考前专项复习2 勾股定理-【期末考前示范卷】2025-2026学年八年级下册数学(人教版·新教材)

2.解：(1)①4-42 =22. √2√2x√2 ②4= 4×(V5+1) =5+1. w5-1(W5-1)×(5+1) ③1 3+√5 3+√5 3-/5(3-5)x(3+5)4 (2)2+3【解析】2-√3的倒数为1 2-√3 2+√3 =2+√3. (2-√3)×(2+3) (3)(1+1 +1 1 +…+ 2+W1√3+W24+W3√2027+√2026 (√2027+1) =(2-√1+√5-√2+√4-√5+…+√2027-√2026)× (√2027+1) =(√2027-1)×（√2027+1）=2026. 考前专项复习二 勾股定理 1.C2.D3.B4.A5.B 6.D【解析】当12是斜边时，它的斜边长为12；当12是 直角边时，它的斜边长为√/12+52=13.故它的斜边长 为12或13. 7.C【解析】(c+b)(c-b)=a2,整理，得a2+b2=c2.能判 定△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；由 ∠A+∠B=∠C,可知∠C=90°，能判定△ABC是直角三 角形，故B选项不符合题意；a=32,b=42,c=52,则a2+ b2≠c2,不能判定△ABC是直角三角形，故C选项符合 题意；当a:b:c=5:12:13时，有a2+b2=c2,能判定 △ABC是直角三角形，故D选项不符合题意. 8.D【解析】A.大正方形的面积为c2,大正方形也可看 作是4个直角三角形和1个小正方形组成，其面积也 可表示为bx4+(-@)2=心+，u+6=心.故能证 明勾股定理；B.大正方形的面积为(a+b)2,大正方形 也可看作是4个直角三角形和1个小正方形组成，其 面报也可表示为7abx4e2=2ab+c,(a+6)2=2n+ c2,即a2+b2=c2.故能证明勾股定理；C.梯形的面积为 (a+6)(a+6)=(e+5)+a,标形电可看作灵2个 直角三角形和1个等腰直角三角形组成，其面积也可 表东为2r=a+a+-(e4i) +ab,即a2+b2=c2.故能证明勾股定理；D.大正方形的 面积为(a+b)2,大正方形也可看作是2个小长方形和 2个小正方形组成，其面积也可表示为a2+b2+2ab, 2 .（a+b)2=a2+b2+2ab.故不能证明勾股定理. 9.A【解析】由题图可知，AB=√12+12=√2，AC= √22+22=22，BC=√32+1=√/10.(V2)2+(2W2)2= （√I0)2,.AB2+AC=BC2..△ABC是直角三角形， 1 且∠BAC=90.S△ac=2AB·AC=2.六△ABC中 BC边上的高为2x2_2√10 w1051 10.D【解析】如图1，过点A作AH⊥BC于点H.:点A 到BC的距离为3cm,∴.AH=3cm.在Rt△AHB中，由 勾股定理，得BH=√AB2-A=√52-32=4(cm).分 两种情况：①当∠APB=90°时，点P与点H重合， ∴.2t=4.解得t=2;②如图2，当∠BAP=90°时，AB= 5 cm,BP=2t cm,AH=3 cm,BH=4 cm,..HP=(2t- 4)cm..由勾股定理，得Ap2=BP2-AB2=(2t)2-25, Ap2=AH+HP2=32+(2t-4)2.∴.（2t)2-25=32+(2t- 4解得：-营上，喜：的值为2k空时，△即是 直角三角形 H P 图1 图2 11.1712.直角三角形13.3.25 14.48【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为 a,短直角边为b,则S1=(a+b)2,S2=42=16,S3=(a- b)2,且a2+b2=EF2=16,∴.S1+S2+S3=(a+b)2+16+ (a-b)2=2(a2+b2)+16=2×16+16=48. 15.√2028【解析】△0AA1是直角三角形，0A=1, AM1=1,.0A1=√12+12=√2.△0A1A2是直角三角 形，A1A2=1,0A1=√2，.0A2=√2+1=√3.以此类 推，得0A22=√2027+1=√2028. 16.10【解析】如图，将杯子侧面展开，作 点B关于EF的对称点B',作B'D⊥AE, 交AE的延长线于点D,连接AB'交EF 于点G 由题意，得DE=2B=1cm,AB=9-4=5(cm, ∴.AD=DE+AE=6cm.底面周长为16cm,∴.B'D= 2×16=8(cm).AB=VB'DP+MD=√8+6= 10(cm).由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处 到内壁A处所走的最短路程为10cm. 17.解：(1)在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中线， .AD BC.:BD=CD=2BC2X16=8. ● 在Rt△ABD中，AB=17,AD+BD2=AB2, .AD=√AB2-BD2=√J172-82=15. (2).·BC=16,AD=15, 1 Saac=2BC,AD=2×16x15=120, 18.解：(1)如图1，点A表示的数为√26. A上 -3-2-10123486 图1 (2)如图2，△ABC即为所求作（答案不唯一）. 4 图2 19.证明：如图，连接BD,过点B作BF⊥DE, 交DE的延长线于点F,则BF=b-a. 16 ，1 ·S四边形ED=Sa4ae+SaM0EF2b+2ab, S四边形ABED=S△ABD+S△BDE=2C +2a(6-a), 1 、12+ab=1、 2 ab= a(6-a).a2+h2=c2. 20.解：(1)∠ACB=90°，BC=12,AB=13, .AC=√AB2-BC=√132-122=5. (2)△ACD是直角三角形.