精品解析：2026年江苏省无锡市宜兴市二模数学试题

九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔作答． 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解不等式得． 3. 2026年五一假期期间，宜兴阳羡生态旅游度假区接待游客约952000人次，数据952000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图是由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，它的俯视图的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从上往下看得到的平面图形，确定俯视图中正方形的个数即可求出俯视图的面积． 【详解】解：从上往下看，该几何体的俯视图由3个小正方形组成 ∵每个小正方体的棱长为1 ∴每个小正方形的面积为 ∴俯视图的面积为． 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，∴A错误． 选项B：和不是同类项，不能合并，∴B错误． 选项C：，∴C正确． 选项D：，∴D错误． 6. 某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 9，8 C. 9，8.5 D. 9，9 【答案】D 【解析】 【分析】按照定义先求众数，再将数据排序后计算中位数即可． 【详解】解：∵已知数据为8，9，7，9，10，其中数字9出现次数最多，为2次，其余数字均只出现1次， ∴众数为9； 将数据从小到大排列得：7，8，9，9，10，数据共5个，为奇数个，中位数为排序后最中间的第3个数， ∴中位数为9． 7. 圆锥的侧面展开图是一个弧长为的扇形，则这个圆锥底面积的半径是（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据扇形的弧长等于圆锥底面周长，列方程求解． 【详解】解：设底面圆半径为r，则， 解得：． 故选：C． 8. 如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得 米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，结合，得出，可得B正确，根据轴可得电流差为，可判断A错误；根据电流相同时，电阻的差值为，电阻相同时，电流的差值为，都不能用面积表示，可判断C、D错误；综上，即可得答案． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， ∵平行于轴的直线分别交两图象于点，， ∴、两点的电流相等， ∴经过用电器的电流的差值为，故A选项错误，不符合题意， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积表示两款蓄电池的电压的差值，故B选项正确，符合题意， 当用电器的电流相同时，电阻的差值为，不能用面积表示，故C选项错误，不符合题意， 当用电器的电阻相同时，电流的差值为，不能用面积表示，故D选项错误，不符合题意． 10. 已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于直线的对称函数．下列结论： ①和为关于的对称函数； ②和为关于的对称函数； ③若和为关于的对称函数，则、； ④若二次函数和为关于的对称函数，则当时，恒成立． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对称函数的定义，利用中点坐标公式推导得到核心条件：对任意自变量，都有，再逐一验证每个结论即可． 【详解】∵ 点，关于点对称， ∴ 是两点的中点，由中点坐标公式得 ，即对任意，都满足，据此逐一验证： ① ，满足条件，故①正确； ②，不满足条件，故②错误； ③ ， 令 ， 可得， 解得， 故③正确； ④ ， 则 对任意成立， 可得， 解得， 则 ，即 ， 整理得对任意恒成立， 二次函数开口向上， ， 当，，则抛物线与轴无交点，恒成立，即恒成立，故④正确． 综上，①③④正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. ________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 13. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形是_____________边形． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角的性质，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 先求出多边形的每一个外角都是，根据多边形的外角和为求出边数即可． 【详解】解：∵多边形的每个内角都等于， ∴多边形的每个外角都等于， ∴多边形的边数为． 故答案为8． 14. 某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，请你写出一个适合药品保存的温度_________． 【答案】20℃（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正数和负数的定义便可解答． 【详解】解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃-2℃=18℃，最高温度是20℃+2℃=22℃， 即18℃～22℃之间是合适温度． 故答案为20℃． 【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 15. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【解析】 【详解】解：原命题的题设为，结论为， 交换原命题的题设与结论，可得逆命题为：如果，那么． 16. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点，连接，在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，用扇形的面积减去三角形的面积，进行求解即可. 【详解】解：连接，由勾股定理，得，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积. 17. 如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，． 18. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，过点作交于点．如图①，当点是中点时，________；如图②，若把沿翻折得，连接．当时，________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】①过点作，由题意易得，，则有是等腰直角三角形，设，则有，然后进行求解即可；②设与的交点为，由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，进而可分当点在点的右下方时，当点在点的左下方时，最后进行分类求解即可． 【详解】解：①过点作，如图所示： ∵，，，点是中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设与的交点为，如图所示： ∵，，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点的右下方时，分别过点作，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有 ， ∴ ， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴ ； 当点在点的左下方时，分别过点作，如图所示： 同理可得 ， ， ∴ ， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当时，或． 三、解答题（本大题10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程、解不等式组： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：对于方程， 可得，，， 计算判别式：， 代入求根公式得：， 即，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②， 因此不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 21. 如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，，证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据矩形的性质得，，结合（1）的结论可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）该校九年级接受调查的人数为________，并补全条形统计图． （2）计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． （3）若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数，并根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 【答案】（1），作图如下： （2） （3）人； 建议：多组织体育活动和音乐类放松课程，同时开设交流谈心的心理辅导角，帮助学生缓解考前压力． 