10 2026年山东省青岛市八年级下学期考前示范卷(二)-【期末考前示范卷】2025-2026学年八年级下册数学(北师大版·新教材)青岛专版

2026年青岛市八年级第二学期考前示范卷（二） （时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1.2025年12月10日，汇聚了全球71个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在 长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能 技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道。以下是4款国产新能源汽车标志，其中既是轴 对称图形，又是中心对称图形的是 拟 2.若a>b,则下列式子不一定成立的是 A.a+4>b+4 B.2a>2b C.ac2>bc2 D.a b c2+1c2+1 3.商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形。若只选购其中某一种 地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是 ( A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 4.下列分式中，最简分式是 ( ) 6 .bc B.a+2 C.a a2-4 …5-a D.atb a2+ab 5.如图，在锐角三角形ABC中，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E,若AD=CD,AC=2AE,则∠ADE和 ∠B的数量关系是 A.∠ADE=∠B B.∠ADE+2∠B=180° C.2∠ADE-∠B=90° D.3∠ADE-/B=90° 第5题图 第7题图 6.已知多项式x4+1+m,若该多项式不能因式分解，则整式m可以为 A.2x2 B.17 C.-2x2 D.-17 7.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点0作OE⊥AC交AD于点E,连接CE。若AE=4, DE=3,CD=5,则AC的长为 () A.6 B.8 C.42 D.52 8若关于x的方程+m+2m=2的解为正数，则m的取值范围是 ( ±x-3'3-x A.m<6 B.m<6且m≠3 C.m>3 D.m>6 9.如图，在△ABC中，AC=BC,∠B=30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且 r,有下列结论：①LPMD+LPC=30,2△PHE为等边三角形：③0P=C,CP,④S S△ABc。其中正确的是 () A.①②③④ B.①② C.①②④ D.③④ 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 10.若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为 11.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的内角和为 2如果把分式，中的x,y都扩大10倍，那么分式的值 13.如图，△ABC与△DEF是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B,C,D,F在同一条直线上，点C 与点D重合，其中BC=3cm,AB=4cm,AC=5cm。将△ABC沿射线BF方向平移到△AB,C,的位 置，连接C1E,若C1F=2cm,则△CEC,的面积为 cm2。 073 C(D Y=hx+b 第13题图 第14题图 第15题图 14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①关于x的方程kx-x=a-b的解是 x=3;②函数y=ax+k不经过第一象限；③关于x的不等式x+b<x+a的解集是x>3。其中正确的 是 (填序号)。 15.如图，在△ABC中，AD为边BC上的高线，CE为边AB上的中线，AD,CE交于点F,连接BF,则下 列结论正确的是 (填序号)。 ①若AC=BC,则BF⊥AC;②若AB=BC,则∠ABF=∠CBF;③若AB=AC,则SABEF=S△BDF;④若AF= BF=CF,则DF=EF。 三、作图题（满分4分） 16.快递服务让我们的生活更加便捷。为了更高效地服务于客户，某快递公司计划新修建一个快递 中转站(P)。如图所示，为了取送方便，要求该快递中转站到AB,AC两条公路的距离相等，且到 E,D两个小区的距离相等。请用尺规作图法，求作该快递中转站P的位置。（保留作图痕迹，不 写作法) B E D 四、解答题（共9小题，满分71分） 17.(9分)计算： (1)解不等式组： 3-1, 2(x-1)+3≥3x; (2)因式分解：x3y-2x2y2+y3; x3 (3)解分式方程：x12x-22。 1&(4分》)先化简，再求值。号其中a为满足-2≤0≤1俗整致。 -19- 19.(5分)反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一 个内角小于或等于60°”。（提示：先根据题意写出已知、求证，再给予证明) 已知： 求证： 证明： B 20.(7分)在校园科技节密码设计活动中，某班设计了一种基于因式分解的文件加密方式，操作步 骤：①选取能分解成三个因式的多项式，并因式分解；②对每个字母赋值，使得三个因式的值均为 小于100的自然数，记所得的自然数为对应因式的因式码；③将三个因式码按从小到大的顺序排 列（仅有一位的因式码前面补0变为两位），形成六位数字密码。 例如：选取多项式16a-b4,因式分解得到(4a2+b2)(2a+b)(2a-b),取a=4,b=5时，4a2+b2=89, 2a+b=13,2a-b=3,三个因式码分别为89,13,3。将这三个因式码按从小到大的顺序排列并补位 后，得到六位数字密码031389。 （1)依据该加密方式，对文件I加密时，选取多项式x4-y,取x=9,y=4,求形成的六位数字密码； (2)依据该加密方式，对文件Ⅱ加密时，选取多项式4x-y2,形成的六位数字密码的前四位为 0410。若x,y分别表示文件Ⅱ被加密时的月份和日期，求x,y的值。 21.(8分)如图1，在△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2。先将△ACB绕点A逆时针旋转90°，得到 △ADE,再将△ADE沿射线ED的方向平移，使点D落在线段BC上的点F处，得到△CFG,如 图2。 （1)在图1中，直线DE与BC有怎样的位置关系？请说明理由； (2)在图2中，求BF的长。 图1 图2 —20— 22.（8分)综合与实践： 【问题情境】 某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去某商店购买A,B两种魔方。 【素材展现】 素材1：该商店无促销活动时，若购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔 方所需费用和购买4个B种魔方所需费用相同。 素材2：该商店开展促销活动： 活动一“疯狂打折”：A种魔方八折，B种魔方四折； 活动二“买一送一”：购买一个A种魔方送一个B种魔方。 【解决问题】 (1)该商店无促销活动时，A,B这两种魔方的销售单价分别为多少元？ 【拓展提升】 (2)结合同学们的需求，社团决定购买A,B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）。设购 买A种魔方m个，按活动一购买需费用为 元；按活动二购买所需费用为 元 (均用含m的代数式表示)。 【综合应用】 (3)请你算一算，在(2)的条件下，购买A种魔方的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 23.(8分)如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB,E是AC的中点，连接DE并延长交线段AB于点F,连 接AD,CF。 (1)求证：四边形AFCD是平行四边形； (2)若AB=4,∠BAC=60°，∠BCD=135°，求AC的长。 24.(10分)中国科技发展日新月异，有些电子产品会随着科技发展而降价。某电脑经销店开始销售 A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润 为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同。 (1)求A款电脑每台的进价； (2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销 店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进这两款电脑共25台。