理由如下： CD=3,AD=4,AC=5,.AD2+CD2=25=AC2 ∴.△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°， (3)55G-ACD 1 =7×5x12号x4x3=30-6=24 所以图中阴影部分土地的面积为24. 21.解：(1)CH是从村庄C到河边最近的路.理由如下： C+BH=1.62+1.22=4,BC2=4,∴.C+B㎡=BC2. ∴.△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°. .CH⊥AB. .CH是从村庄C到河边最近的路. （2)设AB=AC=x千米，则AH=(x-1.2)千米， .·∠AHC=90°， .AC2=A+C,即x2=(x-1.2)2+1.62. 5 解得x=3 答：原来的路线AC的长为千米 22.解：(1)S1+S2=S3 (2)成立.理由如下： 设BC=a,AC=b,AB=c, 则s(广g8(5)广- 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，.a2+b2=c2. 3,=mc2-ma2m 888 -=S1+S2: (3)根据(2)的结论，两个分别以直角三角形的直角 边为直径的半圆的面积和等于以斜边为直径的半圆 的面积， .S阴影=S1+S2+S△ABc-S3=S△MBC=5×12÷2=30. 考前专项复习三 四边形 1.C2.B3.B4.B5.D6.C7.D 8.A【解析】在正方形ABCD中，AD= AB,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90° 如图，将△ADF绕，点A顺时针旋转 90°，得到△ABG,则AF=AG,GB它 ∠DAF=∠BAG.:∠EAF=45°，∴.∠BAE+LDAF= 45°..∠EAG=∠EAF=45°.在△EAG和△EAF中， AG=AF, ∠EAG=∠EAF,∴.△EAG≌△EAF(SAS). AE=AE, .∠AEF=∠AEG.∠BAE=,∴.∠AEB=90°-a. .∠AEF=∠AEB=90°-a..∠FEC=180°-∠AEF- ∠AEB=180°-2×(90°-x)=2a. 9.C【解析】如图，连接AE,CF,CG, AC.四边形DEFG是正方形， ∴.∠EDG=90°，EF=DE=DG.,四边 形ABCD是正方形，.AD=CD,B LADC=90°.∠ADE=∠CDG..△ADE≌△CDG(SAS). ∴.AE=CG.∴d1+d2+d3=EF+CF+AE..当点A,E,F,C 在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小 .d1+d2+d3的最小值为AC的长.在Rt△ABC中，AC= √AB2+BC2=22,d1+d2+d3的最小值为22. 10.D【解析】根据题意，得DP=t, A←PGHD BM=t..AD=10,BC=8,..AP= 10-t,CM=8-t.当四边形ABMP是 矩形时，AP=BM,即10-t=t,解得 t=5.故A选项不符合题意；当四边形CDPM是平行 四边形时，DP=CM,即t=8-t,解得t=4.故B选项不 符合题意；当CD=MP时，分两种情况：①四边形 CDPM是平行四边形，此时CM=DP,即8-t=t,解得 t=4;②四边形CDPM是等腰梯形，如图，过，点M作考前专项复习二 勾股定理 一、选择题 1.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C,测得AC=30, ∠A=45°，∠C=90°，如图，据此可求得A,B之间的距离为 A.20√3 B.60 C.302 D.30 B -3-2-1023→ 第1题图 第2题图 第3题图 第5题图 2.如图，△OAB的顶点0的坐标为(0,0)，顶点A,B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6,OA= OB=5,则点A的坐标为 （) A.(5,4) B.（3,4) C.(5,3) D.（4,3) 3.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A,B,C,D的面积分别为6,13,4,2，则最大的正方形E的面积为 ( A.5 B.25 C.86 D.225 4.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c被称为勾股数.下列各组数是勾股数的是 （) A.7,24,25 B.32,42,52 C.1.5,2,2.5 D.3,4,7 5.如图，长方形ABCD的边AD=2,AB=1,点A在数轴上对应的数是-1，以点A为圆心，对角线AC的长 为半径画弧，交数轴于点E,则点E表示的数是 A.5+1 B.W5-1 C.5 D.1-√5 6.若直角三角形的两边长分别为5和12，则它的斜边长为 A.13 B.13或√119 C.√119 D.12或13 7.在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是 A.(c+b)(c-b)=a2 B.∠A+∠B=∠C C.a=32,b=42,c=52 D.a:b:c=5:12:13 8.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 A B D 9.如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可 得到△ABC,则△ABC中BC边上的高为 ( 、2√10 3√/10 A.1 B.√2 D. 5 C.22 5 —5 10.如图，A是射线BC外一点，连接AB,若AB=5cm,点A到BC的距离为3cm,动点P从点B出发沿射 线BC以2cm/s的速度运动.