江苏南京市励志高级中学2025-2026学年高一下学期第二学期第三次调研考试数学试卷

③南京市励悬高级中学 励志高级中学2025--2026年度高一年级第二学期第三次调研考试 数学试卷 (时间：120分钟满分：150分) 命题人苏太盛 审题人赵静波 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效；在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.复数2+ai的共轭复数为b+bi(a,b∈R),则a-b=() A.-2 B.2 C.-4 D.4 2.在复平面内，复数：对应的点的坐标为(3,4)，则z+三=() 1 A.-1+7i B.-1-7i C.1+7i D.1-7i 3.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量-AB+AD等于（) 2 A.AE B.AC C.BE D.BD 4.平行四边形ABCD中，A(3,2),B(2,-1),C(4,-2),m=(n,3).若BD⊥m,则1m等于（) A.1 B.25 c.3 D.15 5.已知向量a=(43),6=(cos2,in以)，若a6,则血a-2co巴的值为（） sina+2cosa C.- 1 1 5 D.5 6.已加m9+5cos0=号则a[g0j-《) A.-26 B.26 .月 7.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一由四个全 等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形， 第1页共4页 它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的 一个大等边三角形.在△ABC中，若FD=2AF,则△DEF 与△ABC的面积之比为() A.3 1 B.4 3 图1 图2 C.43 13 D.35 13 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A,若a=25,A:号则△MBc的外接圆的面积为16 B.若△ABC为锐角三角形，则sinB>cosC C.若sinA+sinB>sinC,则△ABC为锐角三角形 D.若a=b co5cosB'则△MBC为等腰直角三角形 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数z1+)=-1+3i,则下列叙述正确的是() A.z的实部为1B.2=5+4i C.z5 D.z的共轭复数为1-2i 10.已知向量a=(1,2),b=(1,-1),则() A.a+2b=(3,1) B.a=5 C.cos<a6>=i回 10 D.。在6方向上的投影向量坐标是-五 山.已知ca-)=-5cor2a=一手共中aB为能角.则() 5 A.tan2a=3 4 B.tadim-月 C.co(a-B)=25 D.sinasinB 3W5 5 10 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知，22是共轭复数，若片-=2，三-2是纯虚数，则=一 13.已知O为坐标原点，平面向量OA=(1,2),OB=(3,-1),若点M满足OM⊥AB,且OM=2OA+OB, 则实数=」 l4.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3,tanA+tanB+tanC=√3 tan Atan B,则△ABC 的外接圆的面积为 第2页共4页 ③南京市励志高级中学 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15.己知1a=2,=22. (1)若a∥b,求a.b: (2)若a,6的夹角为120°，求a+b (3)若(4a-b)1b,求ā与b的夹角0. 16.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知2 ccos4=2b-a. (1)求角C的大小： (2)若c=2,△ABC的面积为√5，求a+b的值. 1RE如时量a=,2no)6-ne+写}a=R (1)若aLb,求tan8的值； (2)若a/6,且0e0引求角0. 第3页共4页 8已知a,P为微角，任小写m8 10 (1)tana的值； (2)sin2a-2cos2a的值： (3)a+B的值. 19.