 中，  π( ) sin 2 16f A A   ， 因为 0 πA  ，所以 π π 11π26 6 6A    ， 所以 π π2 6 2A   ，即 π 3A  ． …… 7 分 因为 AD是 ABC△ 的中线，所以 1 ( ) 2 AD AB AC     ， 所以 2 2 21 ( 2 ) 4 AD AB AC AB AC         ． 因为 3AD  ，所以 2 2 2 36AB AC AB AC        ．① 又因为 13BC  ， 所以 2 2 22( ) 2 13BC AC AB AC AB AB AC              ．② ① ②，得 4 23AB AC    ，即 23 4 AB AC    ． ……10 分 高一数学试卷第 页（共 7页）6 而 π 23cos 3 4AB AC AB AC         ， 所以 23 2 AB AC    ， 所以 ABC△ 的面积 23 31 πsin2 3 8 S AB AC    ． ……12 分 （3）不等式 π(2 ) ( ) 2 03f x mf x   ≥ 即为    5π πsin 4 sin 2 2 06 6x m x    ≥ ． 因为  π π12 2 ， ，所以 π 5π2 06 6x   ， ，所以  π0 sin 2 16x  ≤ ， 所以不等式等价于     5πsin 4 26 πsin 2 6 x m x     ≥ ． ……14 分 令 π2 6t x  ，则 5π π4 26 2x t   ，所以不等式等价于 cos2 2 sin tm t  ≥ ． 因为 (0 1]t ， ， 21 2sin 1 2sin 2 2 sin sin t t t t    ≥ ， 当且仅当 2 (0 1]2 t   ， ，即 π12 x  或11π24 时，取“ ”， 所以 2 2m ≥ ． ……17 分 19.（17分）△ABC中，AB=AC，AB AC，BC=4，D是 BC的中点，E是 AB的中点，F是 BD的中点.如 图，将△BEF和△ACD分别沿 EF，AD向平面 ADFE的同侧翻折至△MEF和△NAD的位置，且使得DN//MF. （1）证明：平面 ADN平面 DFN； （2）证明：A，E，M，N共面； （3）若 5 6MN ，求三棱锥 A-DEN的体积. 【解】（1）证明：因为 DFAD  ， DNAD  ， 又 DFDN , 平面 DFN， DDFDN  ， 所以 AD 平面 DFN. ……2分 因为 AD平面 ADN， 所以平面 ADN平面 DFN. ……4分 高一数学试卷第 页（共 7页）7 （2）证明：取 AN中点 G，AD中点 H，则 GH//DN， 因为 MF//DN，MF=DG， 所以四边形 DGMF是平行四边形， ……6分 所以 MG//DF，MG=DF， 因为 EF//DH，EF=DH， 所以四边形 DFEH是平行四边形， ……8分 所以 EH//DF，EH=DF， 所以 MG//EH，MG=EH， 所以四边形 MGHE是平行四边形， 所以 ME//GH， 所以 ME//AN， 所以 A，E，M，N共面. ……11分 （3）过点 N作 DFNP  ，垂足为 P， 由（1）知， AD 平面 DFN，因为 NP 平面 DFN，所以 NPAD  ， 因为 DFAD, 平面 ADE， DDFAD  ， 所以 NP 平面 ADE， ……13分 即 NP是三棱锥 N-ADE的高. 由（1）的图，在△MNG中，由余弦定理得 25 7 112 5 611 cos 2 22        MGN ， 所以 25 24 25 71sinsin 2      MGNNDP ， ……15分 所以 25 48sin  NDPDNNP ， 所以三棱锥 A-DEN的体积 25 1622 2 1 25 48 3 1 3 1   ADEADEN SNPVV . ……17分 高一数学试卷第 页（共 4页）1 江苏省启东中学 2024~2025学年度第二学期第二次月考 高一数学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. cos15 sin 75 sin15 cos75      A． 12 B． 3 2 C． 12 D． 3 2  2. 已知复数 z与 iz 8)2( 2  都是纯虚数，则 z A. 2或 2 B. i2 或 i2 C. i2 D. i2 3. 已知圆锥的表面积为 8 ，且它的侧面展开图是一个圆心角为 3 2的扇形，则这个圆锥的体积为 A. 3 5 B. 2 C. 3 8 D. 3 4. 在 ABC△ 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c，，．已知 2a  ， 30A  ，若满足条件的 ABC△ 有两个， 则 b的取值范围是 A． (0 4)， B． (2 4)， C． 4 3(2 )3， D． (2 ) ， 5. 设 a，b是两条异面直线，，是两个平面，若 a ， b ，则 A. a B. b C.  // D. 与相交 6. 已知  πsin 2 2 cos 4   ，则 sincos 3sin   A． 23 B． 2 3 C． 2 7  D． 37 7. 从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为 正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是 A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 8. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为 a， 若侧面 AA1B1B水平放置时，液面高为 3，若底面 ABC水平放置时， 液面高为 3，则 a A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 高一数学试卷第 页（共 4页）2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9. 在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽 样，抽取了男职员 4人，女职员 3人，其中男职员的平均数为 56，女职员的平均数为 42. 则 A．总样本的平均数为 49 B．总样本的平均数为 50 C．总样本的方差小于 48 D．总样本的方差不小于 48 10. 在正四棱锥 M-ABCD中，侧棱 MA与底面边长相等，P，Q分别是 AB和 MC的中点，则 A. PQ //MA B. PQ //平面 MAD C. PQMD D. PQ平面 MBD 11. 在斜三角形 ABC中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c，，．若 sin cosA B ，则 A． ABC△ 为锐角三角形 B．若 1a  ，则 tanb B C． 2 tan tanB C 的最小值为 3 D． 51 cos cos cos 4A B C   ≤ 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 12. 以棱长为 2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为 . 13. 写出一个使得 oooo 12cos12sintan)12cos12(sin  成立的的度数为 ． 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时 确保蜂巢的结构稳定性和功能性．小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若 AL xAB yAF     ，则 x y  ；若 2AB   ，则 AL ID    ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 某地 2025年 4月 30 天的空气质量指数经过统计，并进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画 出频率分布直方图如图所示. A B C D E F G H I J KM L 高一数学试卷第 页（共 4页）3 （1）求直方图中 a的值； （2）求样本数据的 60％分位数； （2）计算该地 2025年 4月 30天的空气质量指数的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 16.（15分） 已知向量 ( 1)m ，a ， ( 1 2)  ，b ， (3 1) ，c ． （1）求 b 与 c 的夹角； （2）若 a b，求 ( 2 ) a b c 的值； （3）若 (4 ) ∥a c b ，求实数 m的值． 17.（15分） 已知锐角 ， 满足 10sin 10  ， 3cos2 5  ． （1）求 sin( )  的值； （2）求  的值． 高一数学试卷第 页（共 4页）4 18．（17分） 已知函数 2 1( ) 3 sin cos cos 2 f x x x x   ． （1）若 为锐角， 6( )2 3f   ，求 cos 的值； （2）在 ABC△ 中，若 ( ) 1f A  ， 13BC  ，D是 BC的中点，且 3AD  ，求 ABC△ 的面积； （3）若关于 x的不等式 π(2 ) ( ) 2 03f x mf x   ≥ 在  π π12 2 ， 上恒成立，求实数 m的取值范围． 19.（17分） △ABC中，AB=AC，AB AC，BC=4，D是 BC的中点，E是 AB的中点，F是 BD的中点.如图，将 △BEF和△ACD分别沿 EF，AD向平面 ADFE的同侧翻折至△MEF和△NAD的位置，且使得 DN//MF. （1）证明：平面 ADN平面 DFN； （2）证明：A，E，M，N共面； （3）若 5 6MN ，求三棱锥 A-DEN的体积.