【解析】 【分析】（1）根据选择“享受美食”的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数，再根据条形统计图中的数据，即可计算出选择“听音乐”的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数；结合数据，围绕学生偏好的减压方式，提出可落地的活动或辅导建议． 【小问1详解】 解：该校九年级接受调查的学生有：（人）， ∴选择“听音乐”的学生有：（人）， 补全的条形统计图略 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数为人；建议略． 23. 一只不透明的袋子中装有标号分别为，，，，的个球，这些球除标号外都相同． （1）从中任意摸出个球，摸到标号为偶数的概率是________； （2）从中任意摸出个球，记录标号后不放回，再从中任意摸出个球，记录标号，求两次摸到的球标号之和为的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算符合条件的事件数与总事件数的比值即可； （2）用树状图列出所有不放回摸球的等可能情况，再找出和为的情况数，最后计算概率． 【小问1详解】 解：从袋中任意摸出个球，共有种情况，其中摸到标号为偶数的情况数为， 故摸到标号为偶数的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 可知共有种等可能的情况，其中标号之和为的情况数有种， 则两次摸到的球标号之和为的概率为． 24. 如图，在中，．用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，求作正方形，使得点，，分别在，，上． （2）在（1）的条件下，若，，则正方形对角线的长为________． 【答案】（1）正方形如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线，分别与、交于点、，连接、； （2）设，根据正方形的性质得，，，证明得，求出，得，再根据勾股定理得，可得答案． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线，分别与、交于点、，连接、，设交于点， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 则四边形即为所作； 【小问2详解】 解：设， ∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 在中，， 即正方形对角线的长为． 25. 如图，在中，以为直径作，点、点在上，过点作的切线交延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，圆周角定理，切线的性质，得到 ， ，即可得证； （2）根据，设 ，勾股定理求出 ，根据，列出方程求出的值，进而求出的长，解直角三角形即可得出结果. 【小问1详解】 解：连接，则， ∵， ∴ ， ∵为直径，为切线， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴设 ，则 ， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 由（1）知：， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴. 26. 背景 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 素材1 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为图2中的线段，． 素材2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．一段时间后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用小时充满电． 问题解决： （1）根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求、关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． （2）根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间． 【答案】（1）关于的函数解析式为，关于的函数解析式为 （2）小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时 【解析】 【分析】（1）观察图像，确定，，，再用待定系数法可得答案；（2）设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时，先结合图像确定分别使用快速充电桩充电的速度及使用慢速充电桩充电的速度，再根据“恰好用小时完成充电”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图像可知：，，， 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 即关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时， 由图像知：使用快速充电桩充电的速度为：；使用慢速充电桩充电的速度为：， 依题意，得：， 解得：， ∴， 答：小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时． 27. 数学探究课上，老师让同学们以“探究正方形纸片折叠问题”为主题开展数学活动． 【操作探索】 如图1，学生按以下步骤进行折纸实验： 步骤一：将正方形纸片对折，使边和边重合，得到折痕，然后将纸片展开铺平； 步骤二：将边沿翻折到的位置，连接并延长，交边于点． 【猜想验证】 （1）根据以上操作，猜想与的数量关系，并说明理由； （2）探索线段与的比值，并说明理由． 【迁移探究】 （3）如图2，有一张正方形纸片，上选一点，然后把正方形纸片沿折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，连接并延长交于点，连接．再过点作，分别交，，于点，，，若，且，求正方形纸片的边长． 【答案】（1），理由见解析 （2）线段与的比值为，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠可知，，再结合正方形的性质证明，即可得出结论； （2）设，正方形的边长为，则，，由折叠可知，则，然后根据勾股定理得出与的关系，从而得出线段与的比值； （3）设正方形的边长为，，证明四边形、为矩形，则，，得 ，然后证明，得到，然后设，则，所以 ，则 ，求出，，根据勾股定理得，即，最后得到 ，求出的值，即得到正方形的边长． 【小问1详解】 解：． 理由：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵将边沿翻折到的位置，连接并延长交边于点， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：线段与的比值为． 理由：设，正方形的边长为， ∴，，， ∵将正方形纸片对折，使边和边重合，得到折痕；将边沿翻折到的位置，连接并延长交边于点， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴ ， ， ∴四边形、为矩形， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵把正方形纸片沿折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，连接并延长交于点， ∴ ，， ∴， ∵， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则 ， ∴ ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ， 在中，，，， ∴，即， ∴ ， ∴， ∴， 将代入 得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为． 28. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（、为常数）的图象经过点，．点是该抛物线上一点（点不在轴上），过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，以为边，以点为对称中心作．