章末检测（一） 三角函数(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

章末检测（一）　三角函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.sin 600°＋tan 240°＝（　　） A.－ B. C.－＋ D.＋ 2.直角坐标系内，角β的终边过点P（sin 2，cos 2），则与角β的终边重合的角可表示成（　　） A.－2＋2kπ，k∈Z B.＋2＋kπ，k∈Z C.2＋2kπ，k∈Z D.－2＋2kπ，k∈Z 3.已知sin（θ＋π）＜0，cos（θ－π）＞0，则θ的终边所在象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P为其终边上一点，则sin＝（　　） A.－　　B.－　　C.　　 D. 5.设函数f（x）＝sin，x∈R，则f（x）是（　　） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 6.智能主动降噪耳机工作的原理如图①所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声.已知某噪声的声波曲线y＝Asin（ωx＋）（A＞0，ω＞0）在［－，］上的大致图象如图②所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线可以为（　　） A.y＝2sin（πx＋） B.y＝sin（x＋） C.y＝sin（x－） D.y＝2sin（πx－） 7.已知ω＞0，｜φ｜≤，在函数f（x）＝sin（ωx＋φ）和g（x）＝cos（ωx＋φ）的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，且f（x）的图象关于点（－，0）对称，则g（）＝（　　） A.1 B. C. D.0 8.已知f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，φ为常数），若f（x）在区间（，）上单调，且f（）＝f（）＝－f（），则φ的值可以是（　　） A.－ B.－ C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.函数y＝sin的图象是由函数y＝sin x的图象经过变换得到，则这个变换可以是（　　） A.先将图象向左平移个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍 B.先将图象向右平移个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍 C.先将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位长度 D.先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位长度 10.对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　） A.f（x）与g（x）有相同的零点 B.f（x）与g（x）有相同的最大值 C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 11.下列关于函数y＝tan的说法正确的是（　　） A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于成中心对称 D.图象关于成中心对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知cos（＋φ）＝，且｜φ｜＜，则tan φ＝　　　　. 13.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（0，π）上有最大值，无最小值，则ω的取值范围为　　　　. 14.已知函数f（x）＝2sin（2x－）－m.若f（x）≤0在x∈［0，］上有解，则实数m的取值范围是　　　；若方程f（x）＝0在x∈［0，］上有两个不同的解，则实数m的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）化简与求值： （1）化简：； （2）求值：. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示. （1）求f（x）的解析式，并说明函数y＝f（x）的图象是如何由函数y＝sin x的图象变换而得到的； （2）若当x∈［0，］时，方程f（x）＝m恰有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 17.（本小题满分15分）已知某地一天4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]. （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 18.（本小题满分17分）在①函数f为奇函数；②当x＝时，f（x）＝；③是函数f（x）的一个零点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，　　　　. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19.（本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）. （1）若f（x）＝cos x，x∈[0，π]；g（x）＝sin x，x∈[0，π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说明理由； （2）若f（x）＝cos x－1与g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1具有关系M（k），求实数k的取值范围； （3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1；②对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0. 判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4），若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（一）　三角函数 1.B　2.A　3.B　4.A　5.B 6.D　易知Asin（0＋）＝1，∴A＝2.再根据五点作图法，可得ω×＋＝π，∴ω＝π，故噪声声波曲线的解析式为y＝2sin（πx＋）.由于在平面直角坐标系中，反向声波曲线与噪声声波曲线关于x轴对称，设反向声波曲线为y1＝2sin（πx＋φ），则有2sin（πx＋）＋2sin（πx＋φ）＝0，可令πx＋－（πx＋φ）＝π，得φ的一个值为－.故选D. 7.D　因为f（x）和g（x）的图象上相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，所以函数f（x）的最小正周期T＝π，即＝π，得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.又f（x）的图象关于点（－，0）对称，所以2×（－）＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝＋kπ（k∈Z），因为｜φ｜≤，所以φ＝，所以g（x）＝cos（2x＋），g（）＝cos（2×＋）＝cos＝0.故选D. 8.A　对于函数f（x）＝sin（ωx＋φ），ω＞0，因为f（x）在区间（，）上单调，所以－＝≤＝，即0＜ω≤3.因为－＝≤，f（）＝f（），所以直线x＝＝为f（x）图象的一条对称轴，因为（，）⫋（，），且f（x）在（，）上单调，f（）＝－f（），所以点，即点（，0）为f（x）图象的一个对称中心，因为－＝＜≤，所以直线x＝和点（，0）分别是f（x）图象的同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则＝－，即T＝π，所以ω＝＝2∈（0，3]，所以f（x）＝sin（2x＋φ），又点（，0）为f（x）图象的一个对称中心，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝－＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝－.故选A. 9.ABC　A选项：y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝sin的图象，正确；B选项：y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝sin＝sin的图象，正确；C选项：y＝sin x的图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 2（x＋）＝sin的图象，正确；D选项：y＝sin x的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin x的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin的图象，错误.故选A、B、C. 10.BC　A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质，f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C. 11.ACD　当x∈时，2x－∈，所以y＝tan在区间上单调递增，故A正确；函数y＝tan的最小正周期是，故B错误；当x＝时2x－＝，所以函数y＝tan的图象关于成中心对称，故C正确；当x＝时2x－＝0，所以函数y＝tan的图象关于成中心对称，故D正确；故选A、C、D. 12.－　解析：由cos（＋φ）＝，得sin φ＝－.又｜φ｜＜，∴φ＝－，∴cos φ＝，∴tan φ＝－. 13.（ ，］　解析：设z＝ωx＋，当x∈（0，π）时，z＝ωx＋∈（，ωπ＋），作出y＝sin z的大致图象，如图.要使f（x）在区间（0，π）上有最大值，无最小值，需使＜ωπ＋≤，解得＜ω≤，即ω的取值范围为（ ，］. 14.[－1，＋∞）　[1，2）　解析：f（x）≤0，即m≥2sin（2x－），当x∈［0，］时，2x－∈［－，］，所以2sin（2x－）∈[－1，2]，所以y＝2sin（2x－）在［0，］上的最小值为－1，所以实数m的取值范围是[－1，＋∞）.方程f（x）＝0在x∈［0，］上有两个不同的解，等价于函数y＝2sin（2x－），x∈［0，］的图象与直线y＝m有两个交点，函数y＝2sin（2x－），x∈［0，］的图象如图所示，由图可知，m的取值范围是[1，2）. 15.解：（1）原式 ＝ ＝＝－cos α. （2）原式＝＝＝＝2－. 16.解：（1）设f（x）的最小正周期为T，由函数图象可得T＝－＝， 所以T＝，由T＝得ω＝3. 由解得 令3×＋φ＝2kπ，k∈Z， 可得φ＝2kπ－，k∈Z，又｜φ｜＜， 令k＝0，可得φ＝－. 所以f（x）＝2sin（3x－）＋1. 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin（x－）的图象， 再将y＝sin（x－）的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到y＝sin（3x－）的图象，然后再将y＝sin（3x－）的图象，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数y＝2sin（3x－）的图象，再将函数y＝2sin（3x－）的图象沿y轴向上平移1个单位长度即得到f（x）＝2sin（3x－）＋1的图象. （2）由（1）知方程f（x）＝m可化为sin（3x－）＝. 令t＝3x－，s＝， 又x∈［0，］，则t∈［－，］， 所以方程f（x）＝m在x∈［0，］上恰有两个不同的实根，即sin t＝s在t∈［－，］上有两个不同的实根，等价于函数y＝sin t与y＝s的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示， 由图可得s∈［，1），即∈［，1），可得m∈[＋1，3）. 故实数m的取值范围为[＋1，3）. 17.解：（1）由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20（℃）. （2）令10sin＋20＝15，可得sin＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4，16]，所以x＝. 故该细菌能存活的最长时间为－＝（小时）. 18.解：∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π， ∴T＝＝2π，∴ω＝1， ∴f（x）＝2sin（x＋φ）. 选条件①. ∵f＝2sin为奇函数， ∴φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z. （1）∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin. （2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤， ∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，. 选条件②. f＝2sin＝， ∴sin＝， ∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z. （1）∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin. （2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤， ∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，. 选条件③. ∵是函数f（x）的一个零点， ∴f＝2sin＝0，∴φ＝kπ－，k∈Z. （1）∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin. （2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤， ∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，. 19.解：（1）f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下： 当x∈[0，π]时，f（x）＝cos x∈[－1，1]，g（x）＝sin x∈[0，1]， 当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝时，g（x2）＝g（）＝1， 此时f（π）－g（）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系M（－2）. （2）由函数f（x）＝cos x－1∈[－2，0]， 且g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1＝－2（sin x－）2＋， 因为sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝－1时，g（x）min＝－2×（－1－）2＋＝－2，当sin x＝时，g（x）max＝， 所以g（x）∈［－2，］， 所以[f（x1）－g（x2）]∈［－，2］，所以k∈［－，2］，即实数k的取值范围为［－，2］. （3）不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.理由如下： 因为在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1，且h（x）为定义在R上的奇函数， 所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－时，h（x）取得最小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]， 由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h（x）关于点（a，0）对称， 又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的周期为2a， 又sin 2πx∈[－1，1]，cos 2πx∈[－1，1]， 所以当h（x1）＝1时，x1＝＋2na，n∈Z，sin 2πx1＝1时，x1＝＋k，k∈Z， 若＋2na＝＋k，即a＝，k，n∈Z，此时有f（x1）＝sin 2πx1＋h（x1）＝2； 当h（x2）＝－1时，x2＝－＋2ma，m∈Z，cos 2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z， 若－＋2ma＝t，则a＝，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－cos 2πx2＝－2， 因为≠，所以sin 2πx1＋h（x1）＋cos 2πx2－h（x2）＜4， 所以不存在x1∈R，x2∈R使得sin 2πx1＋f（x1）＋cos 2πx2－f（x2）＝4， 故不存在实数a使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4）. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $