10.1概率概念辨析专项练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦概率核心概念辨析，通过单选与多选题系统覆盖随机事件、古典概型、互斥对立及独立事件等基础知识点，强化概念间逻辑关系的精准理解，培养数学思维的推理能力与数学语言的精确表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件与古典概型|4题|概念判断选择|从事件类型（必然/随机/不可能）到古典概型特征的递进辨析| |互斥与对立事件|3题|易混概念多选|通过否定式命题强化互斥与对立的包含关系及概率公式适用条件| |独立事件|3题|定义与性质判断|围绕独立事件定义及与互斥关系的区分，构建概念网络| |频率与概率|2题|概念应用辨析|从频率稳定性到概率定义，结合模拟试验理解概念本质| |综合应用|5题|多概念交叉判断|整合样本点、事件运算等，形成概率概念体系的整体认知|

人教版必修二第十章概率概念辨析专项练习答案 1． （单选）判断下列事件为随机事件的是（ ） A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形 B.长度为2，3，4的三条线段可以构成一直角三角形 C.方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根 D.函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数 【答案】D 【分析】根据事件发生的可能性逐个判断即可. 【详解】A中，3，4，5满足勾股定理的逆定理，必能构成三角形，故为必然事件；B中，2，3，4不满足勾股定理的逆定理，故为不可能事件；C中，二次方程判别式小于0，故为不可能事件；D中，时为增函数，时为减函数，故为随机事件 2．（多选）下列说法中正确的是( ) A.从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型 B.某同学竞选本班班长成功是随机事件 C.连续抛掷一枚硬币2次，“（正面，反面），（反面，正面）”是同一个样本点 D.甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是 【答案】BD 【详解】对于A，因为球的大小不同，所以抽取时取到每个球不具有等可能性，故不满足古典概型的特征，A错误；对于B，根据随机事件的定义可知，B正确；对于C，（正面，反面）表示第一次是正面，第二次是反面；（反面，正面）表示第一次是反面，第二次是正面，C错误.对于D，根据题意，则甲､乙两人各投篮一次，两人都没有命中的概率，则至少有一人命中的概率。 3．（多选）下列说法中错误的是( ) A.事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件 B.设为对立事件，则与一定也为对立事件 C.若事件A，B，C两两互斥，则 D.对任意两事件，都有 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、对立事件以及概率等知识确定正确答案. 【详解】是互斥事件，当时，不是对立事件，所以A错误.是对立事件，则与一定也为对立事件，所以B正确.是互斥事件，当时，，所以C错误.任意两事件，都有，所以D错误. 4．（多选）下列说法中正确的是( ) A.事件A与B相互独立⇔ B.若事件A与B相互独立，则事件与事件B的关系不确定 C.若事件A与B相互独立，则 D.事件A与B可以相互独立但不互斥 【答案】ACD 【详解】根据独立事件的定义可知：事件A与B相互独立⇔，故A正确；若事件A与B相互独立，则，可得，所以事件与事件B也相互独立，故B错误；若事件A与B相互独立，则，故C正确；例如：抛掷两枚硬币，“第一枚正面向上”，“第二枚正面向上”，显然事件A与B相互独立，并且可以同时发生，即事件A与B不互斥，故D正确。 5．（多选）下列说法中错误的是( ) A．若事件彼此互斥，则 B．已知某随机试验中，事件，发生的概率分别是，，则的概率一定等于 C．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于2”，“第二枚出现的点数小于6”，则A与B相互独立 D．若A，B是对立事件，则 【答案】ABD 【详解】若事件彼此互斥，则，但不一定有，因为这三个事件的和不一定是必然事件，故A错误．由概率公式得．只有当事件，互斥时，，此时，因此的概率不一定等于0.5.故B错误．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于2”，“第二枚出现的点数小于6”，，，，则A与B相互独立．故C正确．若A，B是对立事件，则，所以，.故D错误． 6．（多选）下列说法中正确的是( ) A．古典概型中的任何两个样本点都是互斥的 B．观察100粒黄豆发芽的试验是古典概型 C．“在区间（0，5）内任取一点，求此点小于2的概率”是古典概型 D．“从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率”是古典概型 【答案】AD 【详解】古典概型中的任何两个样本点都是互斥的，故A正确．发芽与不发芽的概率不一定相等，故B错误；因为区间内的点有无限多个，不满足基本事件的有限性，所以C错误，满足有限性和等可能性，是古典概型，故D正确． 7．（多选）下列说法中错误的是( ) A．用随机模拟试验估计事件的概率时，一般情况下试验次数越多，所得的估计值越接近实际值 B．在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面 C．随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化 D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 【答案】BCD 【详解】用随机模拟试验估计事件的概率时，一般来说，试验次数越多，结果越精确，所得的估计值越接近实际值，故A正确；由于正面出现的概率为，因此应该用其中的5个数表示正面，故B错误；随机事件的频率随着试验次数的变化而变化，而概率是频率的稳定值，是不变的，故C错误；事件A表示掷一枚骰子得到奇数，事件B表示得到点数大于等于3，,故D错误。 8．（多选）下列说法中正确的是( ) A． 分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同 B． “方程有两个实根”是不可能事件 C． “物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件 D．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 【答案】BCD 【详解】分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，则每名男生被选中的概率为，每名女生被选中的概率为，即男生与女生被选中的可能性不同，故A错误.因方程的根的判别式为，即方程无实根，故该事件为不可能事件.故B正确.由物理学常识知，物体在只受重力的作用下会自由下落，故“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件.故C正确.对于事件，若时，为互斥事件，若且时，为对立事件，故D正确. 9．（多选）下列说法中正确的是( ) A.用计算机进行随机模拟，可以在短时间内多次重复来做实验，应用很广泛 B.用计算器或计算机产生随机数，既能保证操作简单，省时省力，又能保证等可能性 C.随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化 D.用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值 【答案】ABD 【详解】对于A，B，由计算机进行随机模拟的优点，可知正确；对于C，随机事件的频率随着试验次数的变化而变化，而概率是频率的稳定值，是不变的，C错误；对于D，用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，结果越精确，所得的估计值越接近实际值，D正确， 10．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.下列说法中正确的是( ) A.，为对立事件 B. C. D.， 【答案】BCD 【详解】由题意知，，因为，故与不为对立事件.故A错误；由题意知，，故.故B正确；由题意知，，故.故C正确；由题意知，，故，故D正确； 11．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”；“点数为奇数”.下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】由题意知，,故，故A错误；由题意知，，，，所以.故B正确；由题意知，，所以=.故C正确；由题意知，，所以=.故D正确. 12、（多选）下列说法中正确的是( ) A．若A，B相互独立，且，，则A，B都不发生的概率为0.3 B．记，分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，B互斥，那么与一定互斥 C．“抛掷一颗质地均匀的骰子，结果向上的点数是奇数”记为事件A，“抛掷一颗质地均匀的骰子，结果向上的点数大于3”记为事件B，“抛掷一颗质地均匀的骰子，结果向上的点数是不小于4的奇数”记为事件C，则有． D．抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数之和构成的样本空间为1，2，3，…，11，12 【答案】AC 【详解】∵A，B相互独立，，，∴，，∴，故A正确．因为记，分别为事件A，B的对立事件，事件A，B互斥，所以可作出维恩图，如图所示 由图可知， 与不一定是互斥事件，故B错误．由题可得，，，则，即“事件A与事件B同时发生即为事件C发生”，故，故C正确．抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数之和的最小值为2，1不是样本点，故D错误． 13、（多选）下列说法中错误的是( ) A．从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，“3个都是次品”是随机事件 B．“口袋中有大小相同的2个红球，2个白球，每次从中任取一个球，观察颜色后放回，直到取出红球”是古典概型 C．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 D．从甲地到乙地共有n条路线，且这n条路线长短各不相同，某人任选一条路线是古典概型 【答案】AB 【详解】从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，“3个都是次品”是不可能事件，故A错误．这是有放回抽样，依次取出的球可以重复，且取球可以无限进行下去，所有可能的结果有无限个，不满足样本空间只含有有限个样本点这一特点，故不是古典概型，故B错误．基本事件的总数为，其中甲、乙参加一个小组有种结果，所以所求的概率为，故C正确。从甲地到乙地共有n条路线，且这n条路线长短各不相同，某人任选一条路线都是等可能的，样本点的个数是有限的，满足古典概型的特征，故D正确. 14、（多选）下列说法中正确的是( ) A．两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生 B．“”是“事件A，B相互独立”的充要条件 C．抛掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能的 D．若是必然事件，则A与B是对立事件 【答案】AB 【详解】两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．A正确；根据相互独立事件的含义可知事件A，B相互独立，则，反之也成立，B正确；抛掷一枚硬币两次，出现的结果为：正正、正反、反正，反反，共4个，它们等可能.因此给定的命题错误，故C错误.举例：投掷一颗质地均匀的骰子，事件A：向上的面大于2，事件B：向上的面小于4， 显然是必然事件，可A与B不是对立事件；D错误。 15、（多选）下列说法中正确的是( ) A．必然事件的对立事件是不可能事件 B．不可能事件与任何一个事件相互独立 C．两个事件的和事件是指两个事件都得发生 D．抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件，“第2枚为正面”为事件，则相互独立 【答案】ABD 【详解】由对立事件的定义得，必然事件与不可能事件互斥，它们的和事件为必然事件，故A正确. 设不可能事件为A，则，设任何一个事件为B，则AB也为不可能事件，则， 故总成立，即不可能事件与任何一个事件相互独立，故B正确.两个事件的和事件是指至少有一个事件发生，并不是指两个事件都得发生，故C错误．抛掷2枚质地均匀的硬币，若记“出现正面”为“正”，“出现反面”为“反”，则，，则,而,则,故相互独立，故D正确. 16、（多选）下列说法中错误的是( ) A.事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率 B.若，则A，B同时发生或A，B同时不发生 C．连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一样本点 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都正面向上”是不可能事件 【答案】ACD 【解析】对于A，事件A与不可能事件的和事件的概率等于事件A的概率，故A错误，由相等事件的定义可判断B正确;连续抛掷一枚硬币次，“(正面，反面)，(反面，正面)”不是同一样本点，故C错误； 抛掷一枚质地均匀的硬币，对于每一次试验，其结果都是随机的，所以抛掷一枚硬币三次有可能出现三次都正面向上，是随机事件，故D错误． 17．（多选）下列说法中正确的是( ) A．对于任意事件，，都有 B．对于事件与其对立事件，有 C．不可能事件与必然事件独立 D．必然事件与任意事件都不独立 【答案】ABD 【详解】等式仅当事件、相互独立时成立，并不适用于任意事件.举反例：掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“掷出点数为2”，事件为“掷出点数为偶数”，则，，，显然，故A错误.首先，事件与其对立事件互斥，因此是不可能事件，故.其次，对任意事件，满足，因此，该式仅当或时取值为0，即此时有；而对于的事件（例如时，），等式不成立，故B错误.若两个事件满足，则称相互独立；由于不可能事件的概率 ，必然事件的概率，且 ， 故，又，所以C正确. 若两个事件满足，则事件相互独立.设为任意事件，为必然事件，则，那么，因此 ，满足独立的条件，所以必然事件与任意事件都相互独立，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版必修二第十章概率概念辨析专项练习 1、（单选）判断下列事件为随机事件的是（ ） A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形 B.长度为2，3，4的三条线段可以构成一直角三角形 C.方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根 D.函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数 2．（多选）下列说法中正确的是( ) A.从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型 B.某同学竞选本班班长成功是随机事件 C.连续抛掷一枚硬币2次，“（正面，反面），（反面，正面）”是同一个样本点 D.甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是 3．（多选）下列说法中错误的是( ) A.事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件 B.设为对立事件，则与一定也为对立事件 C.若事件A，B，C两两互斥，则 D.对任意两事件，都有 4．（多选）下列说法中正确的是( ) A.事件A与B相互独立⇔ B.若事件A与B相互独立，则事件与事件B的关系不确定 C.若事件A与B相互独立，则 D.事件A与B可以相互独立但不互斥 5．（多选）下列说法中错误的是( ) A．若事件彼此互斥，则 B．已知某随机试验中，事件，发生的概率分别是，，则的概率一定等于 C．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于2”，“第二枚出现的点数小于6”，则A与B相互独立 D．若A，B是对立事件，则 6．（多选）下列说法中正确的是( ) A．古典概型中的任何两个样本点都是互斥的 B．观察100粒黄豆发芽的试验是古典概型 C．“在区间（0，5）内任取一点，求此点小于2的概率”是古典概型 D．“从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率”是古典概型 7．（多选）下列说法中错误的是( ) A．用随机模拟试验估计事件的概率时，一般情况下试验次数越多，所得的估计值越接近实际值 B．在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面 C．随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化 D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 8．（多选）下列说法中正确的是( ) A． 分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同 B． “方程有两个实根”是不可能事件 C． “物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件 D．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 9．（多选）下列说法中正确的是( ) A.用计算机进行随机模拟，可以在短时间内多次重复来做实验，应用很广泛 B.用计算器或计算机产生随机数，既能保证操作简单，省时省力，又能保证等可能性 C.随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化 D.用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值 10．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.下列说法中正确的是( ) A.，为对立事件 B. C. D.， 11．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”；“点数为奇数”.下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 12、（多选）下列说法中正确的是( ) A．若A，B相互独立，且，，则A，B都不发生的概率为0.3 B．记，分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，B互斥，那么与一定互斥 C．“抛掷一颗质地均匀的骰子，结果向上的点数是奇数”记为事件A，“抛掷一颗质地均匀的骰子，结果向上的点数大于3”记为事件B，“抛掷一颗质地均匀的骰子，结果向上的点数是不小于4的奇数”记为事件C，则有． D．抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数之和构成的样本空间为1，2，3，…，11，12 13、（多选）下列说法中错误的是( ) A．从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，“3个都是次品”是随机事件 B．“口袋中有大小相同的2个红球，2个白球，每次从中任取一个球，观察颜色后放回，直到取出红球”是古典概型 C．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 D．从甲地到乙地共有n条路线，且这n条路线长短各不相同，某人任选一条路线是古典概型 14、（多选）下列说法中正确的是( ) A．两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生 B．“”是“事件A，B相互独立”的充要条件 C．抛掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能的 D．若是必然事件，则A与B是对立事件 15、（多选）下列说法中正确的是( ) A．必然事件的对立事件是不可能事件 B．不可能事件与任何一个事件相互独立 C．两个事件的和事件是指两个事件都得发生 D．抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件，“第2枚为正面”为事件，则相互独立 16、（多选）下列说法中错误的是( ) A.事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率 B.若，则A，B同时发生或A，B同时不发生 C．连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一样本点 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都正面向上”是不可能事件 17．（多选）下列说法中正确的是( ) A．对于任意事件，，都有 B．对于事件与其对立事件，有 C．不可能事件与必然事件独立 D．必然事件与任意事件都不独立 学科网（北京）股份有限公司 $