设点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； （3）当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用交点式写出函数关系式即可； （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示出点、的坐标，结合平行四边形的中心对称性质，写出点、的坐标；再根据等腰直角三角形的直角边相等，分两种情况列出关于的方程，求解后得到的值，进而计算的长； （3）根据平行四边形的性质，得到线段是平行于轴的线段，纵坐标固定；结合线段与抛物线有两个公共点的条件，找出两个临界情况（点在抛物线上、线段与抛物线的临界位置），列出方程求出临界的值，结合图形位置关系确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线（、为常数）的图象经过点，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为，当时，， ∴抛物线与x轴与y轴交于点， 点在抛物线对称轴右侧，点的横坐标为，且点A不在x轴上， ，且， ， 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，则， ， 四边形是以点为对称中心的平行四边形， 点与点、点与点分别关于原点对称， ，， 被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形， 分两种情况： ① 当在轴上方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时，过点D作延长线于点M，则平行于直线，， ∵点在直线的直线上，且关于原点成中心对称的点为点D， ∴点D在直线的直线上， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， 此时； ② 当在轴下方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时， 同理，，，，，， ∴， 整理得， ， 解得（舍去），， 此时； 综上，的长为或； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴线段平行于轴，纵坐标为， 线段与抛物线恰好有两个公共点，需满足以下临界情况： ① 当与抛物线顶点相切时，此时为上临界值， 此时的纵坐标， 整理得，， 解得，（舍去）； ② 当点刚好在抛物线上时，此时为下临界值， 将代入抛物线解析式：， 整理得，， 解得，（舍去）； 结合图形位置关系，线段与抛物线恰好有两个公共点时，的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔作答． 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年五一假期期间，宜兴阳羡生态旅游度假区接待游客约952000人次，数据952000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图是由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，它的俯视图的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 9，8 C. 9，8.5 D. 9，9 7. 圆锥的侧面展开图是一个弧长为的扇形，则这个圆锥底面积的半径是（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 8. 如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（ ） A. B. C. 12 D. 9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 10. 已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于直线的对称函数．下列结论： ①和为关于的对称函数； ②和为关于的对称函数； ③若和为关于的对称函数，则、； ④若二次函数和为关于的对称函数，则当时，恒成立． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. ________． 12. 因式分解：_____． 13. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形是_____________边形． 14. 某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，请你写出一个适合药品保存的温度_________． 15. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 16. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点，连接，在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是________． 17. 如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 18. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，过点作交于点．如图①，当点是中点时，________；如图②，若把沿翻折得，连接．当时，________． 三、解答题（本大题10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程、解不等式组： （1） （2） 20. 先化简，再求值．，其中． 21. 如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且． （1）求证：． （2）求证：． 22. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）该校九年级接受调查的人数为________，并补全条形统计图． （2）计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． （3）若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数，并根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 23. 一只不透明的袋子中装有标号分别为，，，，的个球，这些球除标号外都相同． （1）从中任意摸出个球，摸到标号为偶数的概率是________； （2）从中任意摸出个球，记录标号后不放回，再从中任意摸出个球，记录标号，求两次摸到的球标号之和为的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 24. 如图，在中，．用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，求作正方形，使得点，，分别在，，上． （2）在（1）的条件下，若，，则正方形对角线的长为________． 25. 如图，在中，以为直径作，点、点在上，过点作的切线交延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 背景 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 素材1 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为图2中的线段，． 素材2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．一段时间后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用小时充满电． 问题解决： （1）根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求、关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． （2）根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间． 27. 数学探究课上，老师让同学们以“探究正方形纸片折叠问题”为主题开展数学活动． 【操作探索】 如图1，学生按以下步骤进行折纸实验： 步骤一：将正方形纸片对折，使边和边重合，得到折痕，然后将纸片展开铺平； 步骤二：将边沿翻折到的位置，连接并延长，交边于点． 【猜想验证】 （1）根据以上操作，猜想与的数量关系，并说明理由； （2）探索线段与的比值，并说明理由． 【迁移探究】 （3）如图2，有一张正方形纸片，上选一点，然后把正方形纸片沿折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，连接并延长交于点，连接．再过点作，分别交，，于点，，，若，且，求正方形纸片的边长． 28. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（、为常数）的图象经过点，．点是该抛物线上一点（点不在轴上），过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，以为边，以点为对称中心作．设点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； （3）当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $