【天壹试题】2025-2026学年高一5月校内检测 数学

高一5月校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合A={xx2-5x+4>0},B={x∈Z√Jx<3},则A∩B= A.{2,3} B.{0,5,6,7,8} C.{5,6,7,8} D.{0,2,3} 2.下列关于平面向量描述正确的是 A.若|a<|b,则a<b B若a为非零向量，则日与a的方向相同 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若a·b>0,则向量a与b的夹角为锐角 3.若空间中三条不同的直线a,b,c满足a∥b,a⊥c,则直线b与c A.可能平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.一定垂直 [x2+3x-18,x≥4 4.已知函数f(x)= ,则f(-1)= f(x+2),x<4 A.22 B.0 C.-14 D.64 5.已知函数f(x)=x+2x一2的零点在区间(n,n+1)内，且n∈Z,则n的值为 A.-1 B.2 C.1 D.0 6.若圆台的高是2√3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大 小为60°，则这个圆台的侧面积是 A.9√3π B.8√3π C.24π D.27π 7.若tane+看) tana+若） =4,则cos(2a-否）- A司 c D 【高一数学第1页（共4页）】 8.太行山在河南的最高峰一济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一 年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为 a,沿倾斜角为B的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P 的仰角为y,若a=45°，3=30°，y=75°，a=2000m,则山高|PQ为 (图中的点A,B,P,C,Q均在同一个铅直平面内) A.1000m B.2000√2m C.2000m D.1000√2m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数之=(m2一7m+12)+(m2一m一6)i,其中m∈R,则 A.若之∈R,则m=3或m=一2 B.若之=6一6i,则m=1 C.当m=3或m=4时，复数之为纯虚数 D.在复平面内，复数之对应的点在直线y=x上，则m=3 10.已知a,b,c,d∈R,则下列命题正确的是 A.若ca0,>0则吉 d B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若a<b<0,则名<号 D.若a>b,日右则a>0,0 11.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面 是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱 锥称为“鳖臑”.在鳖臑P-ABC中，PA⊥AB,AB=√2，其外接球的表面积为16π，当此 鳖嚅的体积V最大时，下列结论正确的是 A.PA=BC=2/2 B.此鳖臑的体积V的最大值为 6 C.直线PC与平面PAB所成角的余弦值为 D.三棱锥P-ABC的内切球的半径为4匠 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在复平面内，复数之对应的点为(2,1)，则泛十1= 13.e3+27+1am+lg72lg5= 14.已知三棱锥P-ABC,PA⊥AB,PA⊥BC,∠BAC=30°，BC=2,PA=2√3，则三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 如图（图中单位：c)是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的 圆柱.（参考数据：π≈3） (1)已知铁的密度为7.8g/cm3,求生产一件这样的铸铁零件需要多少 克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平 方厘米要用油漆0.12g,求总共需要用油漆多少千克. 16.(本小题满分15分) 设函数f(x)=2/5sin受十rcos z-+(sinx-cosx)2-l. (1)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (2)求f代)在[危，]上的最值。 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，CA+CB=2CD,DE+2CE=0,AB=a,AC=b. (1)用a,b表示AE; (2)若|AE1=10,AE⊥CB,求AE·(BD-BC). 【高一数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=90,∠BAC=∠DAC=S,AC=AB·AD,PA ⊥平面ABCD,E,F分别为PD,PC的中点，PA=2AB. (1)求证：平面BPC⊥平面AEF; (2)求二面角E-AC-D的大小. 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(2b,c),n=(tanA+tanC, tanC),且m∥n. (1)求角A; (2)若bc=4 sin Bsin C,△ABC是钝角三角形. (i)求b+c的范围： (i)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 【高一数学第4页（共4页）】高一5月校内检测 数学 答题卡 淮考 证号 姓 名 0I0000I000□0I0 口DDD口口1口D1■ 班 级 2I2]22四2I22I2四22 33I3]333]3]33]3 4I4D444I44I4口44■ 考 场 5555555555 6666666666 7I707刀707I7I7I7I7I7□ 座位号 8888888888 9]9]999I9]9I9]99 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑 事 色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：中Xp口 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A]B][C]D] 5 [ABC D 2 [A B][C]D 6ABI☑D 3A□BICD 7A□BD 4AB☐CD] 8A▣B☐D 多选题（每小题6分，共18分） 9ABCD 10[A]B [C]D 11AB☐CD 填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 20 4 10= 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！高一5月校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C B C 题号 9 10 11 答案 ABD ACD BC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.【答案】B 【解析】由x2-5x+4>0解得A={xx<1或x>4},且B={0,1,2,3,4,5,6,7,8},所以A∩B={0, 5,6,7,8}.故选B. 2.【答案】B 【解析】对A,向量不能比较大小，所以A错误：对B,日为a的同方向单位向量，所以B正确：对C,当b =0时，a和c可以是任意向量，所以C错误；对D,当a·b>0时a与b的夹角可以为0°，所以D错误， 故选B. 3.【答案】D 【解析】因为a∥b,a⊥c,所以b⊥c,故选D. 4.【答案】A 【解析】由题意知f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=f(3十2)=f(5)=52十3×5-18= 22.故选A. 5.【答案】D 【解析】因为函数f(x)=x十2x-2定义域为R,且f(x)在R上单调递增，且f(0)=一1<0，f(1)=1> 0,即f(0)·f(1)<0,由零点存在性定理可得，f(x)的零点所在区间为(0,1)，所以n=0.故选D. 6.【答案】C 【解析】由题意，可作该圆台的轴截面，如图所示： 则圆台的高h=O1O2=BE=2√3， 上底面半径r=O2B,下底面半径R=O1A,即2O2B=O1A, 母线l=AB,即∠BAE=60°， 在Rt△ABE中，AE=2,BE=2√5，AB=4, 易知在正方形O2O1EB中，O2B=O1E,则AO1=2EO1=2AE=4,即O2B=2, 综上，h=2√5，r=2,R=4,l=4,圆台的侧面积S=π(r+R)l=π(2十4)×4=24元.故选C. 7.【答案】B 【解析】tan(e+) sin(a cos(a+ 2 tan(a+） =4.则sin(2a+） cos(a+） sin(a+） sin(2a+） 3,所以cos(2a-）=sinm(2a+5）=?,故选B. 8.【答案】C 【解析】因为AQ∥BC,∠CBA=180°-3=180°-30°=150°，又因为Y=75°，所以∠PBA=360°-150 【高一数学参考答案第1页（共5页）】 -75°=135°，∠BAP=a-3=45°-30°=15°，所以∠APB=30°.在△ABP中，∠APB=30°，∠BAP= AP AB PBA=135,AB=2000,由正弦定理得：m/PBA sin /APB,即4P 2000 sn135sin30,解得 AP=2000√2.在Rt△PAQ中，AP=2000√2，∠PQA=90°，∠PAQ=45°，所以PQ=APsin∠PAQ= 2000√2×sin45°=2000，故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】ABD 【解析】对A,若x∈R,则m2-m一6=0，解得m=3或m=一2，所以A正确； 对B,若=6-6i,则m-7m+12=6 m2-m-6=-6 解得m=1,所以B正确； 对C,若复数：为纯虚数，则m-7m十12=0 m2-m-6≠0 ,解得m=4,所以C错误； 对D,在复平面内，复数之对应的点为Z(m2一7m十12，m2一m一6)，若复数之对应的点在直线y=x上， 则有m2一7m十12=m2一m一6，解得m=3,所以D正确.综上，故选ABD. 10.【答案】ACD 【解枥】-十d_da十)二c十=ad十dc-d_以由c-ad>0,bd>0,则 d bd bd bd <0,故A正确； 若a=2,b=-1,c=0,d=-2,此时ac<bd,故B错误； 因为a<0,所以。>6，a60,所以哈品即<号故C正确： 日方a后>0，由a>6,则6a<0,因为品>0，所以a6<0,放a≥06<0，故D正确故 选ACD. 11.【答案】BC 【解析】由题可知，PC的中点即为P-ABC的外接球的球心，设外接球的半径为R,则4πR=16π，得 R=2, 因为PA+AB十BC=PC=4R,所以PA+BC=1,鉴需P-ABC的体积Vm=号×子AB· BCPA-吾·(2C·PA)≤8 12 (BC+PA)=22,当且仅当BC=PA=万时，（Wn) 7√ 6 2,故A项错误，B项正确； 因为三棱柱为直三棱柱，故BC⊥平面PAB,所以直线PC与平面PAB所成的角即为∠BPC, sin∠BPC= C=:故C项正确： BP3 设整嚅P-ABC的内切球半径为r,由等体积法Vrr=号×（号AB·BC+号AB·PA十号AC· P1+合PB·BC)小r=7追，得号-号(3疗+)，所以=3：2亚，放D项错误故 14 选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】2√2 【解析】因为复数之对应的点为(2,1)，所以=2+i,所以这+1=i(2一)十1=2+2i,则之+1=22. 【高一数学参考答案第2页（共5页）】 13.【答案月 【解析e+27-an+1g-21g5=3+号-an子-21g10=号 14.【答案】28π 【解析】如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处O,O为△ABC外接圆的圆心，外接球 2 的半径R=0A=0O+OAP,2·OA=BC=sn0,“OA=2,O0=5,R2 √22+(W3)2=√7，表面积S=4πR=28元. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)4992g(2)72kg 【解析】(1)圆柱部分体积为V1=π×22×20=240cm3,………2分 直四棱柱部分体积为V2=10X10X4=400cm3,…………4分 则此零件的体积为V=V1十V2=240十400=640cm3, 6分 又铁的密度为7.8g/cm3, 故生产一件这样的俦铁零件需要铁640×7.8=4992g; ……7分 (2)此零件的表面积为S=π×22+2π×2×20+10×4×4+2×10×10一π×22 =600Cm2,…… 10分 则1000个零件的表面积为600×1000cm2=600000cm, 12分 故需油漆的质量为600000×0.12=72000g=72kg.… 13分 16.【答案】D)的对称轴方程为x=一意+经∈Z.对称中心的坐标为（经+音W5),∈Z(2)最 大值为2√5，最小值为一2十√3 【解析】(1)因为f(x)=23cos2x-2 sin cos=5cos2x十3-sin2x=2cos(2x+）十V5,… 令2x+否-k,k∈Z.解得=一意+k∈Z, 6 所孩了()的对称轴方程为x二十牙k∈Z,… 6分 令2x+吾=km+受，k∈Z,得x=+行，k∈Z。 2 可得函数八x)图象的对称中心的坐标为（经+晋v),k∈Z: 8分 2)因为x[器·晋]，所以2x+∈[， 9分 令2+=,解得1 12π 10分 所以f)在[登，登]上单调递减，在（受，号]上单调递增， 12分 所以fx)m=f()=-2+5,f()=2c0s号+5=5+1，(x)=2os日x+5=2, 故f(x)mx=23. …15分 1.【答案1DA位-石a+号b (2)-60 【解析】1)因为D2+2C花-0，所以A它-C-号（方-AC),所以A它=3AD+号AC …3分 【高一数学参考答案第3页（共5页）】 因为Ci+C店=2C心，所以D为线段AB的中点，所以A正-名Ai+号AC-日a+号b:…6分 (2图为A-10,AE1CB.