第四章 三角恒等变换单元检测卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

**基本信息** 高中数学三角恒等变换单元复习卷，全面覆盖三角函数定义、恒等变换公式及综合应用，通过梯度化题型设计，适配单元知识巩固与核心素养（运算能力、推理能力、模型意识）培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数值计算、向量与三角结合|基础公式直接应用，如已知终边上点求三角函数值| |多选题|3/18|三角函数性质（最值、周期、对称性）|多维度考察函数综合特征，如判断正弦型函数单调性| |填空题|3/15|象限角三角函数、恒等变换公式|聚焦易错点，如第二象限角的余弦值计算| |解答题|5/77|三角恒等变换与解三角形综合|分层设计，从基础计算（如给值求值）到综合应用（如三角形中线长计算），契合高考真题多问递进模式|

三角恒等变换检测卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． （ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是角 终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 6.已知，，且 ， 均为锐角，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 8.若，则（ ） A. B. C. D. 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 10.满足的一组 ， 的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11.已知，，则（ ） A. B. C. D. 或 三．填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知角 的终边经过点，则--------- 13.已知 为第二象限角，，则____. 14．已知，，，，且 ，则____ 四．解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（1） 已知锐角 ， 满足，，求 的值. （2） 已知，求 的值. 16.已知函数. （1） 求函数的单调递增区间； （2） 当时，求函数的最大值及相应的的值. 17.（1）已知，，且 ， 均为锐角，求： 的值 （2）已知，求锐角的值 18．已知函数，的最大值为1，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1） 求函数的解析式； （2） 求在上的单调递增区间； （3） 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求的最大值． 19.在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1） 求； （2） 若，，求的面积； （3） 若，，求边上的中线长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换检测卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． （ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 答案A 解析 因为，所以 ，又，所以,即,又,所以.故选A. 3.已知向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 答案B 解析，， 即，即， . 4. 已知，则 的值为（ ） A. B. C. D. 答案 A 解析 . 5. 已知是角 终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 答案A 解析 因为是角 终边上一点，所以，则.故选A. 6.已知，，且 ， 均为锐角，则 的值为（ ） A. B. C. D. 答案C 解析 由题意得，， 所以. 因为 ， 均为锐角，且，， 所以 ，，所以， 所以.故选C. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 答案D 解析，即， 则. 8.若，则（ ） A. B. C. D. 答案B 解析 易知, 设，则，且，1，， 又, 所以,即，即，所以， 所以，故 , 异号， 所以.故选B. 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 答案BCD 解析：因为 ， 所以，函数的最小正周期 ,故A中说法错误，B中说法正确. 当时，，所以直线为图象的一条对称轴,故C中说法正确. 当时，，所以在上单调递增,故D中说法正确.故选. 10.满足的一组 ， 的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案BD 解析： ， ， 即. 当，时，，，,符合题意， 同理D也符合题意.故选. 11.已知，，则（ ） A. B. C. D. 或 答案ACD 解析：因为, 所以或，故B错误； 又，即，即 , 所以,解得,故A正确； 所以， 所以，故C正确； 因为或, ,所以, 所以或，故D正确.故选. 3. 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知角 的终边经过点，则--------- 答案：−1 解析：角 的终边经过点，, 13.已知 为第二象限角，，则____. 答案： 解析：将两边平方可得，，则. 因为 是第二象限角，所以，， 所以，所以. 14．已知，，，，且 ，则____ 答案： 解析：由题意得，， 又，， ,， ，，， . . 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（1） 已知锐角 ， 满足，，求 的值. （2） 已知，求 的值 解析 （1） 因为 ， 是锐角，所以，，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以. （2） 由已知得，解得，所以 . 16.已知函数. （1） 求函数的单调递增区间； （2） 当时，求函数的最大值及相应的的值. 解析： （1） ，令，得，所以的单调递增区间为. （2） 由可得，所以当，即时，取得最大值2. 17.（1）已知，，且 ， 均为锐角，求： 的值 （2）已知，求锐角的值 解析：（1）由题意得，， 所以. 因为 ， 均为锐角，且，， 所以 ，，所以，所以. （2） 由原式，得， 所以， 所以， 所以. 因为 为锐角，所以，， 所以，所以，所以. 18．已知函数，的最大值为1，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1） 求函数的解析式； （2） 求在上的单调递增区间； （3） 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求的最大值． 解析 （1） ,（2分）因为的最大值为1,所以，解得.因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为,所以,故 ,解得,所以. （2） 令 ，,解得 ,.所以函数的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，. （3） 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，（10分）再向右平移个单位长度，得到函数的图象，故.因为，所以，,因为在区间上的最小值为，所以解得.所以的最大值为. 19.在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1） 求； （2） 若，，求的面积； （3） 若，，求边上的中线长. 解析 （1） 因为，所以由正弦定理得，由余弦定理可得，因为，所以. （2） 因为，且，所以，解得或（舍去），所以. （3） 因为，所以由正弦定理可得，即，因为，所以，则，所以或，即或，当时，为等边三角形，所以边上的中线长为；当时，，所以为直角三角形，由正弦定理，得，，所以边上的中线长为. ． 学科网（北京）股份有限公司 $