如果这两款电脑 的进价不变，第三季度A款电脑的售价为06万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使 第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润为多少？ 都 25.(12分)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片ABC和DEC(△ABC≌△DEC)完全重合 放置，固定一个顶点C,然后将三角形纸片CDE绕点C顺时针旋转aα(0°<α<180°)，进一步探究图 形旋转的性质。 【初步感知】 (1)如图1，将当点E恰好落在线段AB上时，∠ABC=58°，则α的度数为 图1 【特例探究】 (2)如图2，三角形纸片ABC是等腰三角形，AB=AC,在三角形纸片CDE绕点C顺时针旋转过程 中，当点E恰好落在线段AB上时，连接AD,求证：四边形ABCD是平行四边形； 图2 【拓展延伸】 (3)如图3，三角形纸片ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AK=BK=CK,在三角形纸片CDE绕点C 顺时针旋转过程中，点E恰好落在BK的延长线上，连接AD交BK的延长线于点M。 ①小舞同学通过连接CM发现四边形ABCM是平行四边形，小矢同学发现M是AD的中点， 请你选择一个同学发现的结论进行证明； ②如图4，小怡同学延长DE交AB于点N,若AD=6,AB=4,直接写出BN的长。 D 图3 图4∴.p-2=-m,-2p=n,解得m=2-p,n=-2po 4m42-p242 2m2--1 =242p×22p=24=16。 229 25.(1)证明：由旋转的性质可知，AB=AD。 ·.·AB⊥AC,AE⊥AD ∴.∠BAC=90°，∠DAE=90°。 [BC=DE, 在Rt△ABC和Rt△ADE中， AB=AD, ∴.Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)。 (2)证明：'AD=BD=CD, ∴.∠BAD=∠ABD,点D在线段AC的垂直 平分线上。 .·Rt△ABC≌Rt△ADE,∴.∠ADE=∠ABC。 ,·∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠ABD, .∠BAD=∠ABC=∠ADE=∠CDE。 又AD=CD,DE=DE, ∴.△ADE≌△CDE(SAS)。∴.AE=CE。 ∴.点E在线段AC的垂直平分线上。 ∴.DE垂直平分AC。 (3)解：AB=AD,.∠ABD=∠ADB。 ·.·Rt△ABC≌Rt△ADE ∴.AE=AC。∴.∠AEC=∠ACE。 .·∠BAC=∠DAE=9O°，∴.∠BAD=∠CAE。 ∴.∠ABD=∠ACE ∴.∠DCE=LACB+LACE=∠ACB+∠ABC=9OP。 在Rt△DCE中，DE=BC=BD+CD=5, 由勾股定理，得CE=√DE2-CD=2√6。 (4)解：如图，当点D 与点C重合时，CE与 DE重合，此时CE取最 大值，AD=AC=6。 C(D ,AE=AC=6,∠DAE=∠BAC=90°， ∴.CE=√AC2+AE2=6√2，即CE的最大值 为6√2。 2 2026年青岛市八年级第二学期考前示范卷（二）】 1.B2.C3.C4.C5.D6.B7.C8.B 9.A【解析】如图，连接BP。 ,AC=BC,∠ABC=30°，D为AB的中点， ∴.∠BAC=∠ABC=30°，AD=BD,CD⊥AB, ∠ACD=∠BCD=60°。 ∴.CD是AB的垂直平分线。.AP=BP。 ,AP=EP,∴AP=BP=EP。 ∴.∠PAB=∠PBA,∠PEB=∠PBE .∴.∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBE=∠ABC=3O°。 故①正确； 设AC,EP交于点O。 ,∠BAC=∠ABC,∠PAB=∠PBA, .∴.∠CAP=∠CBP=∠CEP 又.∠AOP=∠E0C, ∴.∠APE=∠ACE=180°-∠ACB=180°-2× 60°=60°。 又AP=EP,.△PAE是等边三角形。 故②正确； 作点P关于AB的对称点P',连接 AP',DP', 则AP=AP',DP=DP',PP'⊥AB,∠PAD= ∠P'AD。 CD⊥AB,.C,P,D,P'四点共线。 ,△PAE是等边三角形， ∴.∠PAE=60°，AE=AP。∴.AE=AP'。 ,∠BAC=∠PAC+∠PAD=30°， .∴.2∠PAC+2∠PAD=60°。 .∴.∠PAC+∠PAD+∠P'AD=60°-∠PAC。 .∠P'AC=∠EAC。 ,AC=AC,∴.△P'AC兰△EAC(SAS)。 .CE=CP'=CP+DP+DP'=CP+2DP. .DP=CE-CP 2。故③正确； 过，点A作AF⊥BC于，点F,在BC上截取CG =CP,连接GP。 ,'∠BCD=60°，，△CPG是等边三角形。 ∴.∠PGC=60°。∴.∠ECP=∠BGP=120°。 又.EP=BP,∠PEB=∠PBE。 ∴.△PCE≌△PGB(AAS)。.CE=GB。 ∴.AC=BC=BG+CG=CE+CP。 :∠ABC=30°，AF⊥BF,.AF=2AB=AD。 Sa线8=2CB·A4 1 2CP·AD =分cE+0P)·AF=C·AF=Sum 故④正确。 10.41.1260°12.不变13.18或42 5或 14.①②③ 15.①③④【解析】：CE为边AB上的中线， AC=BC,∴.CE⊥AB。 AD为边BC上的高线，AD,CE交于 点F, .BF⊥AC。故①正确； AD为边BC上的高线，CE为边AB上的中 线，AB=BC,无法得到，点F的位置， 即无法得到∠ABF与∠CBF的关系。 故②错误； .·AD为边BC上的高线，AB=AC, ∴.AD为边BC上的中线。 1 A=7AANCD=COF .CE为边AB上的中线， 1 SacF2SMc,Saer=S△Me0SaMm=SAsa ∴.S△ABD-Sg边形BDPE=S△BCE-Sg边形BDFE) 3 即S AAEF=S△cDP0∴.S△BER=S△BDFO 故③正确； AF=BF=CF, ∴.，点F是△ABC的三条边的垂直平分线 的交点。 ∴.BD=CD,CE⊥AB。 .AD为边BC上的高线，CE为边AB上的 中线， ∴.AB=AC,AC=BC,即AB=AC=BC。 .△ABC是等边三角形。 .,点F是△ABC的三条角平分线的交点。 ∴.BF是△ABC的角平分线。∴.DF=EF。 故④正确。 16.解：如图，点P即为所求。 17.解：(1) 2(x-1)+3≥3x。② 解不等式①，得x>-3。 解不等式②，得x≤1。 ∴.原不等式组的解集为-3<x≤1。 (2)原式=y(x2-2xy+y2)=y(x-y)2。 (3)方程两边同乘2(x-1),得2x=3+4(x-1)。 去括号，得2x=3+4x-4。 移项，得2x-4x=3-4。 合并同类项，得-2x=-1。 系数化为1，得x=2 经检验4=是原分式方程的解。 故原方程的解为x=2。 18.解：原式= a+21）:（a+1)(a-1) a+2a+2 a+2 a+1 a+2 1 a+2(a+1)(a-1)a-1 .'a≠±1且a≠-2， ∴.在-2≤a≤1中符合条件的整数只有0。 当a=0时，原式=-1。 19.解：已知：△ABC,∠A,∠B,∠C为其三个 内角。 求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个小于或 等于60°。 证明：假设△ABC的三个内角都大于60°， 即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°。 于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。 这与三角形内角和定理相矛盾，因此，假 设不成立。所以，三角形三个内角中，至 少有一个内角小于或等于60°。 20.解：（1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)。 当x=9,y=4时，x2+y2=97,x+y=13,xy=5。 ∴.形成的六位数字密码是051397。 (2)4x3-xy2=x(2x+y）(2x-y）。 由题意知，x,y都是正整数， ∴.2x+y>x,2x+y>2x-y,即2x+y的值最大。 当/4， 时，解得=4， 12x-y=10 y=-2, 不符合实际意义，舍去； 当/10， x=10, 2x-y=4 时，解得 y=16。 ∴.x,y的值分别为10,16。 21.解：(1)直线DE⊥BC。理由如下： :将△ACB绕点A逆时针旋转90°，得 到△ADE, ∴.∠CAD=90°，∠D=∠C=90°。 ∴.DE⊥AD,∠CAD+∠C=180°。 3 ∴.AD∥BC。∴.直线DE⊥BC。 (2).∠C=90°，∠B=30°，AC=2, .AB=2AC=4,BC=√AB2-AC2=23。 由旋转，得AD=AC=2。由平移，得CF=AD=2。 .BF=BC-CF=2√3-2。 22.解：(1)设A种魔方的销售单价为x元，B 种魔方的销售单价为y元。 2x+6y=130, x=20, 根据题意，得 解得 3x=4yo y=15。 答：A,B这两种魔方的销售单价分别为20 元、15元。 (2)(10m+600)(-10m+1500) 【解析】按活动一购买所需费用为0.8× 20m+0.4×15(100-m)=(10m+600)元； 按活动二购买所需费用为20m+15(100-m-m) =(-10m+1500)元。 (3)当10m+600>-10m+1500时，解得m>45。 .0<m≤50，∴.45<m≤50。 答：当45<m≤50时，活动二更实惠。 23.(1)证明：E是AC的中点，∴.AE=CE。 .CD∥AB,∴.∠AFE=∠CDE。 r∠AFE=∠CDE, 在△AEF和△CED中，{∠AEF=∠CED, LAE=CE, ∴.△AEF≌△CED(AAS)。∴.AF=CD。 :AF∥CD, ∴.四边形AFCD是平行四边形。 (2)解：如图，过点C作CM⊥AB于点M, 则∠CMB=∠CMA=90°。 ,CD∥AB,.∠B=180°-∠BCD=45°。 ∴.△BCM是等腰直角三角形。∴.BM=CM。 .∠BAC=60°，∴.∠ACM=30°。 .AC=2AM,BM=CM=/AC-AM=√5AM。 .'AM+BM=AB,∴.AM+√3AM=4, 解得AM=23-2。·.AC=2AM=4√3-4。 24.解：(1)设A款电脑每台的进价为x万元 43 根据题意，得0.65xa6x解得x=0.45。 经检验，x=0.45是原分式方程的解，且符 合题意。 答：A款电脑每台的进价为0.45万元。 (2)设购进y台A款电脑，则购进(25-y)台 B款电脑。 0.45y+0.3(25-y)≥9， 根据题意，得 0.45y+0.3(25-y)≤10。 解得10≤ys16 0 设第三季度所获利润为w万元， 则0=(0.6-0.45)y+(0.5-0.3)(25-y)= -0.05y+5。 .-0.05<0,∴.w随着y的增大而减小。 ∴.当y=10时，w最大，最大值为-0.05×10+ 5=4.5,此时25-y=25-10=15。 ∴.应选择购进10台A款电脑，15台B款 电脑的进货方案，最大利润为4.5万元。 25.(1)64°【解析】.△ABC≌△DEC, ∴.BC=EC。∴.∠BEC=∠ABC=58°。 ∴.∠BCE=180°-2LABC=64°。 由旋转的性质可知，a=∠BCE=64°。 (2)证明：由旋转的性质可知，BC=EC, AC=DC=AB,∠BCE=∠ACD=O ∴.∠ABC=∠BEC=∠ACB。 ,·∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠ABC+ ∠BEC+∠BCE=180°， ∴.∠BAC=∠BCE=∠ACD。 ∴.AB∥CD。∴.四边形ABCD是平行四边形。 3 (3)解：①选择小舞同 学的结论。证明如下： 如图，连接CM。 由旋转的性质可知，BC=EC,AC=DC, ∠BCE=∠ACD=, ∴.∠CBE=∠CEB,∠CAD=∠CDA。 .∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，∠CAD+ ∠CDA+∠ACD=180°，∴.∠CBE=∠CAD。 .BK=CK,∴.∠ACB=∠CBE=∠CAD。 ∴.AD∥BC。 r∠AKM=∠CKB, 在△AKM与△CKB中，AK=CK, L∠KAM=∠KCB, ∴.△AKM≌△CKB(ASA)。∴.AM=CB。 .AD∥BC, ∴.四边形ABCM是平行四边形。 选择小矢同学的结论。证明如下： 同理可证四边形ABCM是平行四边形。 .·∠ABC=90°，∴.∠AMC=90°，即CM⊥AD。 AC=CD,.AM=DM-2AD, 即M是AD的中点。 ②由@知，AM=DM=2AD=3,∠BMM=s0, ∠CBE=∠CEB。 由旋转的性质可知，DE=AB=4,∠DEC= ∠ABC=90°，∴.∠CEN=90°。 ∴.∠CEB+∠BEN=90°=∠CBE+∠EBN, ∴.∠BEN=∠EBN。.BN=EN。 设BN=EN=x,则AN=4-x,DN=4+x。 在Rt△ADN中，由勾股定理，得AD+AN2=DN2, 即64P-(4得}即N}。 )