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且n=(2b-a,cosA)与m=(c,cosC)共线. (1)求C: (2)若c=4,求△ABC周长的最大值； (3)若a=4,且△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 第4页共4页③南京市励卷高级中璺 数学试卷参考答案 1.C【详解】因为2+ai的共轭复数为b+bi(a,b∈R), 所以b=2,-a=b,所以a-b=4, 故选：C 2.B【详解】由题意得，二=3-4i, +三=3-4+3-4=3-4i-3i-4=-1-7万 i 3.D【详解】因为四边形ABCD是矩形，且E为CD中点， 所以AB1IDC,且AB=DC且CE=DC, 2 所以-1AB+AD=-1DC+AD=CE+AD=CE-CB=BE. 2 2 4.C【详解】设D(x,y),因为四边形ABCD为平行四边形，A(3,2),B(2,-1),C(4,-2),m=(n,3). 六BD=BA+BC=(L,3)+(2,-)=(3,2）而m=(m3)'BD.m=3n+6=0,六n=-2 |m=√13 5.B【详解】由a/6,得4sina=3 cos&,则tanx=sinc-3 cosa 4 3 所以sina-2cosc-tana-2_4 -25 sina+2cosa tana+2 3 +211 4 6.D【详解】因为ma+5cosa=号所以2咖a9o。 即2sna受子所以sma*孕号 所以a)oe+引-ma片 7.B【详解】设AF=a, 在△ABD中，∠ADB=120°，BD=AF=a,AD=AF+FD=3M, 由AB2=AD2+BD2-2·AD.BD.cOS∠ADB, 有n=(+-23aa（司}=13近，所以- 所以方夏，西片如如9面， 24 2 第1页共6页 S.DEE 3a24 所以sAc13W5d 13. 4 8B【详解】对于A选项，若a=2A-于则6ABC的外接圆半径清足2R= 3 sin A 25=4,R=2 圆面积为S=π×2？=4π，故选项A错误；对于B选项，若△ABC为锐角三角形，则B+C>90°， B>90°-C,sin B>sin(90°-C)=cosC,选项B正确：对于C选项，sin24+sim2B>sin2C,可推出 角C为锐角，但角A和角B未必都是锐角，故 选项C错误：对于选项D,由从，。可得加4血日，即amA-nB.A=B=a=b. cos A cos B cos A cos B 则△ABC为等腰三角形，故选项D错误； 9.ABD 【详解】对于A,因为1+i)=-1+3i,所以：= 1+311+310-D=1+2i,所以A正确. a+i)(1+i00a-i) 对于B,z2=(1+2i)=-3+4i,所以B错误 对于C,|z上VP+2=√5，所以C正确 对于D,.因为z=1+2i,所以z的共轭复数为1-2i,所以D正确 10.BD 【详解】A选项：根据向量坐标的数乘和加法运算，2b=(2-2), 则a+2b=(1+2,2-2)=(3,0),故A选项错误； B选项：根据模长公式=VP+22=5,故B正确： ab ￥x2+当2 1×1+2×(-1) -1 o C选项：利用夹角公式：cos<ab>= 阿+，+yF+2+可 10 故C错误； D透项i布5方上的报彩狗利阳问a6合架，代入坐标可得： b a.cos<aB> =√5 /10 10 -)=号故D正确 11.CD【详解】因为a为锐角，所以2a∈(0，m,得sn2a=V-cos2a=3 sin2a 3 则tan2a= 0s2a4,故A错误； 第2页共6页 ③南京市励志高级中璺 因为aB为锐角，所以a+Be(Q,,则sin(a+P)=Vos(a+p=25 cos(a-B)=cos 2a-(a+B)=cos2acos(a+B)+sin2asin(a+B) cos()coscs 35 sin asin B= 10 由 cos(a-B)=cosacos B+sin asin=2v5’得 cos a cos B= √5 5 10 则tanctanp=s血asiB-3,故B错误，D正确 cosacos B 12.√5【详解】由题意设1=a+i,5=a-bi, 5-5=a+bi-(a-bi训=2bi=2,即√4b=4,解得2=1， 若三-2是纯虚数，即=a-2+bi是纯虚数，得a=2 则=√+F-√5 故答案为：.√5 138【w解1已知o瓜-L2,免g).则西®ai-g) 设M(a,b),则OM=(a,b) 因为OM⊥AB,所以OMAB=2a-3b=0(*), a=2+32 因为OM=2OA+1OB,所以 b=4-2’ 将其代入()，可得2(2+3)-3(4-2)=0，解得元= 9 14.3π【详解】由三角形内角和得A+B=π-C,故tan(A+B)=-tanC. 由正切和角公式tan(A+B)= tan A+tan B 1-tan Atan B 代入得：tan4+tanB =-tanC,整理得tanA+tanB=-tanC+tan Atan Btan C. 1-tanAtanB 结合题设tanA+tanB+tanC=√3 tan Atan B,联立得tanC=√3， 因0cCsx,故c-子 已知c=3,设AABC的外接圆半径为R,则2R=C=,3 =2W5 -sinC sin60° .R=√3.外接圆面积S=πR?=3π 第3页共6页 15.