所以A位-（信+号b)°-六4+号ab+号6-10， …8分 .Ci=(合a+号b)(a-b)=石a+ab导=0，所以a2+3ab=4h, 所以a2十4a·b=720,… 10分 所以A.(Bi-Bd)=A应.Ci=(合a+号b）·(-b+7)=a+名ab-号6 ①，…11分 因为a+3a·b=4→b=子a+子a·b,所以号行=石c+2a·b, …13分 所以①=ba+2a·b-2a-6a·b)=7(-a-4a·b)=-60, 1 15分 18.【答案】(1)详见解析(2)30° 【解析1K1):∠BAC=∠CAD=号，AC=AB·AD, △ABC∽△ACD,∠ACD=90°，……2分 ,PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.CD⊥PA, 又∠ACD=90°，.CD⊥AC, PA∩AC=A,.CD⊥平面PAC,.CD⊥PC,… 4分 又在△PCD中，E,F分别为PD,PC中点，故EF∥DC,.EF⊥PC, 又：∠ACB=否，PA=2ABAP=AC 又F是PC中点，.PC⊥AF, 又，FA∩FE=F,PC⊥AF,PC⊥EF,∴.PC⊥平面AEF,PCC平面BPC .平面BPC⊥平面AEF;…7分 (2)取AD的中点M,连接EM,取AC的中点H,连接EH,MH, 由EM∥PA,PA⊥平面ABCD,可得EM⊥平面ABCD,… 8分 又MH∥CD,CD⊥AC,可得MH⊥AC, 因为MH是斜线EH在平面ABCD上的射影， 可得AC⊥EH, 所以∠EHM是二面角E-AC-D的平面角， 11分 二面角E-AC-B的平面角与∠EHM互补， 在△ACD中，设AC=2x,∠ACD=90°，∠ADC=30°， 可得CD=25x, 12分 在Rt△EHM中，MH=√3x,EM=x, 可得a∠EHM-器-套. 即有∠EHM=30°， 则二面角E-AC-D的大小为30°.… 17分 19.【答案11)号(2)(i65,3) o,2} 【解析】(1)因为m=(2b,c),n=(tanA+tanC,tanC),m∥n, 所以2 btan C=c(tanA+tanC), 1分 所以2 sin C=c(sinA+sin9 cos C cos A'cos C ……………2分 【高一数学参考答案第4页（共5页）】 由正弦定理得：2 sin B sin C=-sin Csin Acos C十cos Asin C.=-sin Csin(A+C2 cos C cos Acos C cos Acos C =sin C-sin B cos Acos C' 因为sinB>0,sinC>0,cosC≠0，化简得：cosA=7,…3分 因为0<A<,所以A=子： 4分 b (2)(D由正弦定理ABC2R(R为△ABC外接圆的半径). 得a=2 Rsin A=2Rsin号=V5R,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 5分 所以bc=4 sin Bsin C转化为：4 R2sin Bsin C=4 sin Bsin C,解得R=1, ………………………… 6分 所以a=√5，b=2sinB,c=2sinC, 所以6+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+n(A+B)]=2[sinB+sin(B+号] =2(nB+nB+停osB)=2(2inB+gosB=25n(B+若) …7分 因为△ABC是纯角三角形，且A=哥，则B或C为钝角，且B+C- 当B为能角时，则登<B<受，所以经<B叶音<号则n(B叶音)∈(，号》， 所以b十c∈(W5,3):… …9分 当C为纯角时，则0<B<吾，所以<B+吾<号，则sin(B+若)∈(，)， 所以b+c∈（√3,3）. 综上，b十c∈(W5,3);… 10分 (i因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=答， 因为S△Am+SAcD=SaAr,所以号AB·ADsin∠BAD+号AC·ADsin∠CAD=2AB· ACsin∠BAC, 即子·AD+ADc,所以AD=,午2 11分 在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2 becos A, 再由a=5,A=号，得3=+c2-bc=(b叶c)2-3bc, 12分 所以bc=b十c)2-3 3 13分 (b+c)2-3 所以AD-EX年。-5X 3 b+c ×63-[o+e)产] b+c …14分 令b+c=t,由(i)知，t∈(W3,3), 所以AD号-）e65,3),… 15分 令f）号（-），因为f)在165.3)上单调递增， 16分 所以)(o.25)则AD(o,25） 17分 【高一数学参考答案第5页（共5页）】