设运动的时间为ts,当t的值为 时，△ABP是直角三角形 () C 4 C.2或4 5 D.2或25 二、填空题 11.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD 交于点O.若AD=1,BC=4,则AB2+CD2= D --B ⊙ E 图1 图2 第11题图 第13题图 第14题图 12.已知a,b,c是三角形的三边长，且满足(a-12)2+b-5+1c-131=0,则该三角形是 13.我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离 地的垂直高度BE=0.5m,将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m),踏板离地的垂直高度 CF=2.5m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长为 m. 14.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了 一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角 三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S.若正方 形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3= 15.课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以画出长为2，√3，√5，…的线段（如图所示）.”即OA=1, 过点A作AA1⊥OA且AA1=1,根据勾股定理，得OA1=√2；再过点A1作A1A2⊥OA1且A1A2=1,得 0A2=√3；…以此类推，得0A227= A21 13 第15题图 第16题图 16.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜， 此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1c,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到 内壁A处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计) —6 三、解答题 17.如图，在△ABC中，AB=AC,AB=17,BC=16.求： (1)BC边上的中线AD的长； (2)△ABC的面积. 18.（1)在如图1所示的数轴上作出表示√26的点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，以AB为一边，画一个边长均为无理数的直 角三角形.（说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点) 32101234为6 B 图1 图2 19.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地 发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小明利用图 1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠BAD=90°，求证：a+ 62=c2 证明：如图1，连接BD,过点D作BC边上的高DF,则DF=CE=b-a,CF=DE=b. y5agaa=5aw5ae-+分动，8ame=5saw5aw7+分 1 +2a(6-a), 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠BAD=90°，求证：a2+b2=c2. C a B C a B 图1 图2 一7 20.如图，把一块直角三角形ABC(其中∠ACB=90°)土地划出一个△ACD后，测得CD=3,AD=4,BC= 12,AB=13. (1)根据条件，求AC的长； (2)判断△ACD的形状，并说明理由； (3)求图中阴影部分土地的面积. 21.如图，在一条河的北侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,因规划建设，点C到点A 段暂时封闭施工，为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在一条直线上)，并修 一条路CH,测得BC=2千米，CH=1.6千米，BH=1.2千米 (1)请判断CH是否为从村庄C到河边最近的路？并说明理由； (2)求原来的路线AC的长， H B 22.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从 而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法 进行直观推导和解释 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边为边向外作的正方形 的面积分别为S1,S2,S3,请直接写出S1,S2,S3之间存在的等量关系为 (2)如图2，如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆，那么(1)中的结论是否成立？请说 明理由； (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三边长分别为5,12,13，分别以它的三边长为直径向上作半 圆，求图3中阴影部分的面积 S 12 13 图1 图2 图3 —8—