第四章三角恒等变换基础检测卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

三角恒等变换基础检测卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4.已知，，则（ ） A. B. C. D. 5.．已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 函数的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 8.黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中，底与腰的长度之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为 的等腰三角形.达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图，在黄金三角形中，，根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.下列各式中，值为1的有（ ） A. B. C. D. 10.对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最小值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 11.先将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.已知 是第二象限角，，则______. 13．在中，，，则_____. 14.已知，且，则______. 四.解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （1） 已知，且 是第二象限角，求 和 的值. （2） （3） 16.设函数. （1） 求函数的最小正周期和图象的对称轴； （2） 若，且，求 的值. 17.（1）已知，，，求角 的大小. （2）已知，，且，，求角 的大小. 18.已知，，且，. （1） 求； （2） 求角 的大小. 19.已知函数. （1） 求函数在区间上的最值； （2） 若，，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $三角恒等变换基础检测卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.己知aE(受，T),tana=-2,则cos=() A-号B.9c.-5n.9 答案：A 解析：因为tana=-2,所以sim=-2cos，又sm2a+cos2a=1, 所以(-2cos+cos2a=1,即cos2a=言，又aE(,m）,所以 cosx=-写.放选A 2.cos28°·cos17-sin28.cos73°=() A支B.5C.5D.-号 答案C 解 析 原 式 =cos28cos17-sin28·sin17=cos28+17）=cos45=9.放选 C. 3.已知sim(a-)=寺，则co(2+)=（) A.日B.-日C.号D.-号 答案B 解 析 cos(2a+)=co[2a-)+=-cos2(a-)=2sin(c-)-1, 又sim(a-)=守，所以cos2a+)=2×()}-1=-号.故选B. 4.已知ceR,sinx+2cosw=平，则tam2a=（) A.寺B.C.-D.-等 答案C 解析：：sina+2cosa= 9,sina+cosa=1,“ 联立解得 10 sina=- 101 sina= 310 10, Cos 310 或 故tanc=品=-寺或3，当 10 cos0t三7. tanc=-号时 tan2a= 2an=-子；当 1-tan2a tano=3时， tan2a= am是=-.综上，tan2=-,故选C. 1-tan2a 5.己知ae(-罗，0)，simc=-,则tan号=() A.3B.-3C.青D.-寺 答案D 解析：因为cE(-罗，0)，smc=-是，所以cosa=专，所以 tan受=a=一专.故选D. 6.函数8)=cos2+6cos(号-8)的最大值为() A.4B.5C.6D.7 答案B 解析：函数f8=cos2+6cos(号-x=1-2sim2x+6six,令 t=six-1≤t≤1)，可得y=-2t2+6t+1=-2t-)2+号， 函数y=-2t2+6t+1[-1,1上单调递增，当t=1,即x=2kT+号， k∈Z时，函数8)取得最大值5.故选B. 7.设a∈(0，)Be(O,),且tama=to,则() 1+sinB A.3a-B=号B.2a-B=号C.3+B=5D.2a+阝=罗 答案B 解析：由tana= 1+sinβ sina 1+sinB cosβ 得 COSQ cos3 即 sinacosβ=cosa十cosasinβ，所以sim(a-B)=cos=sin(号-a).因 为a∈(O,),BE(0,),所以a-BE(-,),罗-a∈(0，)，由 sm(c-)=sm(号-a),得c-B=号-cx，所以2-B=.故选B. 8.黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中，底与腰的 长度之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的 三角形，它是两底角为72°的等腰三角形.达·芬奇的名作《蒙娜丽 莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图，在黄金三角形 ABC中，器=5号，根据这些信息，可得s54=() A.254B.C.D.5型 答案B 解析：由题设，可得cos72=1-2sin36=5,所以sm236°=一5 ,又os36+sin36=1,所以cos36=5型，又cos36∈（停，号） 所以os36°=co90-54=sin54=5尘.故选B. 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分). 9.下列各式中，值为1的有()》 V3-tan15 A. 1+v3tan15 B. 4tan15cos215° C.cos - sin D 1-c0s60 2 答案AB 解析：对于A,原式= tam60°-tam15 1+tan60tan15 =tam60°-15)=tan45°=1，故 符合题意； 对于，原式=4·a瓷cas215°=4in15×cos15=2sin30=1,放 符合题意； 对于C, 原式=(s路-sim2)号×co=9×9=支，放不 符合题意； 对于D,原式=V 1-(1-2sin30 2=sin30°=，故不符合题意.故选AB. 10.对于函数f8)=sin2s+V5cos2,下列结论正确的是() A.fx)的最小正周期为πB.fx)的最小值为-2 C.fx)的图象关于直线x=-若对称D.f8在区间(-，-)上单 调递增 答案AB 解析：f权-sin2+V5cos么=2，sin2x+9cos2x=2sin2x+手，则 T=罗=π，A正确；x的最小值是-2，B正确； f-)=2sim(-号+)=0，所以8的图象关于点(-晋，0)中心对称， C错误；当xE(-,-)时，s+号E(-牙，0)，则当2+号=-晋时， fx)取得最小值-2，因此函数fx)在(-，-)上不单调，D错误.故 选AB 11.先将曲线y=sin2x-V3sim(r-x.sinx+乎)上每个点的横坐标 伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移号个单位长度， 得到g(8)的图象，则下列说法正确的是() A.g()=1 B.g(8)在[0，上的值域为-， C.gx)的图象关于点(，0对称 D.g(8)的图象可由y=cosx+号的图象向右平移娈个单位长度得到 答案ABC 解 析 y=sinx+V5 sircx=号sn2a-icos2x+号=si(2么-π6+克，根 据题设知g(8=sin(x-).对于A,g()=sin受=1，A正确；对于B, 因为x∈[0，m],所以x-晋E[-,],则g(&)的值域为[-，1]，B正 确；对于C,g()=sin(-)=0,故g8)的图象关于点(，0)对称， C正确；y=cosx+专的图象向右平移牙个单位长度得到 f8=cosx-牙)+的图象，显然与g8=sinx-)的图象不同，D 错误.故选ABC. 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） cosπ-) 12.已知&是第二象限角，cos=- V10 101 则2sπ+a+n受+可= 答案：一 解析：由题意得sina=-osa=-市=语， cosπ-a) 0 -cosa 10 所以2sinr+a+in(号+a=-2na+c0s0 610V10 =- 1010 13.在△ABC中，simA=专，cosB=-号，则cos(A-B)= 答案：-品 解析：因为cosB=-号，且0<B<π， 所以罗<B<π， 所以simB=V1-cos2B=V1-(-)2=嘉. 又0<A<号，所以cosA=V1-sin2A=V1-()2=, 即cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=是×(-})+青×帝=-号 14.已知sinA=专，且A∈（凭，），则sim(2A+)= 答案：- 24+73 50 解析：因为simA=专，且AE(凭，要)， 所 以 cosA=-V1-sin2A=-寻 则 sim2A=2 2sinAcosA=2×专×(-)=-装， cos2A=1-2sim2A=1-器=-3， 因 此 sm2A+=sim2Acos号+cos2Asm号=-装×-条×9=-2 50 四.解答题：（本题共5小题，共77分.其中15题13分，16、17题 每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)》 (1)己知sina=号，且a&是第二象限角，求cosx和tanx的值. (2)sin46'cos14+sin44cos76 (3) 2tam150° 1-tam2150 解析：(1)cos2a=1-sim2a=1-()=(停)，因为a是第二象限 角，所以cos<0,所以cosx=-是，故tana=8=-号. 2) 原 式 =si90-44os14+sin44·co时90°-14=cos44°cos14+sin44sn14=c0 3) 原 式 =tam(2×150)=tan300°=tar360°-60)=-tam60°=-V5 16.设函数f8=cos(2+)+2simx. (1)求函数8)的最小正周期和图象的对称轴； (2) 若ae(年，)，且fc)=号，求sin2a的值. 【解析】 (1) fN=cos2a-号sin2+1-cos2x=-sn2x+十1，则☒ 的最小正周期T=牙=π.由2x十=受+k,kE乙，得函数图象的 对称轴为x=9+晋，kEZ. (2) 由fc)=号，得1-sin(2a+)=号，sin(2a+)=,由 ∈（侄，），得2a+晋∈（停，），则cos(2a+)=-音， “sin2a=stn2x+)引-号x9-(-)×= 17.(1)已知s-d-9,cos-)=是，0<B<a<,求 角β的大小 (2)已知cos(a-)=-,cos(a+B)=,且a-B∈（凭，）， +BE(钙，2)，求角β的大小 【解析】)因为s-a=9,所以a=9】 因为0<<罗， 所以cosa=V1-sin2a=号. 因为0<B<<罗，所以0<-B<号， 所以sma-)=1-cosa-可=誓， 所 以 cos啡=co-a--cosacoda--+sinesin-=x号+9x普=生 因为0<B<变，所以B=号. (2)由a-BE(凭，)，cosa-B)=-是，可知sim(a-)=青. 因为+BE(,2m),cosa+B)=, 所以sim(a+)=-专， 所以cos2B=cos[(a+)-(a-β] =cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+B)sin(a-B) =×(-)+(-)×专=-1. 因为a-BE(受，T),a+BE(钙，2)， 所以2邓E(凭，孪)，所以2邓=T, 故B=晋 18.已知a∈(-男，o以，Be(,m).且sinw=-号，tamB-)=-孟， (1) 求cos(2a+)月 (2) 求角+2邓的大小. 【解析】 1) “ae(-,0), cow=-a-h-(←-9 :c0s2a=1-2sim2a=1-六=第，sim2a=2 sncs=-3 aca2a+)=os2aos-sin2ain呀=柒×号+元×9= 50 (2》由(1)得cos=,∴taa=-方，又tam(B-a)=-员， tang=tan-+drt tan(B-a)+tana ()H) 1-(-) ~Be(传，)，anB=->-9=tan陪，∴Be(倍，)，易得 m2邱=器-寻=号 ∴tar(a+2p)=ann录 tana+tan2B =有=-1，aE(←号，0，ma=-品>-=s-) - a∈(-，0)，a+2Be(,2m),m+2B=牙 1.已知函数)-号sin年-+号co时- (1) 求函数8在区间，]上的最值： (2)若cos0=专，6E(钙，2m),求20+)的值， 解析：(1) 由题意 得 付-号sm任-对+9c时年--号×刻任-对+号co4-刘 =-号k-)因为xE]所以x-行-，罗】，所以 smx-)[,小，所以-号sim-)[-9,], 即函数fx) 在区间，]上的最大值为源，最小值为-. (2) 因为cos0=专，日E(钙，2m),所以sim6=-是，所以 sim29=2sin0cos0=-第，c0s20=cos20-sin20=3-是=3，所 以 (20+）=-号m28+5-)--号smn28-到-am28-cos29） =(cos28-sin20)=×(乐+)=0