【答案】(1)4或-4(2)5 e号 【详解】(l)若a∥b,则a与5的夹角为0或π， 所以a.6=5cos0=4或a.6=5cost=-4.。。。。。。。。。。。。。。。。4分 (2)若a,6的夹角为120°， 则a+=(a+6=a+62+2a.6=l试++25cos120 =+-2xix25x6 所以a+=6.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 (3)若(4a-b)16,则(4a-)6=0,即4a6-=0, 1 所以4|5cos6-=0,即16c0s0-8=0,解得c0s8= 2 又0∈[0，]，所以0= 3 、。。。。。。。。。。。。。0。。。。。。。。。。。。5分 16.雪 (2)4 【详解】(1)由正弦定理得，2 sin CcosA=2sinB-sinA。。。。。。。 。。。2分 又A+B+C=π，所以sinB=sin(π-(A+C)=sin(A+C), 2sin CcosA=2sin(A+C)-sin A=2sin AcosC+2cos Asin C-sinA, 化简得，2 sin AcosC=sinA,。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。4分 在△ABC中，sinA≠0，所以cosC=1 又因为0<C<元，所以C=亚。 3。。0。。0。。。 9。。。7分 （2)由三角形面积公式得：Sc=absinC=bx5-V5,解得b=4。,10分 2 2 由余弦定理得，4=a2+b2-b=(a+b)2-3ab=a+b}-12,。。。。。。。。。。13分 所以(a+b)=16,又a+b>0,所以a+b=4.。。。 。。。。。。。。。15分 1.ma5,2》a君政号 5 【详解】(1)因为a1b,所以a.b=0, 所以2sina+sina+号=0，。。。 3 。。。3分 即)5ima+5 cosa=0, 2 2 第4页共6页 南京市励冬高级中璺 因为cosa≠0，所以tanu=- 。。。。。。。。。。。6分 5 (2)a//b,2sinasina+ π =1 °。。。。。。。。。。。。8分 即2sim2acos2+2 sin coin5=1。。。。。。。。。。。。10分 即0-co2必+5n2u=1,整理得m2a-1】 62。。。。12分 -L66] 所以2a-严=交 =或2a- π5π 66 66,即a= 或交 元 6 。。。。。。。。15分 2 C)o 10 tan交 【详解】(1)tana=tan 4 厂1+-tantan( 4 31 。。3分 12 1+ 3 (2)所以sin2a-2cos2a=2 sin a cos-2cosa 2sinacosa-2cos-a 。。。。。。。。。。。。。6分 sin-a+cos a 12 2tan a-2 4 tana+1 5 。。。。。。。。。。。9分 +1 2 3)因为0<B<2 所以cosB=V1-sin2B= V10 310 。。。。。。。11分 10 10 所以tanB=sinp-1 cos B 3 0000 。。。。。。。。。。13分 11 tan a+tan B 所以tan(a+B)= 1-tanatan B :23=1。。。。。。。15分 1.1 1- 23 且a,B为锐角.可得0<a+B<元，所以a+B=平。17分 19.①c=罗 (2(8,12]3)(3-V3,V3 【详解】(1)在△ABC中，A+B+C=T, 第5页共6页 ,m与n共线，.(2b-a)cosC=ccosA, 由正弦定理可得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA .2sin B cosC-sin AcosC=sin C cosA, .2sin B cosC =sin AcosC+sin CcosA=sin(A+C)=sin B, :mB+0,cosc-分又CeQ,所以c=号5分 （2)由(1)知C-又c=4,由余弦定理c-+r-2coc 得16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(a+b-16=3b,因为absa+b 2 当且仅当a=b时等号成立， 所以(a+b-16=3ab≤3xa+b 2 即(a+b)≤64，则a+b≤8,8<a+b+c≤12， 所以△ABC周长的最大值为12.。。。。。。。。。。。。 。。10分 (⑧)aABc为能角三布形，且角C-号故名<A<号 6 由正弦定理得b=a:sinB 2-A) 4sin 3 sinA sinA 1 cos4+ 2sin A) sin A 2V5 。。。。。0。。。0。。。。。13 +2 tan A π 1 所以2<b<8。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15 所以5auca6sinc-0sin号-V5b 即2V3<S4C<8V3 △ABC面积的取值范围为(2W3,8√3)。。。。。。。。。。。。。。17分 第6页共6页